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1、專 題 四專 題 四 1/()(10223()abOaabbababab定義：直線 、 是異面直線，經(jīng)過空間一點 ，分別作，相交直線 ， 所成的銳角 或直角叫做異面直線 ， 所成的角范圍：， 方法：平移法：在圖中選一個恰當?shù)狞c 通常是線段端點或中點 作 ， 的平行線，構(gòu)造一個三角形兩條異面直線所，并解三成的角角形求角111222121212222222111222cos|cos|()()cos.xyzxyzx xy yz zxyzxyz向量法：可適當選取異面直線上的方向向量，利用公式 ， 來求利用向量計算選取一組基向量，分別算出， ， 代入上式利用向量坐標計算，建系，確定直線上某兩點坐標進而求
2、出方向向量， ，法一：法，二，：，所以a baba ba b a bab12cos coscos .三線角公式：斜線和平面所成角和平面內(nèi)一直線與斜線的射影所成角的余弦之積等于斜線和該直線所成角的余弦即 12202定義：平面一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角；一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線平行于平面或直線在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是零角范直線和平圍：，面所成的角 112212()()coscoscoscoscos .c3os.ABBAOBAOCBOC方法：幾何法：作出 或找到 斜線與射影所成的角，論證所作 或所找 的角就是要求的角，
3、解三角形求出此角公式法：于點 ，(),sin|cos|.|aaa斜線與平面所成的角及平面內(nèi)一直線與斜線的射影所成角的余弦之積等于斜線和平面內(nèi)該直線所成角的余弦值向量法：設(shè)直線 與平面 所成角為 ，直線 的方向向量與平面 的法向量分別是 ，則 ， 的余角或其補角的余角，即為 與 所成的角， ，mnmnm nmnm n 1.23CDOAOBOAOBCD定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形；二面角的大小用它的平面角來度量方法：定義法：在棱上找一點 ，在兩個面內(nèi)分別作棱的垂線，則為二面角的二面角平面角cos.AABBBOCDOAOAOBCDCDOAOBOAOBCDSS射影多邊形原多邊形三垂線定
4、理及其逆定理法：過 內(nèi)一點 ，作交 于 ，作于 ，連結(jié)，為平面角或其補角垂面法：過棱上一點 作棱的垂直平面 與兩個半平面的交線分別為、，則為的平面角射影面積法：arccos| |arccos.| |llll 向量法：在 內(nèi)，在 內(nèi)，其方向如左下圖，則二面角的平面角；其方向如右上圖，則法一：二面角的平面角aba baba bab12arccos.|ll 設(shè) ，是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)，則二面角的平面角法二：1212nnnnnn2/222_PABCDPADABCDPAPDABCDBC ADABADADABBCPBCD如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直
5、角梯形例，其中，則異面直線與所成角的余弦值為1.考點考點1 求異面直線所成的角求異面直線所成的角RtADOOBCDPBOPOB注意到條件中線段之間的二倍關(guān)系，它提示我們可通過取的中點 ，構(gòu)造平行四邊形，作出異面直線所成角為，然后分析再：在中求解./22/.ADOBOPOABCDBC ADADABBCOD BCODBCOBCDOB DCPBOPBCD取的中點 ，連結(jié)，在直角梯形中，有且，所以四邊形是平行四邊形，所以所以是異面直線與所解析：成的角22.222112211.326cos.3336PAPDOADPOADPADABCDPOABCDPOBOADABBCRt AOBABAOOBRt POAA
