2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 指導(dǎo)三 回扣溯源、查缺補(bǔ)漏、考前提醒名師導(dǎo)學(xué)案 文

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1、 指導(dǎo)三 回扣溯源、查缺補(bǔ)漏、考前提醒 專題研讀 解決“會(huì)而不對(duì),對(duì)而不全”問(wèn)題是決定高考成敗的關(guān)鍵,高考數(shù)學(xué)考試中出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因很多,其中錯(cuò)解類型主要有:知識(shí)性錯(cuò)誤,審題或忽視隱含條件錯(cuò)誤,運(yùn)算錯(cuò)誤,數(shù)學(xué)思想、方法運(yùn)用錯(cuò)誤,邏輯性錯(cuò)誤,忽視等價(jià)性變形錯(cuò)誤等.下面我們分幾個(gè)主要專題對(duì)易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)和典型問(wèn)題進(jìn)行剖析,為你提個(gè)醒,力爭(zhēng)做到“會(huì)而對(duì),對(duì)而全”. 溯源回扣一 集合與常用邏輯用語(yǔ) 1.描述法表示集合時(shí),一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素.如:{x|y=lg x}——函數(shù)的定義域;{y|y=lg x}——函數(shù)的值域;{(x,y)|y=lg x}——函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.

2、 [回扣問(wèn)題1] 集合A={x|x+y=1},B={(x,y)|x-y=1},則A∩B=________. 解析 A=R,B表示直線x-y=1上的點(diǎn)集,∴A∩B=?. 答案 ? 2.遇到A∩B=?時(shí),你是否注意到“極端”情況:A=?或B=?;同樣在應(yīng)用條件A∪B=B?A∩B=A?A?B時(shí),不要忽略A=?的情況. [回扣問(wèn)題2] 設(shè)集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx-1=0},若A∩B=B,則實(shí)數(shù)m組成的集合是____________. 解析 由題意知集合A={2,3},由A∩B=B知B?A. ①當(dāng)B=?時(shí),即方程mx-1=0無(wú)解,此時(shí)m=0符合已知條件; ②當(dāng)B≠

3、?時(shí),即方程mx-1=0的解為2或3,代入得m=或. 綜上,滿足條件的m組成的集合為. 答案  3.注重?cái)?shù)形結(jié)合在集合問(wèn)題中的應(yīng)用,列舉法常借助Venn圖解題,描述法常借助數(shù)軸來(lái)運(yùn)算,求解時(shí)要特別注意端點(diǎn)值. [回扣問(wèn)題3] 已知全集I=R,集合A={x|y=},集合B={x|0≤x≤2},則(?IA)∪B等于(  ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.[0,+∞) D.(0,+∞) 解析 A=(-∞,1],B=[0,2],∴?IA=(1,+∞),則(?IA)∪B=[0,+∞). 答案 C 4.“否命題”是對(duì)原命題“若p,則q”既否定其條件,又否定其結(jié)論;而“命題p

4、的否定”即:非p,只是否命題p的結(jié)論. [回扣問(wèn)題4] 已知實(shí)數(shù)a,b,若|a|+|b|=0,則a=b.該命題的否命題是________,命題的否定是________. 答案 已知實(shí)數(shù)a,b,若|a|+|b|≠0,則a≠b 已知實(shí)數(shù)a,b,若|a|+|b|=0,則a≠b 5.要弄清先后順序:“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B,且B不能推出A. [回扣問(wèn)題5] (2017·天津卷)設(shè)x∈R,則“2-x≥0”是 “|x-1|≤1”的(  ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也

