高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)沖刺方案文數(shù)經(jīng)典版文檔：第二編 專題七 第2講 不等式選講 Word版含解析

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1、 第2講　不等式選講 「考情研析」　　　　不等式選講主要考查平均值不等式的應(yīng)用，絕對值三角不等式的理解及應(yīng)用、含絕對值不等式的解法、含參不等式解法和恒成立問題以及不等式的證明方法(比較法、綜合法、分析法、放縮法)及它們的應(yīng)用．其中絕對值不等式的解法及證明方法的應(yīng)用是重點．難度不大，分值10分，一般會出現(xiàn)在選考部分第二題的位置. 核心知識回顧 1.絕對值的三角不等式 定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立． 定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成

2、立． 2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c(c>0)?－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥c(c>0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用絕對值不等式幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想． (2)利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論思想． (3)通過構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想． 4．證明不等式的基本方法 (1)比較法；(2)綜合法；(3)分析法； (4)反證法；(5)放縮法． 5．二維形式的柯

3、西不等式 若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時，等號成立． 熱點考向探究 考向1 絕對值不等式的解法及應(yīng)用 角度1　絕對值不等式的解法 例1　(2019·烏魯木齊高三第二次質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|－|x－a|，a∈R. (1)當a＝1時，求不等式f(x)<0的解集； (2)若關(guān)于x的不等式f(x)

4、 當－1≤x≤1，由f(x)＜0得2(x＋1)＋(x－1)＜0， 即3x＋1＜0，得x＜－，此時－1≤x＜－， 當x＞1時，由f(x)＜0得2(x＋1)－(x－1)＜0， 即x＋3＜0，得x＜－3，此時無解，綜上，不等式的解集為－3

5、掉絕對值的不等式． ④取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值． (2)用圖象法求解不等式 用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法． (3)用絕對值不等式的幾何意義求解． (1)解關(guān)于x的不等式x|x＋4|＋3<0； (2)關(guān)于x的不等式|x|＋2|x－9|

6、價于a>f(x)min. f(x)＝所以f(x)的最小值為9. 所以a>9，即實數(shù)a的取值范圍為(9，＋∞)． 角度2　絕對值不等式恒成立(或存在性)問題 例2　(2019·德陽市高三第二次診斷)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|－|x＋2|. (1)當a＝1時，求不等式f(x)≤－x的解集； (2)若f(x)≤a2＋1恒成立，求a的取值范圍． 解　(1)當a＝1時，f(x)＝|x－1|－|x＋2|， 即f(x)＝ 不等式f(x)≤－x即為或 或即有x≤－3或－1≤x＜1或1≤x≤3， 得x≤－3或－1≤x≤3， 所以不等式的解集為{x|x≤－3或－1≤x≤3}． (2)∵

7、|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|， ∴f(x)≤|a＋2|， 若f(x)≤a2＋1恒成立，則|a＋2|≤a2＋1， 即或 解得a≤或a≥， ∴實數(shù)a的取值范圍是∪. 解答含參數(shù)的絕對值不等式應(yīng)熟記的幾個轉(zhuǎn)化 f(x)>a恒成立?f(x)min>a；f(x)a有解?f(x)max>a；f(x)a無解?f(x)max≤a；f(x)

8、解關(guān)于x的不等式g(x)≥|x－1|； (2)如果?x∈R，不等式|g(x)|－c≥|x－1|恒成立，求實數(shù)c的取值范圍． 解　(1)由題意可得，g(x)＝2x－1， 所以g(x)≥|x－1|即2x－1≥|x－1|. ①當x≥1時，2x－1≥x－1，解得x≥0，所以x≥1； ②當x<1時，2x－1≥1－x， 解得x≥，所以≤x<1. 綜上，x∈. (2)因為|2x－1|－c≥|x－1|，即c≤|2x－1|－|x－1|. 令φ(x)＝|2x－1|－|x－1|＝ 因為對?x∈R，不等式|g(x)|－c≥|x－1|恒成立， 所以c≤φ(x)min，因為φ(x)min＝φ＝－，