6、PAOOPRt PBOPBPOBOPOPBOPPCBBD又因為， 為的中點，所以因為平面底面，所以平面，所以因為，在中，所所以異面直線與所成角以，在中，所以在的正切值是中，“”“”ABCDAD本題根據(jù)梯形中的的中點及平行四邊形的性質(zhì)確定異面直線所成的角，但本題的 證 與 解 兩個過程相對較復雜一些，因此在證明時一定要注意理由充足及計算【思維啟迪】的準確性 1.22PABCPCABCPCACABBCDPBCDPABABPCBAPBC如圖，三棱錐中，平面， 是上一點，且平面求證：平面；求異面直線與所成角變式題：的大小 1.1PCABCABABCPCABCDPABABPABCDABCDPCCABPC
7、B因為平面，平面，所以又平面，平面，所以而，所以平面解證：明：方法析： 22/1.sin4526.6Rttan2.323AAF BCCFPFPAFAPBCABBCCFAFPCABCFPFAFAFCFACPFPCCFPFPFAPAFAFAPBC 過 作，連結(jié)、，則為異面直線與所成的角由可知，所以又平面，所以則，在中，所以異面直線與所成的角為 1.12.2.122ABPCBPCACABBCBCB同方法由知平面，因為又，可求得以 為原點，如圖建立空間直角方法 ：坐標系，(02 0)0,0,0( 2 0,0)( 2 0,2)( 22 2)( 2 0,0)22001cos32.22 2ABCPAPBCA
8、P BCAP BCAP BCAPBC 則， ，所以， ，所異面直線與所成的角為以111112_ABCDA B C DEBCDEABCD如 圖 ， 在 棱 長 為的 正 方 體中 ，是的 中 點 ， 則 直 線與 平 面所 成角 的 正 切 值 為例 2.考點考點2 求直線與平面所成的角求直線與平面所成的角 1EBCEFBCFBCEFABCDDEABCD由于 是的中點，故可作，則垂足 必為的中點，不難證明平面，由此可順利作出直線與平面所分析：成的角11.EEFBCBCFDFB BCCABCDEFABCDDFDEABCDEDFDEABCD過 作，交于 ，連結(jié)因為平面平面，所以平面，所以是在平面上的
9、射影解所以是直析線與平面所：成的角11111225.5Rttan.5.55EFCCCFCBDFEFDDEFEDFDFEABCD由題意，得，所以在中直線與平面所成角的正切值是，故1EBCBCEABCD根據(jù)條件中 為的中點易想到的中點就是 在平面上的射影，這是解答本題【思的維啟迪】突破口45()2136A. B. C. D.2333SABCSASBSCDABSDBCSDABC已知 是正三角形所在平面外一點，且， 是的中變點，且與成角，則與底面所成角的正弦值為 式題：/45 .ACEDESEDABDEBCSDESDBCSDESOABCOCDOAOBOCOCDSDOSDABC取的 中 點， 連 結(jié)，則
10、 由是的 中 點 知，故是與所 成 角 ，所 以作平 面于， 連 結(jié)，則必 在上 ，故即與 底 面所解 析 ：成 的 角 ，RtRtRt21.45 .SASBSCSOASOBSOCOAOBOCOABCBCDESABSACSBCSDSESED又，則，所 以， 所 以為的 中 心 設(shè)， 則由 條 件 易 知，則， 所 以2.233636Rtcos33sCin.3SDESDABCODBCDOSODSDOSDSDO所 以是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 以又 在 等 邊中 ，在中 ，所 以，選故 11111111903221_ABCA B CBACA AABCA AABACA CAC CB三 棱
11、 錐 被 平 行 于 底 面的 平 面 所 截 得 的幾 何 體 如 圖 所 示 ， 截 面 為，平 面， 則 二 面 角的 正 切 值 為例 3.考點考點3 求二面角求二面角分析：由條件A1A平面ABC，可產(chǎn)生線線垂直，因此可考慮過A作AECC1于E，連結(jié)BE，只須證明BECC1即可11111111.AEC CC CEBEA AABCA AABABACABACC AAEBEACC A如 圖 ， 作交于點 ， 連 結(jié)，因 為平 面，所 以由 已 知 得，所 以平 面所解 析以是在 平 面：內(nèi) 的 射 影 11111111360 .3Rtsin6023.2Rt26tan33.BECCAEBACC