5、不必要條件 解析 由2-x≥0,得x≤2,由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,當(dāng)x≤2時(shí)不一定有x≥0,而當(dāng)0≤x≤2時(shí)一定有x≤2,∴“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分條件. 答案 B 6.含有量詞的命題的否定,不僅是把結(jié)論否定,而且要改寫(xiě)量詞,全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~,存在量詞變?yōu)槿Q量詞. [回扣問(wèn)題6] 命題p:?x∈R,ex-x-1>0,則綈p是________. 解析 “?”變?yōu)椤?”,并將結(jié)論否定,∴綈p:?x0∈R,ex0-x0-1≤0. 答案 ?x0∈R,ex0-x0-1≤0 7.存在性或恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍時(shí),常與補(bǔ)集思想聯(lián)合應(yīng)用,即

6、體現(xiàn)了正難則反思想. [回扣問(wèn)題7] 若存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________. 解析 “存在a∈[1,3],使不等式ax2+(a-2)x-2>0成立”的否定是“對(duì)任意a∈[1,3],不等式ax2+(a-2)x-2≤0成立”,即(x2+x)a-2x-2≤0對(duì)a∈[1,3]恒成立,設(shè)f(a)=(x2+x)a-2x-2,其中a∈[1,3]. 若f(a)≤0,則解得-1≤x≤. 故要使原不等式成立,則x>或x<-1. 答案 (-∞,-1)∪ 溯源回扣二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 1.求函數(shù)的定義域,關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來(lái)列出

7、相應(yīng)的不等式(組)求解,如開(kāi)偶次方根,被開(kāi)方數(shù)一定是非負(fù)數(shù);對(duì)數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù);列不等式時(shí),應(yīng)列出所有的不等式,不應(yīng)遺漏. [回扣問(wèn)題1] 函數(shù)f(x)=ln+x的定義域?yàn)?  ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞) 解析 要使函數(shù)有意義,應(yīng)有則 解得x>1. 答案 B 2.求解與函數(shù)、不等式有關(guān)的問(wèn)題(如求值域、單調(diào)區(qū)間、判斷奇偶性、解不等式等),要注意定義域優(yōu)先的原則. [回扣問(wèn)題2] (2017·全國(guó)Ⅱ卷改編)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)增區(qū)間是________. 解析 要使函數(shù)有意義,則x2-2x-8>

8、0,解得x<-2或x>4,結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(4,+∞). 答案 (4,+∞) 3.定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件,為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí),務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),但不一定有f(0)=0成立. [回扣問(wèn)題3] 函數(shù)f(x)=的奇偶性是______. 解析 由1-x2>0且|x-2|-2≠0,知f(x)的定義域?yàn)?-1,0)∪(0,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則f(x)=, 又f(-x)==-f(x), ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 答案 奇函數(shù) 4.理清函數(shù)奇偶性的性質(zhì). (

9、1)f(x)是偶函數(shù)?f(-x)=f(x)=f(|x|); (2)f(x)是奇函數(shù)?f(-x)=-f(x); (3)定義域含0的奇函數(shù)滿足f(0)=0. [回扣問(wèn)題4] 已知f(x)為偶函數(shù),它在[0,+∞)上是減函數(shù),若f(lg x)>f(1),則x的取值范圍是________. 解析 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(lg x)=f(|lg x|), 從而由f(lg x)>f(1),得f(|lg x|)>f(1), 又因?yàn)閒(x)在[0,+∞)上是減函數(shù), 所以|lg x|<1,即-1

10、“函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(a+x)(a>0),則f(x)是周期為a的周期函數(shù)”得: (1)函數(shù)f(x)滿足-f(x)=f(a+x),則f(x)是周期T=2a的周期函數(shù); (2)若f(x+a)=(a≠0)成立,則T=2a; (3)若f(x+a)=-(a≠0)恒成立,則T=2a; (4)若f(x+a)=f(x-a)(a≠0)成立,則T=2a. [回扣問(wèn)題5] 對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x,都有f(x+2)=-,若當(dāng)2

