[理學(xué)]理論力學(xué) 周衍柏 第三版 第一章習(xí)題答案

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1、第一章習(xí)題解答 ? 1.1 由題可知示意圖如題1.1.1圖: 設(shè)開始計時的時刻速度為,由題可知槍彈作勻減速運動設(shè)減速度大小為. 則有: 由以上兩式得 再由此式得 證明完畢. 1.2 解 由題可知,以燈塔為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)如題1.2.1圖. 設(shè)船經(jīng)過小時向東經(jīng)過燈塔,則向北行駛的船經(jīng)過小時經(jīng)過燈塔任意時刻船的坐標(biāo) ， 船坐標(biāo)， 則船間距離的平方 即 對時間求導(dǎo) 船相距最近，即，所以 即午后45分鐘時兩船相距最近最近距離 km 1.3 解 如題1.3.2圖 由題分析可知，點的坐標(biāo)為 又由于在中，

2、有（正弦定理）所以 聯(lián)立以上各式運用 由此可得 得 得 化簡整理可得 此即為點的軌道方程. （2）要求點的速度，分別求導(dǎo) 其中 又因為 對兩邊分別求導(dǎo) 故有 所以 1.4 解 如題1.4.1圖所示， 繞點以勻角速度轉(zhuǎn)動，在上滑動，因此點有一個垂直桿的速度分量 點速度 又因為所以 點加速度 1.5 解 由題可知，變加速度表示為 由加速度的微分形式我們可知 代入得 對等式兩邊同時積分 可得 ： （為常數(shù)） 代入初始條件：時，，故 即 又因為 所以 對

3、等式兩邊同時積分，可得： ? 1.6 解 由題可知質(zhì)點的位矢速度 ① 沿垂直于位矢速度 又因為 ， 即 即 （取位矢方向，垂直位矢方向） 所以 故 即 沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 對③求導(dǎo) 對④求導(dǎo) 把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得 1.7 解 由題可知 ①② 對①求導(dǎo) ③ 對③求導(dǎo) ④ 對②求導(dǎo) ⑤ 對⑤求導(dǎo) ⑥ 對于加速度，我們有如下關(guān)系見題1.7.1圖 即 ⑦--⑧ 對⑦⑧倆式分別作如下處理：⑦，⑧ 即得

4、 ⑨--⑩ ⑨+⑩得 ⑾ 把④⑥代入 ⑾得 同理可得 1.8解 以焦點為坐標(biāo)原點，運動如題1.8.1圖所示] 則點坐標(biāo) 對兩式分別求導(dǎo) 故 如圖所示的橢圓的極坐標(biāo)表示法為 對求導(dǎo)可得（利用）又因為 即 所以 故有 即 （其中為橢圓的半短軸） 1.9證 質(zhì)點作平面運動，設(shè)速度表達(dá)式為 令為位矢與軸正向的夾角，所以 所以 又因為速率保持為常數(shù)，即 為常數(shù) 對等式兩邊求導(dǎo) 所以 即速度矢量與加速度矢量

5、正交. 1.10解 由題可知運動軌跡如題1.10.1圖所示， 則質(zhì)點切向加速度 法向加速度，而且有關(guān)系式 ① 又因為 ② 所以 ③ ④ 聯(lián)立①②③④ ⑤ 又 把兩邊對時間求導(dǎo)得 又因為 所以 ⑥ 把⑥代入⑤ 既可化為 對等式兩邊積分 所以 1.11解 由題可知速度和加速度有關(guān)系如圖1.11.1所示 兩式相比得 即 對等式兩邊分別積分 即 此即質(zhì)點的速度隨時間而變化的規(guī)律. ? 1.12證 由題1.11可知質(zhì)點運

