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1、
第七講 分式方程和無理方程的解法
初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法.本講將要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法.并且只要求掌握(1)不超過三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的解法,會用”去分母”或”換元法”求方程的根,并會驗(yàn)根;(2)了解無理方程概念,掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法,會用”平方”或”換元法”求根,并會驗(yàn)根.
一、可化為一元二次方程的分式方程
1.去分母化分式方程為一元二次方程
【例1】解方程 .
分析:去分母,轉(zhuǎn)化為整式方程.
解:原方程可化為:
方程兩邊各項(xiàng)都乘以:
即, 整理得:
解得:或.
2、檢驗(yàn):把代入,不等于0,所以是原方程的解;
把代入,等于0,所以是增根.
所以,原方程的解是.
說明:
(1) 去分母解分式方程的步驟:
①把各分式的分母因式分解; ②在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母; ③去括號,把所有項(xiàng)都移到左邊,合并同類項(xiàng); ④解一元二次方程; ⑤驗(yàn)根.
(2) 驗(yàn)根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn),但代入原方程計(jì)算量較大.而分式方程可能產(chǎn)生的增根,就是使分式方程的分母為0的根.因此我們只要檢驗(yàn)一元二次方程的根,是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡公分母為0.若為0,即為增根;若不為0,即為原方程的解.
2.用換元法化分式方程為一元二次方程
3、
【例2】解方程
分析:本題若直接去分母,會得到一個(gè)四次方程,解方程很困難.但注意到方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),設(shè),即得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程.最后在已知的值的情況下,用去分母的方法解方程.
解:設(shè),則原方程可化為: 解得或.
(1)當(dāng)時(shí),,去分母,得;
(2)當(dāng)時(shí),.
檢驗(yàn):把各根分別代入原方程的分母,各分母都不為0.
所以,,都是原方程的解.
說明:用換元法解分式方程常見的錯(cuò)誤是只求出的值,而沒有求到原方程的解,即的值.
【例3】解方程 .
分析:注意觀察方程特點(diǎn),可以看到分式與互為倒數(shù).因此,可以設(shè),即可將原方程化為一個(gè)較為簡單的分式方程.
解:設(shè),則
原方程可
4、化為:.
(1)當(dāng)時(shí),;
(2)當(dāng)時(shí),.
檢驗(yàn):把把各根分別代入原方程的分母,各分母都不為0.
所以,原方程的解是,,.
說明:解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,體現(xiàn)了化歸思想.
二、可化為一元二次方程的無理方程
根號下含有未知數(shù)的方程,叫做無理方程.
1.平方法解無理方程
【例4】解方程
分析:移項(xiàng)、平方,轉(zhuǎn)化為有理方程求解.
解:移項(xiàng)得:
兩邊平方得:
移項(xiàng),合并同類項(xiàng)得:
解得:或
檢驗(yàn):把代入原方程,左邊右邊,所以是增根.
把代入原方程,左邊 = 右邊,所以是原方程的根.
所以,原方程的
5、解是.
說明:含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程的一般步驟:
①移項(xiàng),使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式,其余各項(xiàng)均移到方程的右邊;②兩邊同時(shí)平方,得到一個(gè)整式方程;③解整式方程;④驗(yàn)根.
【例5】解方程
分析:直接平方將很困難.可以把一個(gè)根式移右邊再平方,這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式,再用例4的方法解方程.
解:原方程可化為:
兩邊平方得:
整理得:
兩邊平方得:
整理得:,解得:或.
檢驗(yàn):把代入原方程,左邊=右邊,所以是原方程的根.
把代入原方程,左邊右邊,所以是增根.
所以,原方程的解是.
說明:含未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)的無理方
6、程的一般步驟:
①移項(xiàng),使方程的左邊只保留一個(gè)含未知數(shù)的二次根式;②兩邊平方,得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程;③一下步驟同例4的說明.
2.換元法解無理方程
【例6】解方程
分析:本題若直接平方,會得到一個(gè)一元四次方程,難度較大.注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn):.因此,可以設(shè),這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理.
解:設(shè),則
原方程可化為:,
即,解得:或.
(1)當(dāng)時(shí),;
(2)當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以方程無解.
檢驗(yàn):把分別代入原方程,都適合.
所以,原方程的解是.
說明:解決根式方程的方法就是采取平
7、方、換元等法,將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程,體現(xiàn)了化歸思想.
練 習(xí)
A 組
1.解下列方程:
(1) (2)
(3) (4)
2.用換元法解方程:
3.解下列方程:
(1) (2) (3)
4.解下列方程:
(1) (2)
5.用換元法解下列方程:
(1) (2)
B 組
1.解下列方程:
(1) (2)
(3) (4)
2.用換元法解下列方程:
(1) (2)
(3)
3.若是方程的解,試求的值.
4.解下列方程:
(1) (2)
5.解下列方程:
(1) (2)
(3)
第七講 分式方程和無理方程的解法答案
A 組
1.
2.
3.
4.(1).(2) .
5.
B 組
1.
2.
3.
4.
5.