11、 6.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí),多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”和“或”連接,可用“和”連接,或用“,”隔開(kāi).單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”,而不能用集合或不等式代替. [回扣問(wèn)題6] 函數(shù)f(x)=x3-3x的單調(diào)增區(qū)間是________. 解析 由f′(x)=3x2-3>0,得x>1或x<-1. 答案 (-∞,-1)和(1,+∞) 7.圖象變換的幾個(gè)注意點(diǎn). (1)混淆平移變換的方向與單位長(zhǎng)度. (2)區(qū)別翻折變換:f(x)→|f(x)|與f(x)→f(|x|). (3)兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱. ①函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱. ②函數(shù)y=f(x)與y=f(-

12、x)的圖象關(guān)于直線x=0(y軸)對(duì)稱;函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于直線y=0(x軸)對(duì)稱. [回扣問(wèn)題7] (2016·全國(guó)Ⅲ卷)函數(shù)y=sin x-cos x的圖象可由函數(shù)y=2sin x的圖象至少向右平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到. 解析 y=sin x-cos x=2sin. ∴y=2sin x的圖象向右平移個(gè)單位, 得y=2sin 的圖象. 答案  8.不能準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì).如函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的單調(diào)性忽視字母a的取值討論,忽視ax>0;對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件. [回扣問(wèn)題8] 

13、函數(shù)y=loga|x|的增區(qū)間為_(kāi)_______________________________. 答案 當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)的增區(qū)間為(0,+∞); 當(dāng)0

14、 B.2 C.3 D.4 解析 由|x-2|-ln x=0,得ln x=|x-2|.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作y=ln x與y=|x-2|的圖象(圖略),有兩個(gè)交點(diǎn). ∴f(x)=|x-2|-ln x在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn). 答案 B 11.混淆y=f(x)在某點(diǎn)x0處的切線與y=f(x)過(guò)某點(diǎn)x0的切線,導(dǎo)致求解失誤. [回扣問(wèn)題11] (2017·天津卷)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為_(kāi)_______. 解析 f(1)=a,切點(diǎn)為(1,a).f′(x)=a-,則切線的斜率為f′(1)=a-1,切線方程為y-a=

15、(a-1)(x-1),令x=0得出y=1,故l在y軸上的截距為1. 答案 1 12.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性:設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f′(x)>0,那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);如果f′(x)<0,那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù). 注意 如果已知f(x)為減函數(shù)求參數(shù)取值范圍,那么不等式f′(x)≤0恒成立,但要驗(yàn)證f′(x)是否恒等于0,增函數(shù)亦如此. [回扣問(wèn)題12] 若函數(shù)f(x)=ax3-x2+x-5在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是________. 解析 f(x)=ax3-x2+x-5的

16、導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3ax2-2x+1. 由f′(x)≥0在R上恒成立,得解得a≥. 當(dāng)a=時(shí),f′(x)=(x-1)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),∴a≥. 答案  13.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),錯(cuò)以為f′(x0)=0是函數(shù)y=f(x)在x=x0處有極值的充分條件. [回扣問(wèn)題13] 若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極小值10,則a+b=________. 解析 由題意知,f′(x)=3x2+2ax+b, 解得或經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a=4,b=-11時(shí),滿足題意;當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f′(x)=3(x-1)2≥0恒成立,不滿足題意,舍去. 答案?。? 溯源回扣三

17、 三角函數(shù)與平面向量 1.三角函數(shù)值是比值,是一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置無(wú)關(guān),只由角α的終邊位置決定. [回扣問(wèn)題1] 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,-4),則sin α+cos α的值為_(kāi)_______. 解析 由三角函數(shù)定義,sin α=-,cos α=, ∴sin α+cos α=-. 答案?。? 2.求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要注意ω,A的符號(hào).若ω<0時(shí),應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再求解;在書(shū)寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí),不能弧度和角度混用,需加2kπ時(shí),不要忘掉k∈Z,所求區(qū)間一般為閉區(qū)間. [回扣問(wèn)題2] 函數(shù)y=sin的遞減區(qū)間是

