高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義 空間距離
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1、word 高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義 空間距離 【知識(shí)歸納】 1、空間距離的求解思路:立體幾何中有關(guān)距離的計(jì)算,要遵循“一作,二證,三計(jì)算〞的原如此〕 2、空間距離的類型: 〔1〕異面直線的距離:①直接找公垂線段而求之;②轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離,即過(guò)其中一條直線作平面和另一條直線平行。③轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離,即過(guò)兩直線分別作相互平行的兩個(gè)平面。 〔2〕點(diǎn)到直線的距離:一般用三垂線定理作出垂線再求解 〔3〕點(diǎn)到平面的距離:①垂面法:借助于面面垂直的性質(zhì)來(lái)作垂線,其中過(guò)點(diǎn)確定面的垂面是關(guān)鍵; ②體積法:轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高;③等價(jià)轉(zhuǎn)移法。 〔4〕直線與平面的距離:前提是直線與平面
2、平行,利用直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等,轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。 〔5〕兩平行平面之間的距離:轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。 〔6〕球面距離〔球面上經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度〕:求球面上兩點(diǎn)A、B間的距離的步驟:①計(jì)算線段AB的長(zhǎng);②計(jì)算球心角∠AOB的弧度數(shù);③用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng)。 【根底訓(xùn)練】 〔1〕正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為,如此異面直線BD與B1C的距離為_(kāi)____。 〔2〕等邊三角形的邊長(zhǎng)為,是邊上的高,將沿折起,使之與所在平面成的二面角,這時(shí)點(diǎn)到的距離是_____; 〔3〕點(diǎn)P是120°的二面角α--β的一點(diǎn),點(diǎn)P到α、β的距離分別是
3、3、4,如此P到的距離為 _______; 〔4〕在正方體ABCD—A1B1C1D1的側(cè)面AB1有一動(dòng)點(diǎn)P到棱A1B1與棱BC的距離相等,如此動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為_(kāi)______。 〔5〕長(zhǎng)方體的棱,如此點(diǎn)到平面 的距離等于______; 〔6〕在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點(diǎn),如此A1到平面MBD的距離為_(kāi)_____。 〔7〕設(shè)地球半徑為,在北緯圈上有兩地,它們的緯度圈上的弧長(zhǎng)等于,求兩地間的球面距離; 〔8〕球面上有3點(diǎn),其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的,經(jīng)過(guò)這3點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為,那么這個(gè)球的半徑為_(kāi)_____;
4、〔9〕三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,,假如四個(gè)點(diǎn)都在同一球面上,求此球面上兩點(diǎn)A、B之間的球面距離。 【例題選講】: B P A C E F O 【例1】如圖,在正三棱錐P-ABC中,側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面邊長(zhǎng)為2,E是BC的中點(diǎn),EF⊥PA于F。 〔1〕求證:EF為異面直線PA與BC的公垂線段; 〔2〕求異面直線PA與BC間的距離。 A C B A1 B1 C1 【例2】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=,BC=CA=AA1=1,設(shè)A1在底面ABC上的射影為O 〔1〕點(diǎn)O能否與B重合?試說(shuō)明理由。 〔2〕假如O在AC