6、動有關(guān)系式 ①② 所以 ，聯(lián)立①②，有 又因為 所以 ，對等式兩邊分別積分，利用初始條件時， 1.13 證（）當(dāng)，即空氣相對地面上靜止的，有.式中 質(zhì)點相對靜止參考系的絕對速度， 指向點運動參考系的速度， 指運動參考系相對靜止參考系的速度. 可知飛機(jī)相對地面參考系速度：=，即飛機(jī)在艦作勻速直線運動.所以飛機(jī)來回飛行的總時間 . （）假定空氣速度向東，則當(dāng)飛機(jī)向東飛行時速度 飛行時間 當(dāng)飛機(jī)向西飛行時速度 飛行時間 故來回飛行時間 即 同理可證，當(dāng)空氣速度向西時，來回飛行時間 （c）假定空氣速度向北.由速度矢量關(guān)系

7、如題1.13.1圖 所以來回飛行的總時間 同理可證空氣速度向南時，來回飛行總時間仍為 1.14解 正方形如題1.14.1圖。 由題可知設(shè)風(fēng)速,,當(dāng)飛機(jī) ， 故飛機(jī)沿此邊長6正方形飛行一周所需總時間 ? 1.15 解 船停止時，干濕分界線在蓬前3，由題畫出速度示意圖如題.15.1圖 故 又因為，所以 由圖可知 所以 =8 ? 1.16解 以一岸邊為軸，垂直岸的方向為軸.建立如題1.16.1圖所示坐標(biāo)系. 所以水流速度 又因為河流中心處水流速度為

8、 所以。當(dāng)時，即 ①--② 得，兩邊積分 ③ 聯(lián)立②③，得 ④ 同理，當(dāng)時，即 ⑤ 由④知，當(dāng)時，代入⑤得 有 ， 所以船的軌跡 船在對岸的了；靠攏地點，即時有 ? 1.17 解 以為極點，岸為極軸建立極坐標(biāo)如題.17.1圖. 船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即 ①--② ②/①得 ，對兩積分： 設(shè)為常數(shù)，即 代入初始條件時，.設(shè)有得 ? 1.18 解 如題1.18.1圖 質(zhì)點沿下滑，由受力分析我們可知質(zhì)點下滑的加速度為.設(shè)豎直線，斜槽，易知，由正弦定理

9、 即 ① 又因為質(zhì)點沿光滑面下滑，即質(zhì)點做勻速直線運動. 所以 ② 有①② 欲使質(zhì)點到達(dá)點時間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令 把對求導(dǎo) 極大值時，故有 由于是斜面的夾角，即 所以 ? ? 1.19 解 質(zhì)點從拋出到落回拋出點分為上升和下降階段.取向上為正各力示意圖如題1.19.1圖， 上升時 下降時 題1.19.1圖 則兩個過程的運動方程為： 上升 ① 下降： ② 對上升階段: 即 對兩邊積分 所以 ③ 即質(zhì)點到達(dá)的高度. 對下降階段： 即

10、 ④ 由③=④可得 ? 1.20解 作子彈運動示意圖如題1.20.1圖所示. 題1.20.1圖 水平方向不受外力，作勻速直線運動有 ① 豎直方向作上拋運動，有 ② 由①得 ③ 代入化簡可得 因為子彈的運動軌跡與發(fā)射時仰角有關(guān)，即是的函數(shù)，所以要求的最大值.把對求導(dǎo)，求出極值點. 即 所以，代入的表達(dá)式中可得： 此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的距離的最大值 ? 1.21 解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時刻在變化，但都在軌道上沒點切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好. 軌道的

11、切線方向上有： ① 軌道的法線方向上有： ② 由于角是在減小的，故 ③ 由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來確定，故我們要想法使①②變成關(guān)于的等式 由① 即 ④ 把代入可得 ⑤ 用④⑤可得 即，兩邊積分得 ⑥ 代入初始條件時，即可得 代入⑥式，得 ⑦ 又因為 所以 ⑧ 把⑦代入⑧ 積分后可得 ? 1.22 各量方向如題1.22.1圖. 電子受力 則電子的運動微分方程為 ②-③-④ 由②，即 ⑤ 代入③整理可得 ⑥ 對于齊次方程的通解 非齊次方程的特解 所