18、________. 解析 y=-sin, 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z. 答案 (k∈Z) 3.在三角函數(shù)求值中,忽視隱含條件的制約導(dǎo)致增解. [回扣問(wèn)題3] 已知cos α=,sin(α+β)=,0<α<,0<β<,則cos β=________. 解析 ∵0<α<且cos α=

19、案  4.已知三角形兩邊及一邊對(duì)角,利用正弦定理解三角形時(shí),注意解的個(gè)數(shù)討論,可能有一解、兩解或無(wú)解.在△ABC中,A>B?sin A>sin B. [回扣問(wèn)題4] 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且a=1,c=.若C=,則角A=________. 解析 由正弦定理得=,即sin A==. 又a0,且a,b不同向;故a·b>0是θ為銳角的必要不充分條件;當(dāng)θ為鈍角時(shí),a·b<0,且a,b不反向,故a·b<0是θ為鈍角的必要不充分條件. [回扣問(wèn)題5] 

20、已知向量a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,設(shè)a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是____________. 解析 因?yàn)棣葹殇J角, 所以0

21、 答案 直角三角形 溯源回扣四 數(shù)列與不等式 1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求an,易忽視n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示.事實(shí)上,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1. [回扣問(wèn)題1] 已知數(shù)列{an}對(duì)任意的n∈N*都滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8-5n,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______. 解析 當(dāng)n≥2時(shí),由于a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8-5n, 那么a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8-5(n-1), 兩式對(duì)應(yīng)相減可得2n-1an=8-5n-[8-5(n-1)]=-5,所以an=-. 而當(dāng)n=1

22、時(shí),a1=3≠-=-5,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an= 答案 an= 2.等差數(shù)列中不能熟練利用數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件,并靈活整體代換進(jìn)行基本運(yùn)算.如等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,已知=,求時(shí),無(wú)法正確賦值求解. [回扣問(wèn)題2] 等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且=,則=________. 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì),=====. 答案  3.運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),易忘記分類討論.一定分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論. [回扣問(wèn)題3] 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+S6=S9,則公比q=________. 解析

23、 (1)當(dāng)q=1時(shí),顯然S3+S6=S9成立. (2)當(dāng)q≠1時(shí),由S3+S6=S9, 得+=. 由于1-q3≠0,得q6=1,∴q=-1. 答案 1或-1 4.利用等差數(shù)列定義求解問(wèn)題時(shí),易忽視an-an-1=d(常數(shù))中,n≥2,n∈N*的限制,類似地,在等比數(shù)列中,=q(常數(shù)且q≠0),忽視n∈N*的條件限制. [回扣問(wèn)題4] (2015·安徽卷改編)已知數(shù)列{an}中,a1=a2=1,an+1=an+(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________. 解析 由a2=1,an+1=an+(n≥2),∴數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起是公差為的等差數(shù)列,∴S9=a1+a2+a3

24、+…+a9 =1+8a2+×=23. 答案 23 5.解形如一元二次不等式ax2+bx+c>0時(shí),易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解,要注意分a>0,a<0進(jìn)行討論. [回扣問(wèn)題5] 若不等式x2+x-10對(duì)x∈R恒成立. (1)當(dāng)m2-1=0且m+1=0,不等式恒成立,∴m=-1. (2)當(dāng)m2-1≠0時(shí),則 即所以m>或m<-1. 綜合(1)(2)知,m的取值范圍為(-∞,-1]∪. 答案 (-∞,-1]∪ 6.容易忽視使用基本不等式求最值的條件

25、,即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯(cuò)解,如求函數(shù)f(x)=+的最值,就不能利用基本不等式求解最值. [回扣問(wèn)題6] 已知a>0,b>0,a+b=1,則y=+的最小值是________. 解析 ∵a>0,b>0,a+b=1,∴y=·(a+b)=5++≥9,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立. 答案 9 7.求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí),不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯(cuò)解,如是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-2,2)連線的斜率,而(x-1)2+(y-1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(1,1)的距離的平方等. [回扣問(wèn)題7] (2016·江蘇卷)已知實(shí)數(shù)x,y滿足則x2+y2的取值范圍是______

