初一數(shù)學(xué)下三元一次方程組

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1、三元一次方程組 1 .三元一次方程組的概念 ： 含有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是 ，并且共有 方程,這樣的方程組叫 做三元一次方程組? 注意:每個方程不一定都含有三個未知數(shù) ,但方程組 要含有三個未知數(shù)? 2?三元一次方程組的解法 解三元一次方程組的基本思想仍是 ,其基本方法是 和 . 步驟:①利用代入法或加減法，消去一個未知數(shù)，得出一個二元一次方程組； ② 解這個二元一次方程組，求得兩個未知數(shù)的值； ③ 將這兩個未知數(shù)的值代入原方程中較簡單的一個方程 ，求出第三個未知數(shù)的值，把 這三個數(shù)寫在一起的就是所求的三元一次方程組的解 注意：靈活運用加減消元法，代入

2、消元法解簡單的三元一次方程組 ? 參考答案： 1.1,三個,整體上 2.消兀，代入法，加減法 1?三元一次方程組的一般解法 3x y z 4, ① 【例1】解方程組 x y z 6, ② 2x 3y z 12. ③ 【解析】對于一般形式的三元一次方程組的求解， 應(yīng)該認(rèn)清兩點：一是確立消元目標(biāo) 一一消哪個 未知項；二是在消元的過程中三個方程式如何正確的使用， 怎么才能做到 目標(biāo)明確，消元不亂”為 此歸納出： （一） 消元的選擇 1選擇同一個未知項系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個未知數(shù)消元； 2.選擇同一個未知項系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個未知數(shù)消元。 （二） 方程式的選擇 采取

3、用不同符號標(biāo)明所用方程，體現(xiàn)出兩次消元的過程選擇。 3x y z 4 ① 【答案】解： x y z 6 ② 2x 3y z 12 ③ （明確消z,并在方程組中體現(xiàn)出來 一一畫線） ①+③得5x+2y=16, ④ （體現(xiàn)第一次使用在①③后做記號 V） ②+③得3x+4y=18, ⑤ （體現(xiàn)第二次使用在②③后做不同記號△ ） 由④.⑤得5x 2y 16, 3x 4y 18. x 2, 解得 y 3. 把x=2 , y=3代人②，得 z=1. x 2, ??? y 3, 是原方程組的解 z 1. x y z 12 ① 【例2】解方程

4、組 x 2y 5z 22 ② x 4y ③ 【解析】方程③是關(guān)于 x的表達(dá)式，通過代入消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，因此確定 消x”的目標(biāo)。根據(jù)方程組的特點，歸納出此類方程組為: 類型一：有表達(dá)式，用代入法型 ? 針對上例進(jìn)而分析，方程組中的方程③里缺 乙因此利用①?②消Z也能達(dá)到消元構(gòu)成二 元一次方程組的目的。 【答案】解法1:代入法，消X. 把③分別代入①?②得 5y 6y z 12④ 5z 22 ⑤ 解得 y 2, z 2. 10 / 8 x 8, 把y=2代入③，得x=8.「. y 2, 是原方程組的解 z

5、 2. 解法2:消乙 ① X5得 5x+5y+5z=60 ④ ④ -②得 4x+3y=38 ⑤ 由③.⑤得 x 4y 4x 3y ③ 38⑤ x 解得 y 8, 2. 把x=8,y=2代入①得z=2. x 8, y 2,是原方程組的解 z 2. 練習(xí)1.解下列方程組： 3x y 2z 3 -2x y 3z 11 x y z 12 【答案】x=3, y=8, z=1 2x 6y 3z 6① 練習(xí)2 .解方程組 3x 15y 7z 6② 4x 9y 4z 9③ 【答案】解：① x 3得 6x+ 18y + 9z=18④ ②

6、 X 2得 6x+ 30y + 14z=12⑤ ⑤ —④，得 12y + 5z= — 6⑥ ① X2 得4x+ 12y + 6z=12⑦ ⑦—③，得21y + 2z=3⑧ 12y 5z 6 由⑥和⑧組成方程組 21y 2z 3 1 y — 解這個方程組，得 3 z 2 把y=1 3 ,z=— 2代入①，得 2x+ 6xl + 3X(2)=6, 3 5 1 3 2 練習(xí)3.三元一次方程組 4jr+3y= 2 3 【答案】B A.1 5 工+4,+玄=0 "- I 1丨，消去未知數(shù)二后, x十?十疋=一 2 4尢+ $ 二 2 C. 得到的