12、以非齊次方程的通解 代入初始條件：時，得 時，得,故 ⑦ 同理，把⑦代入⑤可以解出 把⑦代入⑤ 代入初條件時，，得.所以 ） ? 1.23證 （a）在1.22題中，時，則電子運動受力電子的運動微分方程 ①-②-③ 對②積分 ④ 對④再積分 又 故 （為一常數(shù)） 此即為拋物線方程. 當(dāng)時 則電子受力 則電子的運動微分方程為 ①-②-③ 同1.22題的解法，聯(lián)立①-②解之，得 于是 及電子軌道為半徑的圓. ? 1.24 解以豎直向下為正方向，建立如題1.24.2圖所示坐標(biāo)，

13、 題1.24.1圖 題1.24.2圖 以①開始所在位置為原點.設(shè)①-②-③處物體所處坐標(biāo)分別為，則3個物體運動微分方程為： ①-②-③ 由②于③與、之間是，即不可伸長輕繩連接，所以有，即 ④ 之間用倔強系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié). 故有 ⑤ 由①⑤得 ⑥ 由②③④得 ⑦ 代入①，有 ⑧ 代入⑥，有 ⑨ 此即為簡諧振動的運動方程. 角頻率 所以周期 解⑨得 以初始時③為原點，時，.所以 ⑩ 代入①得 聯(lián)立-③④⑧⑩得 1.25解，選向下為正方向，滑輪剛停時物體所在平衡位置為坐標(biāo)原點.建立如題

14、.25.1圖所示坐標(biāo)系. 題2.15.1圖 原點的重力勢能設(shè)為0.設(shè)彈簧最大伸長.整個過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒： ①-② 聯(lián)立①②得 彈簧的最大張力即為彈簧伸長最長時的彈力，為最大張力，即 ? 1.26解 以繩頂端為坐標(biāo)原點.建立如題1.26.1圖所示坐標(biāo)系. 題1.26.1圖 設(shè)繩的彈性系數(shù)為,則有 ① 當(dāng) 脫離下墜前，與系統(tǒng)平衡.當(dāng)脫離下墜前，在拉力作用下上升，之后作簡運.運動微分方程為 ② 聯(lián)立①② 得 ③ 齊次方程通解 非齊次方程③的特解 所以③的通解 代入初始條件：時，得；故有 即為在任一時

15、刻離上端的距離. ? 1.27解對于圓柱凸面上運動的質(zhì)點受力分析如圖1-24. 運動的軌跡的切線方向上有: ① 法線方向上有： ② 對于①有（為運動路程，亦即半圓柱周圍弧長）即 又因為 即 ③ 設(shè)質(zhì)點剛離開圓柱面時速度，離開點與豎直方向夾角，對③式兩邊積分 ④ 剛離開圓柱面時即 ⑤ 聯(lián)立④⑤ 得 即為剛離開圓柱面時與豎直方向夾角. ? 1.28解 建立如題1.28.1圖所示直角坐標(biāo). 橢圓方程 ① 從滑到最低點，只有重力做功.機(jī)械能守恒.即 ② 設(shè)小球在最低點受到橢圓軌道對它的支持力為則有： ③ 為點的曲率半

16、徑. 的軌跡： 得 ； 又因為 所以 故根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達(dá)橢圓最低點對橢圓壓力為 方向垂直軌道向下. ? 1.29 解質(zhì)點作平面直線運動，運動軌跡方程為 ①-② 由曲線運動質(zhì)點的受力分析，我們可以得到： ③-④ 因為曲線上每點的曲率 ⑤ 所以 ⑥ ⑦ 把⑥⑦代入曲率公式⑤中 所以 ⑧ 由④ 即，又有數(shù)學(xué)關(guān)系可知，即所以 ⑨ 把⑧⑨代入① ? 1.30 證當(dāng)題1.29所述運動軌跡的曲線不光滑時，質(zhì)點的運動方程為： ①②③④⑤ 由1.29題可知 ② 由數(shù)學(xué)知