26、__. 解析 作滿足條件的可行域如圖中陰影部分所示. d=可以看作坐標(biāo)原點(diǎn)O與可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)之間的距離.數(shù)形結(jié)合,知d的最大值是OA的長(zhǎng),d的最小值是點(diǎn)O到直線2x+y-2=0的距離. 由得A(2,3), ∴dmax=|OA|==,dmin==. 則d2的最小值為,最大值為13, ∴x2+y2的取值范圍是. 答案  8.對(duì)于通項(xiàng)公式中含有(-1)n的一類數(shù)列,在求Sn時(shí),切莫忘記討論n的奇偶性;遇到已知an+1-an-1=d或=q(n≥2),求{an}的通項(xiàng)公式,要注意分n的奇偶性討論. [回扣問(wèn)題8] (2015·山東卷改編)若an=2n-1,且bn=(-1)n

27、-1,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=________. 解析 bn=(-1)n-1=(-1)n-1. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=-+-…+-, ∴Tn=1-=. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=-+-…-+, ∴Tn=1+=, 故Tn= 答案 Tn= 9.求解不等式、函數(shù)的定義域、值域時(shí),其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示,另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的影響. [回扣問(wèn)題9] 已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是,則ax2-bx+c>0的解集為_(kāi)_______. 解析 ∵ax2+bx+c<0的解集為, ∴a<0,且=1,-=-, ∴b=a,c=a,故ax2-bx

28、+c>0化為ax2-ax+a>0, 由于a<0,得x2-x+1<0,解之得

29、 在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn),根據(jù)三視圖的畫(huà)圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④,俯視圖為②,D正確. 答案 D 2.易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別,幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和,不能漏掉幾何體的底面積;求錐體體積時(shí),易漏掉體積公式中的系數(shù). [回扣問(wèn)題2] (2017·鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示,其中側(cè)視圖為半圓,則該幾何體的體積V=________. 解析 該幾何體為半個(gè)圓錐,由三視圖知,圓錐的高h(yuǎn)==2, 因此V=××2×π·12=π. 答案 π 3.不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理,忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件,導(dǎo)致判斷出錯(cuò)

30、.如由α⊥β,α∩β=l,m⊥l,易誤得出m⊥β的結(jié)論,這是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α的限制條件. [回扣問(wèn)題3] 已知m,n是不同的直線,α,β,γ是不同的平面.給出下列命題: ①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n⊥α或n⊥β. ②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,則m∥n. ③若m不垂直于α,則m不可能垂直于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線. ④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,則n∥α,且n∥β. ⑤若m,n為異面直線,則存在平面α過(guò)m且使n⊥α.其中正確的命題序號(hào)是________. 解析?、馘e(cuò)誤.如正方體中面ABB′A′⊥面ADD′A′,交線為AA′. 直線AC⊥A

31、A′,但AC不垂直面ABB′A′,同時(shí)AC也不垂直面ADD′A′; ②正確.實(shí)質(zhì)上是兩平面平行的性質(zhì)定理. ③錯(cuò)誤.在上面的正方體中,A′C不垂直于平面A′B′C′D′,但與B′D′垂直.這樣A′C就垂直于平面A′B′C′D′內(nèi)與直線B′D′平行的無(wú)數(shù)條直線. ④正確.利用線面平行的判定定理即可. ⑤正確.如正方體中AA′?平面AA′D′D,而CD⊥平面AA′D′D,且AA′與CD異面. 答案?、冖堍? 4.忽視三視圖的實(shí)、虛線,導(dǎo)致幾何體的形狀結(jié)構(gòu)理解錯(cuò)誤. [回扣問(wèn)題4] 如圖,一個(gè)簡(jiǎn)單凸多面體的三視圖的外輪廓是三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,則此多面體的體積為_(kāi)___________.