5、上,求BB1與側(cè)面ACC1A1的距離; 〔3〕假如O是△ABC的外心,求 【例3】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中, 〔1〕求點(diǎn)A到平面BD1的距離; 〔2〕求點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離; A A1 D C B B1 C1 D1 O1 G O E 〔3〕求平面AB1D1與平面BC1D的距離; 〔4〕求直線AB到平面CDA1B1的距離。 【例4】在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b. 〔1〕設(shè)E、F分別為AB1、BC1的中點(diǎn),求證:EF∥平面ABC; 〔2〕求證:
6、A1C1⊥AB; 〔3〕求點(diǎn)B1到平面ABC1的距離. 【例5】A B C E A1 G F D 平面邊長(zhǎng)為a?的正三角形ABC,直線DE∥BC,交AB、AC于D、E,現(xiàn)將△ABC沿DE折成600的二面角,求DE在何位置時(shí),折起后A1到BC的距離最短?最短距離是多少? 【鞏固練習(xí)】: ABCD—A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,如此: 〔1〕點(diǎn)C到面AB1C1的距離為_(kāi)__________; 〔2〕點(diǎn)B到面ACB1的距離為_(kāi)___________; 〔3〕直線A1D1到面AB1C1的距離為_(kāi)___
7、___; 〔4〕面AB1C與面A1DC1的距離為_(kāi)_______; 〔5〕點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_(kāi)__________。 2.AB是異面直線a、b的公垂線段,點(diǎn)A、B分別在直線a、b上,AB=2,異面直線a、b所成的角為300,在直線a上任取一點(diǎn)P,使得PA=4,如此點(diǎn)P到直線b的距離為 3.將銳角為600的菱形ABCD沿較短的對(duì)角線BD折成600的二面角,如此AC與BD間的距離為 4.AD是邊長(zhǎng)為2的正△ABC的邊BC上的高,沿AD將△ABC折成直二面角B-AD-C后,點(diǎn)B到AC的距離為 〔 〕 A A1 D C B B1 C1
8、
D1
M
(A) (B) (C) (D)1
5.如圖:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
AB=a,M是AA1的中點(diǎn),如此點(diǎn)A1到平面
MBD的距離為〔A〕
(A) (B) (C) (D)
P
A
B
C
D
6.如圖,四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=1,設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d1,點(diǎn)B到平面PAC的距離為d2,BC到平面PAD的距離為d3,如此有〔D〕
(A) d3 9、,
PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)
〔1〕求證:AF∥平面PEC
P
A
B
C
D
F
E
·
·
〔2〕假如AD=2,CD=,二面角P-CD-B
為450,求點(diǎn)F到平面PEC的距離
D
P
A
B
C
M
N
8.如圖:ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形,M、N分別是AB、AD的中點(diǎn),CP⊥平面ABCD,PC=a
〔1〕求證:BD∥平面PMN;
E
〔2〕求點(diǎn)B到平面PMN的距離。
【簡(jiǎn)解】由MN∥MD可以得:
BD∥平面PMN
〔2〕……證明到:MN⊥平面PCE.
過(guò)O作OH⊥PE于H,OH⊥MN
10、證明OH⊥平面PMN。由BD∥平面PMN得:OH為的長(zhǎng)為B到平面PMN的距離。
由三角形EHO和三角形ECP相似可得:OH=
9.棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中。點(diǎn)P、Q分別為棱CD、C1D1的中點(diǎn),求P點(diǎn)到平面A1QC1的距離。
【簡(jiǎn)解】如圖:求解P點(diǎn)到平面A1QC1的距離即為求P點(diǎn)到平面A1DC1的距離
法一:體積法
利用三棱錐P-A1C1D的體積=三棱錐A1-PC1D的體積來(lái)求解。
易得:d=
【注意】在計(jì)算三棱錐的體積法時(shí),要合理選擇頂點(diǎn)和底面,要求頂點(diǎn)到底面的距離能夠很方便的表示出來(lái),底面三角形的面積能夠很方便的求解。
O
A
A1
D
C
11、B
B1
C1
D1
.
M
P
Q
L
解法二:直接法:
如圖:取AD的中點(diǎn)L,易證:LP∥平面A1C1D
又平面B1BDD1⊥平面DA1C1
∴M點(diǎn)在平面A1C1D的垂面B1BDD1
∴P到平面A1C1D的距離等于M點(diǎn)到平面A1C1D
的距離。過(guò)M作MH⊥交線DO,
易證MH⊥平面A1C1D。如此MH就是所求的距離。
易得:MH=
A
A
B
C
m
C1
D
A1
B1
10.ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠ABC=900,∠BAC=300,AC=AA1=a,過(guò)A、B1、C三點(diǎn)的平面交平面A1B1C1于直線m
〔1〕試問(wèn)A1C1與直 12、線m的位置關(guān)系怎樣?
