高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第36講 數(shù)列的求和課件 理

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1、1第第36講數(shù)列的求和講數(shù)列的求和考試要求1.等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(C級(jí)要求)；2.非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法(B級(jí)要求).2診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè)解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a2，a4，a3成等差數(shù)列，2a4a2a3，2a2q2a2a2q，化為2q2q10，q1，34答案201753.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n1(4n3)，則它的前100項(xiàng)之和S100_.解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.答案2004.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.答案2n12n26781

2、.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式93.一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式n2n(n1)104.數(shù)列求和的常用方法(1)公式法等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的可直接使用公式求和.(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列再求解.(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).常見的裂項(xiàng)公式1112(5)錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an(1)nf(n)類

3、型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.13考點(diǎn)一分組求和法(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11；a1也滿足ann，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.14(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n(212222n)(12342n).記A212222n，B12342n，B(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n2.1516【訓(xùn)練1】 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an23n1(1

4、)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n項(xiàng)和Sn.解Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，17當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，18考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和【例2】 (2017天津卷)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nN*).解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因?yàn)閝0，解得q2，所以bn2

5、n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n.19(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n6n2，b2n124n1，有a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述兩式相減得3Tn2434234334n(3n1)4n120規(guī)律方法錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將

6、兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.21【訓(xùn)練2】 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S10100.2223考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又a1221.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)an2n.24252627考點(diǎn)四并項(xiàng)求和法(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(1)nanan1，求數(shù)列bn的前2n

7、項(xiàng)的和T2n.即a11或a12.因?yàn)閍10，所以a12.28兩式相減得(anan1)(anan11)0.又因?yàn)閍n0，所以anan10，所以anan11，所以ann1.(2)T2na1a2a2a3a3a4a4a5a5a6a2n2a2n1a2n1a2na2na2n12(a2a4a2n).又因?yàn)閍2，a4，a2n是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，故T2n2n24n.29規(guī)律方法(1)當(dāng)出現(xiàn)an與Sn的關(guān)系式時(shí)， 遞推作差是消去Sn的常用方法，本質(zhì)還是利用anSnSn1消去Sn.(2)當(dāng)遇到關(guān)于an與an1的二次多項(xiàng)式時(shí)，常用方法是因式分解，從而達(dá)到降次的目的.(3)江蘇高考主要還是考查等差、等比數(shù)列.遇到非等差、等比數(shù)列的形式時(shí)，要優(yōu)先考慮向等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化，通過有效的轉(zhuǎn)化，從中挖掘出題目中蘊(yùn)含的等差、等比數(shù)列.30故S4a1a2a3a42.a50，a66，a70，a88，故a5a6a7a82，周期T4.答案1 008