12、BCC FACACFCFACAFC FA AC CFAEABACAEACBAEEBAE 由三垂線定理知，所以為二面角的平面角過作交于 點，則，所以在中，在中，11190BACA AABCABAAC C解答的突破口在于兩個條件“，平面”，由此確定為平面的垂線，進而利用三垂線定理確定二面角【思的維啟迪】平面角 /222.12PABCDABCDAD BCPAABPBPAADPCCDACCDEPDEACD如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，求證變式：；設(shè) 為的中題：點，求二面角的大小 222448./2.1PAABPBPAABPAADABADAPAABCDPCCDACCDADFACOEFOFEOEPDE
13、FPAOFCDOFAC，所 以又， 且，所 以平 面因 為， 所 以取的 中 點 為，的 中 點為， 連 結(jié)，又為的 中 點 ，則，所 以解證 明 ：析 ：111122tan1454.5PAABCDEFABCDEFACACOEEOFEACDEFPAFOCDEFEOFEOFOEACDF由平 面， 知平 面，則， 從 而，所 以是 二 面 角的 平 面 角 二 面 角的 大 小 為易 知，則， 即，故 111111111112321ABCDABC DAAABEDDB DA ADDB DAECAED如圖，在正四棱柱中， 是的中點求直線和平面所成角的大??；求證：；求二面?zhèn)浣沁x題: 的大小 111111
14、111111111111111111111111 .3Rttan331030 .A DABCDA BC DA BA ADDA DB DA ADDA DBB DA ADDA BB A DA DBA DA DBB DA ADD連結(jié)因為是正四棱柱，所以平面，所以是在平面上的射影，所以是直線和平面所成的角在中，所以，即直線和平面所成角的大小是解析： 11111111111RtRt290.2.1A DB DA ADADEA AADA ADADEADDEA DAAEDA DAA ADDBEADAEDDEADA DAEAE 證明：在和中，因為，所以是在平面上的射影，根據(jù)三垂線定理得，所以，所以，所以由知，
15、111.Rt3.3Rtta60n36.30ADAEFCFCDA ADDAEDFAECFDFCCAEDADEAD DEAE DFAD DEDFAECDFDCDFCDFDFCCAED設(shè)，連結(jié)因為平面，且，根據(jù)三垂線定理得，所以是二面角的平面角在中，由，得在中即二面角的大以小是，所，1空間角的計算方法都是轉(zhuǎn)化為平面角計算要充分挖掘圖形的性質(zhì)，尋求平行關(guān)系，比如利用“中點”等性質(zhì)異面直線所成角強調(diào)的是“平行”，直線與平面所成角強調(diào)的是“射影”，二面角的平面角強調(diào)的是“垂直”另外，必須注意三類角的取值范圍 12233求角的一般步驟： 找出或作出有關(guān)的平面角；證明它是符合定義的角； 將所求歸到某一三角形中
16、進行計算向量法求解的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，若題中無明顯兩兩垂直的直線，要先證明后建系，若建系困難可以考慮幾何法或利用空間向量的向量式解決另外，利用向量法求解角，注意向量夾角與所求的空間角的關(guān)系1111111.(2011.)ABCDA B C DEC DAEBC已知正方體中，為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為_國大綱卷_全2/Rt52cos.323DEADAD BCDAEAEBCADEDEADAEADDAEAE連結(jié)，設(shè)，易知，所以就是異面直線與所成的角在中，由于，可得，解析：所以 2.(2011)221023POPOOABCCABDACACPODOCPAC如圖，在圓錐中，已知，的直徑，
17、點 在上，且， 為的中點證明：平面；求直線和平面所成角湖南卷的正弦值 .1OAOCDACACODOPOACOACPOODPOPODACPOD因為， 是的中點，所以又底面，底面，所以而，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平：解面證明析： 1.2ACPODACPACPODPACPODOOHPDHOHPACCHCHOCPACOCHOCPAC由知，平面，又平面，所以平面平面在平面中，過 作于 ，則平面連結(jié)，則是在平面上的射影，所以是直線和平面所成的角221Rtsin30.21222Rt.31242Rtsin.323OCPACODAODOAPO ODPODOHPOODOHOHCOCHOC 在中直線和平面所成角的正弦值，在中，在中，為故
高中數(shù)學第2輪總復習 專題4 第2課時 空間角課件 文