9、 所以c≤－. 考向2 絕對值不等式的證明 例3　已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|－|x－b|. (1)當a＝1，b＝1時，解關(guān)于x的不等式f(x)>1； (2)若函數(shù)f(x)的最大值為2，求證：＋≥2. 解　(1)當a＝1，b＝1時， f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝ ①當x≥1時，f(x)＝2>1，不等式恒成立， 此時不等式的解集為{x|x≥1}； ②當－1≤x<1時，f(x)＝2x>1，所以x>， 此時不等式的解集為； ③當x<－1時，f(x)＝－2>1，不等式不成立，此時無解． 綜上所述，不等式f(x)>1的解集為. (

10、2)證法一：由絕對值三角不等式可得 |x＋a|－|x－b|≤|a＋b|，a>0，b>0，∴a＋b＝2， ∴＋＝(a＋b)＝≥2， 當且僅當a＝b＝1時，等號成立． 證法二：∵a>0，b>0，∴－a<0

11、用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明． ②利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|進行證明． ③轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進行證明． (2019·延安市高考模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，x∈R. (1)解不等式f(x)<|x|＋1； (2)若對x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求證：f(x)≤. 解　(1)因為f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1， 即或或 解得≤x<2或0

12、x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)| ≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|≤2×＋＝. 考向3 柯西不等式的應(yīng)用 例4　已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求證： (1)＋＋≤ ； (2)＋＋≥. 證明　(1)由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋ 12)[()2＋()2＋()2]＝3，當且僅當＝＝，即a＝b＝c＝時等號成立，∴＋＋≤ . (2)證法一：∵＋(3a＋1)≥2＝4，∴≥3－3a. 同理得≥3－3b，≥3－3c， 以上三式相加得，4≥9－3(a＋b＋c)＝ 6， ∴＋＋≥. 證法二：由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋

13、1)＋(3c＋1)]≥＋·＋·2＝9， 又a＋b＋c＝1，∴6≥9， ∴＋＋≥. 柯西不等式的應(yīng)用方法 (1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明． (2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為(a＋a＋…＋a)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件． (2019·南通市高三下學(xué)期模擬)已知a，b，c均為正數(shù)，且a＋2b＋4c＝3，求＋＋的最小值，并指出取得最小值時a，b，c的值． 解　因為a＋2b＋4c＝3，所以(a＋1)＋2(b

14、＋1)＋4(c＋1)＝10， 因為a，b，c為正數(shù)，所以由柯西不等式得， [(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)]·≥(1＋＋2)2， 當且僅當(a＋1)2＝2(b＋1)2＝4(c＋1)2等式成立， 所以＋＋≥， 所以＋＋的最小值是， 此時a＝，b＝，c＝. 真題押題 『真題模擬』 1．(2019·哈爾濱市第六中學(xué)高三第二次模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1|－a. (1)當a＝4時，求不等式f(x)>0的解集； (2)若函數(shù)f(x)的定義域為R，求a的取值范圍． 解　(1)當a＝4時，f(x)＞0為|2x－1|＋2|x＋1|>4， 當x≤－1時，1－2

15、x－2x－2>4?x<－； 當－14，無解； 當x≥時，2x－1＋2x＋2>4?x>. 綜上，f(x)>0的解集為∪. (2)由題意得|2x－1|＋2|x＋1|>a恒成立， a<(|2x－1|＋2|x＋1|)min. |2x－1|＋2|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，∴a<3. 2．(2019·赤峰市高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，g(x)＝x2－2x－1. (1)若m，n∈R，不等式f(m)≥g(n)恒成立，求實數(shù)n的取值范圍； (2)設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝2，求證：＋≤2.

16、 解　(1)由f(m)＝|m－1|＋|m＋1|≥|(m－1)－(m＋1)|＝2， ∴f(m)min＝2，∴n2－2n－1≤2，∴－1≤n≤3， 所以n的取值范圍是[－1,3]． (2)證明：由(1)可知，2≥2，∴(＋)2＝a＋b＋2＋2≤4＋(a＋1)＋(b＋1)＝8， ∴＋≤2， 當且僅當a＝b＝1時等號成立， ∴＋≤2. 3．(2019·全國卷Ⅰ)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1. 證明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 證明　(1)因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1