17、識知 ③ 把①③④代入② ⑤ 這是一個非齊次二階微分方程.解為 當(dāng)時，得 即 當(dāng)，時，即 故有 ? 1.31證：單擺運動受力分析如圖1.31.1圖所示。 因為 ① 即 所以 又單擺擺角很小，有= 上式即化為： ② 此即為一個標(biāo)準(zhǔn)的有阻尼振動方程。 設(shè)為固有頻率，又由于，即阻力很小的情況。方程②的解為 所以單擺振動周期 結(jié)論得證。 ? 1.32 1.32?????? 解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運動，如圖1.32.1圖。 我們以楔子為參考系，在非慣性系中來分析此題，則質(zhì)點受到一

18、個大小為的非慣性力，方向與相反。 質(zhì)點在楔子這個非慣性系中沿斜面 下滑，沿斜面的受力分析： ① 垂直斜面受力平衡： ② 聯(lián)立①②得 此即楔子相對斜面的加速度。 對斜面的壓力與斜面對的支持力等大反方向。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為的勻加速運動時，質(zhì)點的和楔子對斜面的壓力為 綜上所述可得 ? 1.33 解 設(shè)鋼絲圓圈以加速度向上作勻加速運動如題1.33.1圖， 我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個非慣性系里來分析此題。 圓圈上的小環(huán)會受到一個大小為方向與相反的慣性力的作用，則圓環(huán)運動到圓圈上某點，切線方向受力分析： ① 法線方向受力分析有： ② 對

19、① 兩邊同乘以 即 兩邊同時積分 ③ 把③代入②可解得 同理可解出，當(dāng)鋼絲圓圈以加速度豎直向下運動時小環(huán)的相對速度 綜上所述，小環(huán)的相對速度 圈對小環(huán)的反作用力 ? 1.34證：（1）當(dāng)火車所受阻力為常數(shù)時，因為功率與牽引力有如下關(guān)系： 所以 即 對兩邊積分 （2） 當(dāng)阻力和速度成正比時，設(shè)=，為常數(shù)。同理由（1）可知 即 對兩邊積分 ? 1.35 解 錘的壓力是均勻增加的，設(shè)，為常數(shù)，由題意可知，得 ， 所以 ， 即 故 兩邊同時積分 得 ，① 又

20、因為當(dāng)增至極大值后，又均勻減小到0，故此時有為常數(shù)， 所以 即 ② 由①得 ③ 整個過程壓力所做功 又因為 即 對上式兩邊分段積分 得 ? 1．36 解 （a）保守力滿足條件對題中所給的力的表達(dá)式 ，代入上式 即 所以此力是保守力，其勢為 (b)同（a）， 由 所以此力是保守力，則其勢能為 ? ? 1.37 解 （a）因為質(zhì)子與中子之間引力勢能表達(dá)式為 故質(zhì)子與中子之間的引力 （b）質(zhì)量為的粒子作半徑為的圓運動。 動量矩 由（a）知 提供粒子作圓周運動的向心力，方向

21、是沿著徑向， 故 當(dāng)半徑為的圓周運動 兩式兩邊同乘以 即 又因為 有 做圓周運動的粒子的能量等于粒子的動能和勢能之和。 所以 ? 1.38 解 要滿足勢能的存在，即力場必須是無旋場，亦即力為保守力，所以 即 得 為常數(shù)滿足上式關(guān)系，才有勢能存在。 勢能為： ? 1.39 證 質(zhì)點受一與距離成反比的力的作用。 設(shè)此力為 ① 又因為 即 ② 當(dāng)質(zhì)點從無窮遠(yuǎn)處到達(dá)時，對②式兩邊分別積分： 當(dāng)質(zhì)點從靜止出發(fā)到達(dá)時，對②式兩邊分別積分： 得 所以質(zhì)點自無窮遠(yuǎn)到達(dá)時的速率和自靜止出發(fā)到達(dá)時的速率