〔2〕求點(diǎn)A到直線m的距離
【簡(jiǎn)解】由AC∥平面A1B1C1可得:
A1C1∥直線m
〔2〕作A1D⊥直線m于D,由三垂線定理:
AD⊥直線m
易得:A1D=
∴AD=
11.平面外一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等,如此該直線與這個(gè)平面〔C〕(A)一定平行 (B)一定相交 (C)平行或相交 (D)一定垂直
【變題1】平面α外不共線的三點(diǎn)A、B、C到平面α的距離相等,如此平面ABC與平面α的位置關(guān)系為〔C〕
(A)一定平行 (B)一定相交 (C)平行或相交 (D)一定垂直
【變題2】空間四邊形ABCD,要作一平面使得A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)到該平面的 13、距離相等,這樣的平面共可以作出幾個(gè)?〔7個(gè)〕
【變題3】線段AB在平面α外,A、B兩點(diǎn)到平面α的距離分別為1和3,如此線段AB的中點(diǎn)到平面α的距離為
【提示】答案:2或1。分A、B兩點(diǎn)在平面α的同側(cè)和兩側(cè)兩種情況進(jìn)展討論。
12.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,如此點(diǎn)P到對(duì)角線BD的距離為〔B〕
(A) (B) (C) (D)
【簡(jiǎn)解】利用三垂線定理求點(diǎn)線距。過(guò)A作AH⊥BD于H,連PH為所求4.假如三棱錐P-ABC中,過(guò)P點(diǎn)的三條側(cè)棱兩兩垂直,長(zhǎng)都是a,如此底面上任意一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離之和為
【提示】答案:a。利用體積法可以求得。
α--β 14、的大小是600,ABα,CDβ,且AB⊥于A,CD⊥于C,AB=AC=CD=a
求:〔1〕B、D間的距離;
〔2〕D到AB的距離。
正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為1,M、M1分別為棱BC、B1C1的中點(diǎn),求直線AM與平面A1M1C的距離。
正三角形ABC的邊長(zhǎng)為,PA⊥平面ABC,PA=2,D、E、F分別為BC、DC、AC的中點(diǎn),求直線AD到平面PEF的距離。
17. 解:過(guò)D作DE⊥AB于E,如此BCDE為正方形,CE與BD交于O,如此CE⊥BD.
故∠C′OE為二面角C′-BD-A的平面角.所以∠C′OE=60o,,
17解:由斜線相等,射影相等知,P在底 15、面的射影為△ABC的外心O,又△ABC為Rt△,外心在斜邊中點(diǎn),故PO===
【參考答案】
【根底訓(xùn)練】
〔答:〕〔答:〕〔答:〕〔答:拋物線弧〕〔答:〕〔答:a〕〔答:〕〔答:〕〔答:〕【例題選講】:
【解答】:〔1〕連接AE、PE,因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)
∴AE⊥BC,PE⊥BC,∴BC⊥平面PAE
∴EF⊥BC,又因?yàn)镋F⊥PA于F,
∴EF為異面直線PA和BC的公垂線段。
〔2〕過(guò)P作PO⊥平面ABC,如此O為△ABC的中心
如此有AE=AB=,PO=
由AE?PO=AP?EF得EF=
【解答】:〔1〕不能。假如O與B重合,
如此△A1BA為RT△,AA1為斜邊。
16、
而AA1=1, AB=,矛盾。
〔2〕∵O在AC上,∴平面AC1⊥平面ABC,又△ABC為等腰RT△,∴BC⊥CA,∴BC⊥平面AC1,BC就是BB1與平面AC1間的距離,又BC=1
故BB1與側(cè)面ACC1A1的距離為1
〔3〕假如O為△ABC的外心,如此O為AB的中點(diǎn),且平面A1ABB1⊥平面ABC,∴CO⊥平面A1ABB1,而A1O=.
從而可求得體積為:【簡(jiǎn)解】:〔1〕易證:AO⊥平面BD1
AO即點(diǎn)A到平面BD1的距離。為
〔2〕易證A1E⊥平面AB1D1,如此A1E為
點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離。A1E=
解法二:此題也可利用三棱錐A1-AB1D1的體積等于三棱錐 17、D1-AA1B1的體積來(lái)求解。
〔3〕易證A1C⊥平面AB1D1,A1C⊥平面BC1D,設(shè)直線A1C分別交平面AB1D1、平面BC1D與點(diǎn)E、E,如此EF的長(zhǎng)為平面AB1D1與平面BC1D的距離。
于是:EF=
〔4〕因?yàn)橹本€AB∥平面CDA1B1,∴點(diǎn)B到平面CDA1B1的距離BG就是所求的距離〔G為BC1與B1C的交點(diǎn),BG⊥B1C,BG⊥CD,
∴直線BG⊥平面A1BCD),此距離BG=
【解題回顧】
①求距離的一般步驟是:一作,二證,三計(jì)算。即先作出表示距離的線段,再證明它就是所求的距離,然后再計(jì)算,其中第二步證明過(guò)程再解題中應(yīng)引起足夠的重視。
②求距離的問(wèn)題表現(xiàn)了化歸與 18、轉(zhuǎn)化的思想,一般情況下需要轉(zhuǎn)化為解三角形。
③等積法〔等面積、等體積〕是求距離〔點(diǎn)到線、點(diǎn)到面〕的常用方法,要注意靈活運(yùn)用。
〔1〕證明:∵E、F分別為AB1、BC1的中點(diǎn),
∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC,∴EF∥AC.
