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1、第16講 相似三角形
一、 知識(shí)清單梳理
知識(shí)點(diǎn)一:比例線段
關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例
1. 比例
線段
在四條線段a,b,c,d中,如果a與b的比等于c與d的比,即,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.
列比例等式時(shí),注意四條線段的大小順序,防止出現(xiàn)比例混亂.
2.比例
的基本性質(zhì)
(1)基本性質(zhì):? ad=bc;(b、d≠0)
(2)合比性質(zhì):?=;(b、d≠0)
(3)等比性質(zhì):=…==k(b+d+…+n≠0)?
=k.(b、d、···、n≠0)
已知比例式的值,求相關(guān)字母代數(shù)式的值,常用引入?yún)?shù)法,將所有的量都統(tǒng)一用含
2、同一個(gè)參數(shù)的式子表示,再求代數(shù)式的值,也可以用給出的字母中 的一個(gè)表示出其他的字母,再代入求解.如下題可設(shè)a=3k,b=5k,再代入所求式子,也可以把原式變形得a=3/5b代入求解.
例:若,則 .
3.平行線分線段成比例定理
(1)兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線
段成比例.即如圖所示,若l3∥l4∥l5,則.
利用平行線所截線段成比例求線段長(zhǎng)或線段比時(shí),注意根據(jù)圖形列出比例等式,靈活運(yùn)用比例基本性質(zhì)求解.
例:如圖,已知D,E分別是△ABC的邊BC和AC上的點(diǎn),AE=2,CE=3,要使DE∥AB,那么BC:CD應(yīng)等于 .
(2)平行于三角形一邊的直線截
3、其他兩邊(或兩邊的
延長(zhǎng) 線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
即如圖所示,若AB∥CD,則.
(3)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.
如圖所示,若DE∥BC,則△ADE∽△ABC.
4.黃金分割
點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果==≈0.618,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割.其中點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.
例:把長(zhǎng)為10cm的線段進(jìn)行黃金分割,那么較長(zhǎng)線段長(zhǎng)為 cm.
知識(shí)點(diǎn)二 :相似三角形的性質(zhì)與判定
5.相似三角形的判定
(1) 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(AAA).
如圖,若∠A=
4、∠D,∠B=∠E,
則△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路:①條件中若有平行
線,可用平行線找出相等的角而判定;②條
件中若有一對(duì)等角,可再找一對(duì)等角或再找
夾這對(duì)等角的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例;③條件中
若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例可找夾角相等;④條件
中若有一對(duì)直角,可考慮再找一對(duì)等角或證
明直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例;⑤條件中若有
等腰關(guān)系,可找頂角相等或找一對(duì)底角相等
或找底、腰對(duì)應(yīng)成比例.
(2) 兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個(gè)三角形相似. 如圖,若∠A=∠D,,則△ABC∽△DEF.
(3) 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.如圖,若,則△ABC∽△DEF.
6.相似
5、三角形的性質(zhì)
(1)對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.
(2)周長(zhǎng)之比等于相似比,面積之比等于相似比的平方.
(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比.
例:(1)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周長(zhǎng)為3,△DEF的周長(zhǎng)為2,則△ABC與△DEF的面積之比為9:4.
(2) 如圖,DE∥BC, AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4,則AF:AG=1:2.
7.相似三角形的基本模型
(1)熟悉利用利用相似求解問題的基本圖形,可以迅速找到解題思路,事半功倍.
(2)證明等積式或者比例式的一般方法:經(jīng)常把等積式化為比例式,
6、把比例式的四條線段分別看做兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊.然后,通過證明這兩個(gè)三角形相似,從而得出結(jié)果.
二、經(jīng)典試做
1.已知△ABC∽△DEF,∠A=80°,∠B=20°,
那么△DEF的各角的度數(shù)分別是______________.
2.如圖27-2-11,直線CD∥EF,若OE=7,CE=4,則=________.
圖27-2-11
3.已知△ABC∽△A′B′C′,如果AC=6,A′C′=2.4,那么△A′B′C′與△ABC的相似比為________
7、.
4.如圖若∠BAD=∠CAE,∠E=∠C,則________∽________.
5.如圖27-2-13,DE∥FG∥BC,圖中共有相似三角形( )
A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.5對(duì)
圖27-2-13
6.在△ABC和△A′B′C′中,有下列條件:
①=;②=;③∠A=∠A′;④∠C=∠C′.
如果從中任取兩個(gè)條件組成一組,那么能判斷△ABC∽△A′B′C′的共有( )
A.1組 B.2組 C.3組
8、 D.4組
7.如圖27-2-14,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,求證:AD2=CD·BD.
9.如圖27-2-15,已知△ABC,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=BC.
取AB的中點(diǎn)F,連接FD交AC于點(diǎn)E.
(1)求的值;
(2)若AB=a,F(xiàn)B=EC,求AC的長(zhǎng).
圖27-2-15
10.如圖27-2-16,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā),沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止,運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.過
9、點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E,設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒,AE的長(zhǎng)為y.
(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)求出△BDE的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)x為何值時(shí),△BDE的面積S有最大值,最大值為多少?
4.已知△ABC和△DEF相似且對(duì)應(yīng)中線的比為3∶4,則△ABC和△DEF的周長(zhǎng)比為____________.
5.高為3米的木箱在地面上的影長(zhǎng)為12米,此時(shí)測(cè)得一建筑物在水面上的影長(zhǎng)為36米,則該建筑物的高度為______米.
7.如圖27-2-26,直立在B處的標(biāo)桿AB=2.4 m,直立在F處的觀測(cè)者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在同
10、一條直線上(點(diǎn)F,B,D也在同一條直線上).已知BD=8 m,F(xiàn)B=2.5 m,人高EF=1.5 m,求樹高CD.
圖27-2-26
9.如圖在?ABCD中,E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BE與AD交于點(diǎn)F,DE=CD.
(1)求證:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面積為2,求?ABCD的面積.
圖27-2-28
9.如圖27-3-15,在6×8的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).
(1)以O(shè)為位似中心,在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC位似,且位似比為1∶2;
(2)連接(1)中的AA′,求四邊形AA′C′C的周長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)).
圖27-3-15