17、，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋. 當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立． 所以＋＋≤a2＋b2＋c2. (2)因為a，b，c為正數(shù)且abc＝1， 故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3 ≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a) ≥3×(2)×(2)×(2)＝24. 當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立． 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 『金版押題』 4．已知函數(shù)f(x)＝|2x－3|－|x＋1|. (1)若不等式f(x)≤a的解集是空集，求實數(shù)a的取值范圍； (2)若存在x0∈R，使得2f(x0)≤－t2＋4|t|成立，求實數(shù)t的

18、取值范圍． 解　(1)f(x)＝|2x－3|－|x＋1| ＝y(tǒng)＝f(x)的圖象如圖所示， 易得f(x)min＝－. ∵不等式f(x)≤a的解集是空集， ∴a的取值范圍為. (2)?x0∈R，使得2f(x0)≤－t2＋4|t|成立， 即2f(x)min≤－t2＋4|t|，由(1)知f(x)min＝－， ∴t2－4|t|－5≤0，解得－5≤t≤5， ∴t的取值范圍為[－5,5]． 配套作業(yè) 1．(2019·西安八校高三聯(lián)考)已知a，b均為實數(shù)，且|3a＋4b|＝10. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若|x＋3|－|x－2|≤a2＋b2對任意的a，b∈R恒成立，求

19、實數(shù)x的取值范圍． 解　(1)因為102＝(3a＋4b)2≤(32＋42)(a2＋b2)＝25(a2＋b2)， 所以a2＋b2≥4，當且僅當＝， 即或時取等號， 即a2＋b2的最小值為4. (2)由(1)知|x＋3|－|x－2|≤a2＋b2對任意的a，b∈R恒成立?|x＋3|－|x－2|≤4?或或?x<－3或－3≤x≤?x≤，所以實數(shù)x的取值范圍為. 2．已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x－1|. (1)當a＝3時，求不等式f(x)≥2的解集； (2)若f(x)≥5－x對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當a＝3時，即求解|2x－3|＋|x－1|≥2， ①

20、當x≥時，2x－3＋x－1≥2，∴x≥2； ②當1

21、min＝－3，∴m≥－3， 即m的取值范圍為[－3，＋∞)． (2)x2－8x＋15＋f(x)＝ ①x≤2，x2－8x＋18≤0，解集為?. ②20，所以x不存在； 當0≤x<時，原不等式可化為－2x－x<0， 解

22、得x>0，所以02x成立，求a的取值范圍． 解　(1)

23、當a＝1時， f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝ 由f(x)≤2，得或 或 解得x∈?或－≤x≤或－4≤x<－， 所以不等式f(x)≤2的解集為. (2)當x∈時，不等式f(x)>2x等價于2x＋1－|ax－1|>2x，即|ax－1|<1， 所以－1

24、(1)當m＝－1時，f(x)＋f(－x)＝|x＋1|＋|x－1|， 設(shè)F(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝ 當x<－1時，－2x≥2－x，解得x≤－2； 當－1≤x<1時，2≥2－x，解得0≤x<1； 當x≥1時，2x≥2－x，解得x≥1. 綜上，原不等式的解集為{x|x≤－2或x≥0}． (2)f(x)＋f(2x)＝|x－m|＋|2x－m|，m<0. 設(shè)g(x)＝f(x)＋f(2x)， 當x≤m時，g(x)＝m－x＋m－2x＝2m－3x，則g(x)≥－m； 當m

25、m， 則g(x)≥－.則g(x)的值域為， 由題知不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，則1>－，解得m>－2，由于m<0， 故m的取值范圍是(－2，0)． 7．(2019·寶雞市高考模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋3|. (1)求不等式f(x)≤2的解集； (2)若不等式f(x)2， 所以不等式f(x)≤2的解集為. (2)因為|f(x)|＝||x－2|－|x＋3||≤|x－2－x－3|＝5， 所以－5≤f(x)≤

26、5，即f(x)min＝－5； 要使不等式f(x)0，解得a<－5或a>－1， 所以a的取值范圍為(－∞，－5)∪(－1，＋∞)． 8．(2019·太原市高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1|. (1)求不等式f(x)≤5的解集； (2)若存在實數(shù)x0，使得f(x0)≤5＋m－m2成立的m的最大值為M，且實數(shù)a，b滿足a3＋b3＝M，證明：00， ∵2ab≤a2＋b2，∴4ab≤(a＋b)2，∴ab≤， ∵2＝a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]≥(a＋b)3， ∴a＋b≤2，∴0