32、 解析 由三視圖可知,幾何體為正方體截去兩個(gè)三棱錐后的部分,因?yàn)閂正方體=1,V三棱錐=×13×=,因此,該多面體的體積V=1-×2=. 答案  5.注意圖形的翻折與展開(kāi)前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對(duì)照前后圖形,弄清楚變與不變的元素后,再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系. [回扣問(wèn)題5] (2017·廣州模擬)如圖①,在平面四邊形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如圖②),設(shè)點(diǎn)E, F分別為棱AC,AD的中點(diǎn). (1)求證:DC⊥平

33、面ABC; (2)設(shè)CD=a,求三棱錐A-BFE的體積. (1)證明 在題圖①中,AB=BD,且∠A=45°, ∴∠ADB=45°,∠ABD=90°,則AB⊥BD. 在題圖②中,∵平面ABD⊥平面BDC,且平面ABD∩平面BDC=BD,AB?平面ABD, ∴AB⊥底面BDC,且CD?平面BDC, ∴AB⊥CD. 又∠DCB=90°,∴DC⊥BC,且AB∩BC=B, ∴DC⊥平面ABC. (2)解 ∵E,F(xiàn)分別為AC,AD的中點(diǎn),∴EF∥CD, 又由(1)知,DC⊥平面ABC, ∴EF⊥平面ABC, ∴VA-BFE=VF-AEB=S△AEB·FE. 在題圖①中,∵∠AD

34、C=105°, ∴∠BDC=60°,∠DBC=30°, 由CD=a得,BD=2a,BC=a,EF=CD=a, ∴S△ABC=AB·BC=·2a·a=a2, ∴S△AEB=a2. ∴VA-BFE=·a2·a=a3. 溯源回扣六 平面解析幾何 1.不能準(zhǔn)確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系,導(dǎo)致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時(shí)出錯(cuò). [回扣問(wèn)題1] 直線xcos θ+y-2=0的傾斜角的范圍是________. 解析 tan α=k=-,知-≤k≤, ∴0≤θ≤或≤θ<π. 答案 ∪ 2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件,如根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等設(shè)方

35、程時(shí),忽視截距為0的情況. [回扣問(wèn)題2] 已知直線過(guò)點(diǎn)P(1,5),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則此直線的方程為_(kāi)_______. 解析 當(dāng)截距為0,則直線方程為y=5x,當(dāng)截距不是0時(shí),設(shè)直線方程為x+y=a,將P(1,5)坐標(biāo)代入方程,得a=6.∴所求方程為5x-y=0或x+y-6=0. 答案 5x-y=0或x+y-6=0 3.求兩條平行線之間的距離時(shí),易忽視兩直線x,y的系數(shù)相等的條件,而直接代入公式d=,導(dǎo)致錯(cuò)誤. [回扣問(wèn)題3] 直線3x+4y+5=0與6x+8y-7=0的距離為_(kāi)_______. 解析 將3x+4y+5=0化為6x+8y+10=0,∴兩平行線間的距離d=

36、=. 答案  4.兩圓的位置關(guān)系可根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判定,在兩圓相切的關(guān)系中,誤認(rèn)為相切為兩圓外切,忽視相內(nèi)切的情形;求圓的切線方程時(shí),易忽視斜率不存在的情形. [回扣問(wèn)題4] (1)若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上,則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為_(kāi)_______. (2)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F1,頂點(diǎn)為A1,A2,P是雙曲線右支上任意一點(diǎn),則分別以線段PF1,A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系為_(kāi)_______. 解析 (1)以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)P(1,2),∴圓的方程為x2+y2=5. ∵kOP=2,∴切線的斜率k=-. ∴切線方程為y-2=-(x-

37、1),即x+2y-5=0. (2)設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為P0,雙曲線的右焦點(diǎn)為F2,則|OP0|=|PF2|, 由雙曲線定義,|PF1|-|PF2|=2a, ∴|OP0|=|PF1|-a=R-r,因此兩圓內(nèi)切. 答案 (1)x+2y-5=0 (2)內(nèi)切 5.易混淆橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,尤其是方程中a,b,c三者之間的關(guān)系,導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤. [回扣問(wèn)題5] (2015·廣東卷)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析 ∵e==,F(xiàn)2(5,0),