7、二元一次方程組是 （） B.1 空十4》=2 一 一 一 D. 23兀 + 門》=11 + 3 I23x4Dj = 11 練習(xí)4?若三元一次方程組 A.O i - 的解使 = -2 B. 8 3 ax+2y-z=0,貝U a 的值是（） C.3 D.-8. 【答案】B 2?三元一次方程組的相關(guān)變式題型 【例3】解方程組x 2y z 9 2x y 3z 10 3x 2y 4z 【解析】 【答案】解：原方程組可化為2x 2y y 3z 9(1) 10(2) 3x 2y 4z 3(3) (1) + (3)，得 4x 3z 6 (4)

8、(1) + (2) 2 ,得 5x 7z 29 ( 5) 由（4）和（5）組成方程組，得 4x 5x 3z 7z 6(4) 29(5) 解這個方程組，得 把 x 3，z 2 代入（i），得 3 2y 2 9 x 3 y 2是原方程組的解 z 2 x y 2z 5 練習(xí)5.解三兀一次方程組 2x y z 4 2x y 3z 10 x 2 【答案】 y 3 z 3 練習(xí) 6.如果■X__3 -_1 -_ ,且 x+y+z=18,,貝卩 x+y-z( ) 2 3 4 A.18 B.2 C.O D.-2. 【答案】D 練習(xí)7?若a,

9、b,c都是不等于零的數(shù)，且仝亠丄亠 c a k，則k=( ) cab A.2 B.-1 C.2 或-1 D.不存在. 【答案】C 3.三兀 次方程組之特殊型 2x y z 15 ① 【例 4】解方程組 x 2y z 16 ② x y 2z 17 ③ 【解析】通過觀察發(fā)現(xiàn)每個方程未知項的系數(shù)和相等；每一個未知數(shù)的系數(shù)之和也相等，即系 數(shù)和相等。具備這種特征的方程組，我們給它定義為 輪換方程組”，可采取求和作差 的方法較簡潔地求出此類方程組的解。 【答案】解：由①+②+③得4x+4y+4z=48， 即 x+y+z=12 .④ ① -④得x

10、=3, ② -④得y=4， ③ -④得z=5. x 3, ??? y 4,是原方程組的解 z 5. x y 20,① 練習(xí)&解方程組 y z 19,② x z 21.③ 【答案】解：由①+②+③得2(x+y+z)=60， 即 x+y+z=30 .④ ④ -①得z=10， ④-②得y=11, ④-③得x=9. x 9, y 11,是原方程組的解 z 10. x+ y=- 1 練習(xí)9?方程組 x+ z= 0 的解是（ ） y+ z= 1 A. x=- 1 y= 1 z= 0 【答案】D 練習(xí) 10.若 x+ 2y+ 3z=

11、 10, A.2 B.3 【答案】D 4.含有比的三元一次方程組 【例5】（2014云南曲靖中考） B. x+ y+ z的值為（ ) 4x+ 3y+ 2z= 15,則 C.4 D.5 解方程組 X ： y ： Z 2x y 1:2:7 3z 21 【解析】觀察此方程組的特點是未知項間存在著比例關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng)驗，學(xué)生看見比例式 就會想把比例式化成關(guān)系式求解，即由 x:y=1:2得y=2x;由x:z=1:7得z=7x.從而從形 y 2x,① 式上轉(zhuǎn)化為三元一次方程組的一般形式， 即z 7x, ② ,根據(jù)方程組的 2x y 3z 21. ③ 特點，學(xué)生可

12、選用 有表達(dá)式，用代入法”求解。 【答案】解法1：由①得y=2x, z=7x，并代入②，得x=1. 把 x=1，代入 y=2x，得 y=2; 把 x=1,代入 z=7x,得 z=7. x 1, ??? y 2,是原方程組的解. z 7. x y z 111 ① 練習(xí)11.解方程組 y: x 3:2 ② y : z 5: 4 ③ 【解析】：觀察此方程組的特點是方程② .③中未知項間存在著比例關(guān)系，由例 3的解題經(jīng)驗， 2 4 學(xué)生易選擇將比例式化成關(guān)系式求解，即由②得 x = y;由③得z=- y.從而利用 3 5 代入法求解。 x 30, 【答案】 y 45,