∴EF∥平面ABC.
〔2〕證明:∵AB=CC1,∴AB=BB1.又三棱柱為直三棱柱,∴四邊形ABB1A1為正方形.連結(jié)A1B,如此A1B⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面A1BC1.
∴AB1⊥A1C1.
又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面A1ABB1.
∴A1C1⊥AB.
〔3〕解:∵A1B1∥AB,∴A1B1∥平面ABC1.
∴ 19、A1到平面ABC1的距離等于B1到平面ABC1的距離.
過(guò)A1作A1G⊥AC1于點(diǎn)G,
∵AB⊥平面ACC1A1,
∴AB⊥A1G.從而A1G⊥平面ABC1,故A1G即為所求的距離,即A1G=.7.l是過(guò)正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的交線,〔1〕求證:D1B1∥l;〔2〕假如AB=a,求l與D1間的距離.
〔1〕證明:
∵D1B1∥BD,
∴D1B1∥平面ABCD.
又平面ABCD∩平面AD1B1=l,
∴D1B1∥l.
〔2〕解:∵D1D⊥平面ABCD,
在平面ABCD,由D作DG⊥l于G,連結(jié)D1G,如此D1G⊥ 20、l,D1G的長(zhǎng)即等于點(diǎn)D1與l間的距離.
∵l∥D1B1∥BD,∴∠DAG=45°.
∴DG=a,D1G===a. 【分析】:設(shè)法把折起后A〔A1〕到BC的距離
表示為某個(gè)變量的函數(shù),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函
數(shù)的最值問(wèn)題。
【解答】:如圖:
在△ABC中,作AF⊥BC
于F,交DE于G。
∵DE∥BC,∴AG⊥DE,
折起后有A1G⊥DE.
∴∠A1GF為二面角A1-DE-B的平面角
即∠A1GF=600,連接A1F
∵DE⊥平面A1GF,∴BC⊥平面A1GF,從而B(niǎo)C⊥A1F即A1F為折起后A到BC的距離。
設(shè)A1G=x(0 21、1GF中,由余弦定理可得:
A1F2=a
=(0 22、線,然后利用三垂線定理作出點(diǎn)到線的距離,在三角形中求解。
【提示】解法一:可用體積法:∵A1到平面
MBD的距離等于A到平面MBD的距離。
解法二:取BD的中點(diǎn)O,如此平面AMO⊥平面MBD,過(guò)A點(diǎn)作MO的垂線,垂足為H,如此AH就是A到平面MBD的距離。
【提示】d1=,d2=,d3=1
P
A
B
C
D
F
E
·
·
G
H
【分析】證明線面平行,應(yīng)該用判定定理,
即在平面PEC找一條直線與AF平行,
而求點(diǎn)到面的距離要確定垂足的位置或者用體積法求解。
【解】取PC的中點(diǎn)G,證明四邊形EGFA為平行四邊形
從而AG∥FG, 23、可得:AF∥平面PEC
〔2〕……證明∠PDA為二面角P-CD-B的平面角
……再證明AF⊥平面PDC
過(guò)F作FH⊥PC于H,證明FH⊥平面PCE,從而FH為點(diǎn)F到平面PDC的距離。由面積法可得:FH=1
【注意】此題〔2〕中也可用體積法求解。VF-PEC=VE-PFC來(lái)求解。
O
D
解答圖
P
A
B
C
P
A
B
C
如圖:平面α有RT△ABC,∠C=900,P是平面α外一點(diǎn),且PA=PB=PC,P到平面α的距離是40㎝,AC=18㎝,求點(diǎn)P到BC的距離。
【簡(jiǎn)解】
取AB的中點(diǎn)O,CB的中點(diǎn)D
連接PO、OC、OD
……證明PO⊥平面ABC
……證明PD⊥BC
即PD為P到BC的距離。
在RT△POD中求得PD=41㎝
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