38、 ∴c=5,a=4,b2=c2-a2=9, ∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 答案 C 6.利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí),要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中,有兩點(diǎn)是缺一不可的:其一,絕對(duì)值;其二,2a<|F1F2|.如果不滿足第一個(gè)條件,動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù),而不是差的絕對(duì)值為常數(shù),那么其軌跡只能是雙曲線的一支. [問(wèn)題回扣6] 已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(0,1),B(0,-1),動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A,B的距離之和為4,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是________. 解析 因?yàn)閨MA|+|MB|=4>|AB|, 所以點(diǎn)M的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓, 因此a=2,c=

39、1,則b2==3, 所以點(diǎn)M的軌跡方程為+=1. 答案?。? 7.由圓錐曲線方程討論幾何性質(zhì)時(shí),易忽視討論焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解. [回扣問(wèn)題7] 已知橢圓+=1的離心率等于,則m=________. 解析 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上,則a=2,c=, ∴=,則m=1. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上,則a=,c=, ∴=,則m=16. 答案 1或16 8.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解,消元后得到的方程中要注意:二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零,判別式Δ≥0的限制.尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題時(shí),必須先有“判別式Δ≥0”;在求交點(diǎn)、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、斜率、對(duì)稱或存在性問(wèn)題都應(yīng)在“Δ>

40、0”下進(jìn)行. [回扣問(wèn)題8] (2017·西安調(diào)研)已知橢圓W:+=1(a>b>0)的焦距為2,過(guò)右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為-1,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求橢圓W的方程; (2)設(shè)斜率為k的直線l與W相交于A,B兩點(diǎn),記△AOB面積的最大值為Sk,證明:S1=S2. (1)解 由題意,得W的半焦距c=1,右焦點(diǎn)F(1,0),上頂點(diǎn)M(0,b). ∴直線MF的斜率kMF==-1,解得b=1. 由a2=b2+c2,得a2=2. ∴橢圓W的方程為+y2=1. (2)證明 設(shè)直線l的方程為y=kx+m,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由方程組 得(1+2k2)x2+4km

41、x+2m2-2=0, ∴Δ=16k2-8m2+8>0.① 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=. ∴|AB|= =, ∵原點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=, ∴S△AOB=|AB|d=,當(dāng)k=1時(shí),S△AOB= , ∴當(dāng)m2=時(shí),S△AOB有最大值S1=,驗(yàn)證滿足①式,當(dāng)k=2時(shí), S△AOB=, ∴當(dāng)m2=時(shí),S△AOB的最大值S2=,驗(yàn)證①式成立.因此S1=S2. 溯源回扣七 概率與統(tǒng)計(jì) 1.混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖,誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率,導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò). [回扣問(wèn)題1] 從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取一個(gè)班,對(duì)該班50名學(xué)生

42、的高校招生檢驗(yàn)表中視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示.若某高校A專業(yè)對(duì)視力的要求在0.9以上,則該班學(xué)生中能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為_(kāi)_______. 解析 該班學(xué)生視力在0.9以上的頻率為(1.00+0.75+0.25)×0.2=0.40,所以能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為50×0.40=20. 答案 20 2.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中,K2=(其中n=a+b+c+d)所給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k,并且k的值越大,說(shuō)明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大,可以利用數(shù)據(jù)來(lái)確定“X與Y有關(guān)系”的可信程度. [回扣問(wèn)題2] 為了解某班學(xué)生喜愛(ài)打籃球是否與性別有關(guān),對(duì)該班50名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到

