三角形與全等三角形自學(xué)附習(xí)題及問題詳解

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1、word 三角形與全等三角形自學(xué) 附習(xí)題及答案 考點(diǎn)一：三角形三邊關(guān)系 例1下列各組數(shù)可能是一個(gè)三角形的邊長的是（　?。? A．1，2，4B．4，5，9C．4，6，8D．5，5，11 思路分析：看哪個(gè)選項(xiàng)中兩條較小的邊的和不大于最大的邊即可． 解：A、因?yàn)?+2＜4，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、因?yàn)?+5=9，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、因?yàn)?-4＜5＜8+4，所以本組數(shù)可以構(gòu)成三角形．故本選項(xiàng)正確；D、因?yàn)?+5＜11，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊，只要滿足兩

2、短邊的和大于最長的邊，就可以構(gòu)成三角形． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．如果一個(gè)三角形的兩邊長分別為2和4，則第三邊長可能是（　　） A．2B．4C．6D．8 考點(diǎn)二：三角形角、外角的應(yīng)用 例2如圖，一副分別含有30°和45°角的兩個(gè)直角三角板，拼成如下圖形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，則∠BFD的度數(shù)是（　?。? A．15°B．25°C．30°D．10° 思路分析：先由三角形外角的性質(zhì)求出∠BDF的度數(shù)，根據(jù)三角形角和定理即可得出結(jié)論． 解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠B

3、DF=120°，∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．故選A． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)角的和是解答此題的關(guān)鍵． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2．一副三角板有兩個(gè)直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（　?。? A．165°B．120°C．150°D．135° 考點(diǎn)三：三角形全等的判定和性質(zhì) 例3 如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點(diǎn)M，BC與ED，AD分別交于點(diǎn)F，N．請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對(duì)加以證明． 思路分析：找到兩三角形全等的條件，三角形全等就寫出來，選擇一組證明即可

4、． 解：△AEM≌△A，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．選擇△AEM≌△A，理由如下：∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，∴∠EAM=∠CAN，∵在△AEM和△A中，，∴△AEM≌△CAN（ASA）． 點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角． 例4 如圖：已知D、E分別在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BE=CD． 思路分析

5、：要證明BE=CD，把BE與CD分別放在兩三角形中，證明兩三角形全等即可得到，而證明兩三角形全等需要三個(gè)條件，題中已知一對(duì)邊和一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，觀察圖形可得出一對(duì)公共角，進(jìn)而利用AAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得證． 證明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴BE=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時(shí)，要注意公共角及公共邊，對(duì)頂角等隱含條件的運(yùn)用． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3．如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠D

6、CE=90°，D在AB上，連結(jié)BE．請(qǐng)找出一對(duì)全等三角形，并說明理由． 4．如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE． 考點(diǎn)四：全等三角形開放性問題 例5 如圖，點(diǎn)B在AE上，點(diǎn)D在AC上，AB=AD．請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個(gè)）．（1）你添加的條件是∠C=∠E ．（2）添加條件后，請(qǐng)說明△ABC≌△ADE的理由． 思路分析：（1）可以根據(jù)全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件；（2）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可． 解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠C

7、=∠E，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，綜上所述，可以添加的條件為∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；故答案為：∠C=∠E；（2）選∠C=∠E為條件．理由如下：在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定，開放型題目，根據(jù)不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的條件也不相同． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 5．（2013?）如圖，AF=DC，BC∥EF，只需補(bǔ)充一個(gè)條件 BC=EF ，就得△ABC≌△DEF．

8、 【聚焦中考】 1．（2013?威海）將一副直角三角板如圖擺放，點(diǎn)C在EF上，AC經(jīng)過點(diǎn)D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，則∠CDF=25° ． 2．（2013?）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC．（1）求證：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)． 3．（2013?）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．求證：AF=DC； 4．（201

9、3?東營）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠A

10、EC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 【真題過關(guān)】 一、選擇題 1．（2013?）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，則△ABC的形狀是（　　） A．等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形 2．（2013?）下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（　　） A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4 3．（2013?）如圖，∠1=100°，∠C=70°，則∠A的大小是（　　） A．10°B．20°C．30°D．80° 4．（2013?）如圖1，M是鐵絲AD的中點(diǎn)，將該鐵絲首尾相接折成△AB

