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1、計數原理與概率、隨機變量及其分布第第 九九 章章第第6262講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布考綱要求考情分析命題趨勢1.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題2利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.2017全國卷，192016山東卷，192016福建卷，161.正態(tài)分布主要通過正態(tài)分布的密度函數圖象及性質進行考查2離散型隨機變量的分布列、均值、方差一般與排列、組合及古典概型、幾何概型、二項分布及幾何分布相結合，以實際問題為背景進行考查.分值：512分板板 塊塊
2、 一一板板 塊塊 二二板板 塊塊 三三欄目導航 1離散型隨機變量的均值與方差 一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)_為隨機變量X的均值或_，它反映了離散型隨機變量取值的_x1p1x2p2xipixnpn 數學期望 平均水平 平均偏離程度 標準差 aE(X)b a2D(X) p p(1p) np np(1p) 上方 x x 1 當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化沿x軸平移，如圖甲所示； 當一定時，曲線的形狀由確定，_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示 越小 越大 (3)正態(tài)
3、分布的定義及表示 一般地，如果對于任何實數a，b(ab)，隨機變量X滿足P(aXb)_，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作_ (4)正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內取值的概率值 P(X)_； P(2X2)_； P(3X3)_.XN(，2) 0.682 6 0.954 4 0.997 4 1思維辨析(在括號內打“”或“”) (1)期望值就是算術平均數，與概率無關() (2)隨機變量的均值是常數，樣本的平均值是隨機變量() (3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小() (4)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的
4、概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7.() A 3設樣本數據x1，x2，x10的均值和方差分別為1和4，若yixia(a為非零常數，i1,2，10)，則y1，y2，y10的均值和方差分別為() A1a,4B1a,4aC1,4D1,4aA 5投擲兩枚骰子，當至少一枚5點或一枚6點出現時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數的均值為_. 離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略 (1)求離散型隨機變量的均值與方差可依題設條件求出離散型隨機變量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求參數值可依據條件利用均值、方差公式得出含有參數的方程，解方程即
5、可求出參數值 (3)由已知條件，作出對兩種方案的判斷可依據均值、方差的意義，對實際問題作出判斷一離散型隨機變量的均值、方差 【例1】 (2018湖北部分重點中學起點考試)隨著網絡營銷和電子商務的興起，人們的購物方式更具多樣化某調查機構隨機抽取10名購物者進行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網購，2名傾向于選擇實體店，5名女性購物者有2名傾向于選擇網購，3名傾向于選擇實體店 (1)若從10名購物者中隨機抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實體店的概率； (2)若從這10名購物者中隨機抽取3名，設X表示抽到傾向于選擇網購的男性購物者的人數，求X的分布列和數學期望二均值與方差的實際
6、應用 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定 【例3】 (2018山西太原模擬)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立 (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超
7、過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系年入流量X40X120發(fā)電機最多可運行臺數123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？ (2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元) 安裝1臺發(fā)電機的情形 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤Y5 000，E(Y)5 00015 000. 安裝2臺發(fā)電機的情形 依題意，當40X80時，一臺發(fā)電機運行， 此時Y5 0008004 200， 因此P(Y4
8、 200)P(40X80)p10.2；當X80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下： 所以E(Y)4 2000.210 0000.88 840.Y4 20010 000P0.20.8 安裝3臺發(fā)電機的情形 依題意，當40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X80)p10.2；當80X120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 00028009 200， 因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；當X120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y5 000315
9、000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下： 所以E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺Y3 4009 20015 000P0.20.70.1三正態(tài)分布的應用 解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸x；(2)標準差；(3)分布區(qū)間利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由，分布區(qū)間的特征進行轉化，使分布區(qū)間轉化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率注意只有標準正態(tài)分布的對稱軸才為x0. 【例4】 (2017全國卷改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上
10、隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2) (1)假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數，求P(X1)及X的數學期望； (2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(3，3)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查 試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性； 下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸： 解析 (1)抽取的一個零件的尺寸在(3，3)之內的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002
11、6，故XB(16,0.002 6) 因而P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8. X的數學期望為E(X)160.002 60.041 6. (2)如果生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的 1在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現已知該班同學中成績在8085分的有17人試計算該班成績在
12、90分以上的同學有多少人 附：若隨機變量服從正態(tài)分布N(，2)，則P()68.26%，P(22)95.44%. 又2801070，2801090， 成績在(70,90內的同學占全班同學的95.44%. 成績在(80,90內的同學占全班同學的47.72%. 成績在90分以上的同學占全班同學的50%47.72%2.28%. 即有502.28%1(人)，故成績在90分以上的同學僅有1人 3(2018湖北荊州中學質檢)一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷量的頻率分布直方圖，如圖所示 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立 (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，均值E(X)及方差D(X) 錯因分析：求離散型隨機變量的均值和方差時嚴格按照步驟來解，解答完后要注意查看解題中的關鍵點易錯點求期望、方差時計算不準確以及解答不規(guī)范
高考數學一輪復習 第九章 計數原理與概率 第62講 離散型隨機變量的均值與方差課件