13、 z 36. 練習(xí)12. 2jc-^y+3z - 1 【答案】 5.含參數(shù)的三元一次方程組 【例6】已知方程組y 3a(1) 5a(2)的解使代數(shù)式x 2y 4a(3) 3z的值等于10，求a的 值。 【解析】解帶參數(shù)的三元一次方程組，可把參數(shù)看成已知數(shù)進(jìn)行運算, 【答案】解：（2） — （ 1），得z （3） + （4）, 得 2z 把z x 參數(shù)不影響運算。 x 2a (4) 6a,z 3a 3a代入（2）和（3）,得y a 2a, x 2a 3a 把 x a, y 2a, z 2a 3 3a 10 5 3 ???所求a的值為 3a代入

14、 x 2y 3z 練習(xí)13.己知x,y,z滿足方程組 A.1:1:1 B.1:1:2 C.1:2:3 【答案】C 5 3 t = 0 7x + 4^-5^ = 0 D.1:3:2 ,貝U x:y:z() 練習(xí)14.若方程組 的解x和y的值互為相反數(shù)，則K的值等于 () A.0 B.1 C.2 【答案】C D.3. 1. （ 2014臺灣中考）若 a: A. 7 B. 63 c= 2 : 3: 7,且 a— b+ 3 = c— 2b，貝U c值為何？( C. 21 d. 21 2 4 【答案】 x=— 1, y=— 2，貝U z= 2. 在方

15、程5x— 2y+ z= 3中，若 【答案】 3. ( 2014 四川自貢中考)已知單項式—8a3x+ y— z b12 d<+y+z 與 2a4b2x—y+ 3zC6,則 x=_, y= ____, z= 【答案】17 , - 7 , 21 4 2 4 x+ y— z= 11 y + z — x= 5 z+ x— y= 1 4.解方程組 ，則 x= , y= , z= 【答案】6, 8, 3 x y z 13 5. （ 2014廣西玉林市.防城港市中考） y z x 1 z x y 3 2 ?若方程組 4x 3y 1 的解與

16、 ax (a 1)y 3 A. 4 B. 10 c. 11 【答案】C 【答案】-3 x與y相等，則a的值等于（） D. 12 x 8 【答案】 y 6 z 1 x y 16 6. ( 2014 武漢| 中考） y z 12 z x 10 x 7 【答案】 y 9 z 3 3x y 4z 13 7. 5x y 3z 5 x y z 3

17、 x 2 【答案】 y 1 z 2 x: y 4： 7 8. x: z 3:5 x 2y 3z 30 x 12 【答案】 y 21 z 20 1 .已知a、b都是有理數(shù)，觀察下表中的運算，在空格處填上數(shù). a、b的運算 a+b a-b a 1 b 運算的結(jié)果 -49 -97 3 .已知方程組 x 2y k 2x 3y 3k 的解x和y的和等于6, k= 1 【答案】7 2 4.甲、

18、乙兩位同學(xué)一起解方程組 ax CX by 3y 2,，甲正確地解得 x 2 y ，乙僅因抄錯了題中的 x C,解得 y 2 ，求原方程組中 a.b.c的值. 6 【答案】a=5 , 2 b= L , c=-5 2 2x 5.已知 x y 3a, 求 x 的值. 2y a y 【答案】 x+ y— z= 11 6.解方程組 y+ z— x= 5 ，若要使運算簡便，消元的方法應(yīng)選取（ A.先消去 【答案】D x+ y=— 1 z+ x— y= 1 x B.先消去y C.先消去z D.以上說法都不對 7

19、.方程組 x=— 1 A. y= 1 z= 0 x+ z= 0 y+ z= 1 的解是（ ) D. B. =—1 =0 =1 【答案】D 8 .若 x+ 2y + 3z= 10, A.2 【答案】D B.3 4x+ 3y+ 2z = 15,貝U x + y+ z 的值為( ) C.4 D.5 9 .若方程組* 4x+ 3y = 1 的解x與y相等，則a的值等于（ ax+ （a— 1） y= 3 A.4 【答案】C B.10 C.11 D.12