11、C，且∠B=30°，∠C=100°，如圖2．則下列說確的是（　?。? A．點(diǎn)M在AB上 B．點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)處 C．點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)B較近，距點(diǎn)C較遠(yuǎn) D．點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)C較近，距點(diǎn)B較遠(yuǎn) 5．（2013?）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（　?。? A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D 6．（2013?）已知△A1B1C1△A2B2C2的周長相等，現(xiàn)有兩個(gè)判斷：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則△A

12、1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2，對(duì)于上述的兩個(gè)判斷，下列說確的是（　?。? A．①正確，②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤，②正確 C．①，②都錯(cuò)誤D．①，②都正確 7．（2013?）一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1+∠2=（　　） A．90°B．100°C．130°D．180° 8．（2013?）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有（　?。? A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì) 二、填空題 9．（2013?黔東南州

13、）在△ABC中，三個(gè)角∠A、∠B、∠C滿足∠B-∠A=∠C-∠B，則∠B= 60 度． 10．（2013?）如圖，△ABC≌△DEF，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，寫出x= 20 ． 11．（2013?）如圖，已知點(diǎn)B、C、F、E在同一直線上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 CA=FD ．（只需寫出一個(gè)） 12．（2013?）如圖，點(diǎn)D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個(gè)條件是 ∠B=∠C（答案不唯一） （只寫一個(gè)條件即可）． 13．（2013

14、?達(dá)州）如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點(diǎn)A2013，則∠A2013=度． 三、解答題 14．（2013?）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求證：△ABC≌△AED． 15．（2013?）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，求證：AC=DF． 16．（2013?）課本指出：公認(rèn)的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需要通過推理的方法證實(shí)．（1）敘述

15、三角形全等的判定方法中的推論AAS；（2）證明推論AAS．要求：敘述推論用文字表達(dá)；用圖形中的符號(hào)表達(dá)已知、求證，并證明，證明對(duì)各步驟要注明依據(jù)． 17．（2013?隨州）如圖，點(diǎn)F、B、E、C在同一直線上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF？如果能，請(qǐng)給出證明；如果不能，請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件，添加到已知條件中，使△ABC≌△DEF，并給出證明．提供的三個(gè)條件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF． 18．（2013?江）已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D為AB邊上一

16、點(diǎn)．求證：BD=AE． 19．（2013?）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求證：△ABE≌DCE；（2）當(dāng)∠AEB=50°，求∠EBC的度數(shù)？ 20．（2013?）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．（1）求證：BE=CE；（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF． 能力拓展： 如圖（1）所示，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形． 請(qǐng)你參考這個(gè)作全等

17、三角形方法，解答下列問題： （1）如圖（2），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線交于F，試判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系． （2）如圖（3），在△ABC中，若∠ACB≠90°，而（1）中其他條件不變，請(qǐng)問（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由． 三角形與全等三角形 1．B 2．A 3．解：△ACE≌△BCD．∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角），在△ACE和△BCD中，∵，∴△

18、ACE≌△BCD． 4．證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD與△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE． 5．BC=EF 【聚焦中考】 1．25° 2． （1）證明：∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，∴∠ABE=∠CBD=90°，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°； 3． 證明：∵

19、AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC． 4．證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠CAE=∠ABD，∵在△AD

20、B和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，∴△DBF≌△EAF（sas），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF為等邊三角形． 【真題過關(guān)】 一、選擇題 1．D 2．D 3．C 4．C 5．C 6．A 7．B

21、 8．C 二、填空題 9．60 10．20 11．CA=FD 12．∠B=∠C（答案不唯一） 13． 三、解答題 14．證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）． 15．證明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC=DF． 16．解：（1）三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

22、．（2）已知：在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．求證：△ABC≌△DEF．證明：如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代換）．又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形角和定理），∴∠B=∠E．∵在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）． 17．解：不能；選擇條件：①AB=DE；∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即EF=CB，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）． 18．證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=C

23、E，∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD=AE． 19．（1）證明：∵在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°． 20．證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAE=∠EAC，在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE；（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF為等腰直角三角形，∴

24、AF=BF，∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA）． 能力拓展 （1）FE=FD （2）（1）中的結(jié)論FE=FD仍然成立． 在AC上截取AG=AE，連結(jié)FG． 證△AEF≌△AGF得∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG． 由∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線 得∠DAC+∠ECA=60°． 所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，所以∠CFG=60°． 由∠BCE=∠ACE及FC為公共邊． 可證△CFG≌△CFD， 所以FG=FD，所以FE=FD． 9 / 9