43、了如下的2×2列聯(lián)表: 分類 喜愛(ài)打籃球 不喜愛(ài)打籃球 合計(jì) 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計(jì) 30 20 50 則至少有________的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān)(請(qǐng)用百分?jǐn)?shù)表示). 附:K2= P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析 由列聯(lián)表,k=≈8.333. 又P(K2≥7.879)=0.005,且8.333>7.879, ∴至少有99.5%的把握認(rèn)為喜愛(ài)籃球與性別

44、有關(guān). 答案 99.5% 3.應(yīng)用互斥事件的概率加法公式,一定要注意確定各事件是否彼此互斥,并且注意對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況,但互斥事件不一定是對(duì)立事件,“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件. [回扣問(wèn)題3] 拋擲一枚骰子,觀察擲出的點(diǎn)數(shù),設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),事件B為出現(xiàn)2點(diǎn),已知P(A)=,P(B)=,求出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率之和為_(kāi)_______. 解析 由互斥事件概率加法公式,P(A+B)=P(A)+P(B)=. 答案  4.混淆直線方程y=ax+b與回歸直線=x+系數(shù)的含義,導(dǎo)致回歸分析中致誤. [回扣問(wèn)題4] (2017·西安調(diào)研)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支

45、出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表: 收入x(萬(wàn)元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬(wàn)元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程=x+,其中=0.76,=-,據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為(  ) A.11.4萬(wàn)元 B.11.8萬(wàn)元 C.12.0萬(wàn)元 D.12.2萬(wàn)元 解析 由統(tǒng)計(jì)表,易得=10,=8, ∴=8-0.76×10=0.4.因此回歸直線方程為=0.76x+0.4, ∴當(dāng)x=15時(shí),=0.76×15+0.4=11.8(萬(wàn)元). 答案 B 5.幾何概型

46、的概率計(jì)算中,幾何“測(cè)度”確定不準(zhǔn)而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤. [回扣問(wèn)題5] 在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為_(kāi)_______. 解析 由直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交, 得<3, ∴16k2<9,解得-

47、 由于z為純虛數(shù),且a∈R, ∴≠0且=0,則a=-2. 答案 -2 2.復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(a,b),不是Z(a,bi);當(dāng)且僅當(dāng)O為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量與點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)相同. [回扣問(wèn)題2] (2016·北京卷改編)設(shè)a∈R,若復(fù)數(shù)z=(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上,則a=________. 解析 z=(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,依題意,a-1=0,則a=1. 答案 1 3.類比推理易盲目機(jī)械類比,不要被表面的假象(某一點(diǎn)表面相似)迷惑,應(yīng)從本質(zhì)上類比. [回扣問(wèn)題3] 圖①有面積關(guān)系:=,則圖②有體積關(guān)

48、系:________. 答案?。? 4.反證法證明命題進(jìn)行假設(shè)時(shí),應(yīng)將結(jié)論進(jìn)行否定,特別注意“至少”“至多”的否定要全面. [回扣問(wèn)題4] 用反證法證明命題:“已知a,b∈N,若ab可被5整除,則a,b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí),反設(shè)正確的是(  ) A.a,b都不能被5整除 B.a,b都能被5整除 C.a,b中有一個(gè)不能被5整除 D.a,b中有一個(gè)能被5整除 解析 由反證法的定義得,反設(shè)即否定結(jié)論. 答案 A 5.控制循環(huán)結(jié)構(gòu)的是計(jì)數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律以及循環(huán)結(jié)束的條件.在解答這類題目時(shí),易混淆兩變量的變化次序,且容易錯(cuò)誤判定循環(huán)體結(jié)束的條件. [回扣問(wèn)題5] (2017·全國(guó)Ⅲ卷)執(zhí)行下面的程序框圖,為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析 若N=2,第一次進(jìn)入循環(huán),t=1≤2成立,S=100,M=-=-10,t=1+1=2≤2成立,第二次進(jìn)入循環(huán),此時(shí)S=100-10=90,M=-=1,t=2+1=3≤2不成立,所以輸出S=90<91成立,所以輸入的正整數(shù)N的最小值是2. 答案 D - 22 -

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