22、相同。 ? 1.40 1.40?????? 解由題可知（因為是引力，方向與徑向相反所以要有負(fù)號） 由運動微分方程 即 ① 對上式兩邊積分 故 又因為與的方向相反，故取負(fù)號。 即 （*） （1） 則： （2） （3） 將式（1-3）代入（*），得： 注：概率積分 ? 1.41證 畫出有心力場中圖示如題1.41.圖， 我們采用的是極坐標(biāo)。所以 又由于 常數(shù) 即

23、 由圖所示關(guān)系，又有，故即 由動能定理 沿方向 得 ? 1.42 證 （）依據(jù)上題結(jié)論，我們?nèi)匀蝗O坐標(biāo)如題1.42.1圖。 質(zhì)點運動軌跡為一圓周，則其極坐標(biāo)方程為 ① 由①②得 ② 即 ③ 故 即力與距離5次方成正比，負(fù)號表示力的方向與徑向相反。 （）質(zhì)點走一對數(shù)螺旋線，極點為力心，我們?nèi)圆捎脴O坐標(biāo)。對數(shù)螺旋線為常數(shù)。有 根據(jù)題1.41，常數(shù)，有 故得證。 ? 1.43證 由畢耐公式 質(zhì)點所受有心力做雙紐線運動 故 故 ? 1.44證 由畢耐公式

24、 將力帶入此式 因為 所以 即 令 上式化為 這是一個二階常系數(shù)廢氣次方程。 解之得 微積分常數(shù)，取，故 有 令 所以 ? 1.45 證 由題意可知，質(zhì)點是以太陽為力心的圓錐曲線，太陽在焦點上。 軌跡方程為 在近日點處 在遠(yuǎn)日點處 由角動量守恒有 所以 ? 1.46解 因為質(zhì)點速率 所以 又由于 即 又因為 所以 兩邊積分 即 ? 1.47 證（）設(shè)地球軌道半徑為。則彗星的近日點距離為。圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為 彗星軌道為拋

25、物線，即。近日點時。故近日點有 即 ① 又因為 所以 ② （彗星在單位時間內(nèi)矢徑掃過的面積） 掃過扇形面積的速度 ③ 又因為 故 兩邊積分 ④ 從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點為地球軌道半徑處。 即 即 ⑤ 又因為 所以 ⑥ 把⑤⑥代入④（ ⑥式代入時取“+”即可） 故彗星在地球軌道內(nèi)停留的時間為 ⑦ 設(shè)地球繞太陽運動一周的時間為。 因為假定地球運動軌道為圓形，所以 又由于，有 地球繞太陽運動單位時間內(nèi)矢徑掃過的面積。 掃過扇形速度 ⑧ （）由證明（）知 彗星在地球軌道內(nèi)停

26、留時間 對此式求極大值，即對求導(dǎo)，使 即 即 得 驗證 故為極大值，代入⑧式可知 ? 1.48 解 由§1.9給出的條件： 人造地球衛(wèi)星近、遠(yuǎn)點距離分別為 地球半徑 有橢圓運動中的能量方程可知： ① ② 為衛(wèi)星運行的橢圓軌道的長軸 把代入①②有 近地點速率 遠(yuǎn)地點速率 運動周期 （參見1.47） 其中為運動軌道的半長軸 所以 ? 1.49 證 由行星繞太陽作橢圓運動的能量方程為 為橢圓的半長軸。 令 又因為 ， 上式化為： 因為 即 所以 ① 又因為行星橢圓軌道運動周期 即 常數(shù)， 故 又因為 為正焦弦的一半 所以 ② 由題意可知 即 ③ 把②③代入①可得 化簡可得 即 兩邊積分，由題設(shè) 即 ? 1.50解 質(zhì)點在有心力場中運動，能量和角動量均守恒。無窮遠(yuǎn)處勢能為零。 所以 ① ② 任意一處 由②代入① 所以 ? ?