必修5《第一章數列》章末測試卷含解析

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1、 , [學生用書單獨成冊 ]) (時間： 100 分鐘，滿分： 120 分 ) 一、選擇題 (本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是 符合題目要求的 ) 1 ．下列四個數列中，既是無窮數列又是遞增數列的是 ( ) 1 1 1 A．1， ， ， ， 2 3 4 B．－ 1，2，－ 3， 4， 1 1 1 C．－ 1，－ ，－ ，－ ， 2 4 8 D．1， 2， 3， ， n 解析：選 C.A 為遞減數列， B 為擺動數

2、列， D 為有窮數列． 2 ．有窮數列 1， 2 3， 26 ，29 ， ， 2 3n＋6 的項數是 ( ) A． 3 n ＋7 B．3 ＋6 n C． n＋ 3 D． n＋2 解析：選 C. 此數列的次數依次為 0， 3，6，9， ， 3 n＋ 6，為等差數列，且首項 a1＝ 0 ，公差 d ＝ 3，設 3 n＋ 6 是第 x 項， 3 n＋ 6 ＝ 0 ＋(x－ 1) ×3，所以 x＝ n＋3. 故選 C. 3 ．某種細胞開始有 2 個， 1 小時后分裂成

3、 4 個并死去 1 個， 2 小時后分裂成 6 個并死去 1個，3 小時后分裂成 10 個并死去 1 個， ， 按此規(guī)律進行下去， 6 小時后細胞存活的個數是 ( ) A．33 個 B．65 個 C．66 個 D． 129 個 解析：選 B. 設開始的細胞數和每小時后的細胞數構成的數列為 {an}． a1 ＝ 2 ， an＋1－ 1 則 即 ＝ 2. an＋ 1＝ 2 an－1 ， an－ 1 所以 a

4、n－ 1＝ 1 ·2n－1 ， an＝2 n－1＋ 1 ， a7＝ 65. 4 ．等差數列 { a }的公差不為零，首項 a1 ＝ 1， a2 是 a1 和 a5 的等比中項，則數列的前 10 項之和是 n () A． 90 B． 100 C． 145 D． 190 解析：選 B. 設公差為 d， 所以 (1 ＋ d)2 ＝ 1 ×(1 ＋4 d)， 因為 d≠0，

5、 所以 d＝ 2 ，從而 S10 ＝ 100. 5 ．已知數列 { n}滿足 a 1＝0， an－ 3 ∈N＋ )，則 a 20＝() n＋1 ＝ ( a a n 3 an＋ 1 A． 0 B．－ 3 3 C. 3 D. 2 an－ 3 解析：選  B. 由 a1＝ 0，an＋1 ＝  ( n∈N ＋)， 3an＋ 1 得 a2＝－

6、  3 ， a3 ＝  3 ， a4＝ 0 ， 由此可知數列  {an}是周期變化的，周期為  3 ， 所以  a20 ＝ a2＝－  3. 6 ．設  y＝ f( x)是一次函數，若  f(0) ＝ 1 ，且  f(1) ， f(4) ， f(13) 成等比數列，則  f(2) ＋ f(4) ＋ ＋  f(2 n) 等于 (  ) A． n(2 n＋3)  B． n(n＋ 4) C． 2 n(2 n＋ 3)  D． 2 n( n＋ 4) 解析：選 A

7、. 設 y＝ kx＋ b(k≠0) ，因為 f(0) ＝ 1 ，所以 b＝ 1. 又因為 f(1) ， f(4) ， f(13) 成等比數列，所以 (4 k＋ 1) 2＝(k＋ 1) ·(13k＋ 1) ，所以 k＝ 2，所以 y＝2 x＋1.所以 f(2) ＋ f(4) ＋ ＋ f(2 n)＝ (2 ×2＋ 1) ＋ (2 ×4＋ 1) ＋ ＋ (2×2n＋ 1) ＝ 2(2 ＋ 4＋ ＋ 2n)＋ n＝2 n2＋2 n ＋ n＝ n(2 n＋ 3) ．故選 A. 7 ．等比數列 { n} 的通項為 n＝ 2·3n－1，現(xiàn)把每相鄰兩項之間都插入兩個數， 構成一個新

8、的數列 { n}， a a b 那么 162 是新數列 {bn}的 ( ) A．第 5項 B．第 12 項 C．第 13 項 D．第 6項 解析：選 C.162 是數列 {an}的第 5 項，則它是新數列 {bn}的第 5 ＋ (5－ 1) ×2＝ 13 項． a a n－ 1＋ 3 n－ 1(

9、n a an＋ λ 8 ．數列 { n}滿足遞推公式 n＝ 3 ≥2) ，又 1 ＝ 5，則使得 { }為等差數列的實數 λ a 3 n 等于() A． 2 B． 5 1 1 C．－ D.

10、2 2 解析：選 C. a1＝ 5 ，a2＝ 23， a3 ＝95 ，令 bn＝ an＋ λ 3n ， 5＋λ 23 ＋ λ 95＋ λ 則 b1＝ ， b2＝ ，b3＝ ， 3 9 27 因為 b1 ＋ b3 ＝ 2 b2， 1

11、 所以 λ＝－ . 2 9 ．近年來， 我國最大的淡水湖鄱陽湖湖區(qū)面積逐年減少， 江西省政府決定將原 3 萬畝圍墾區(qū)退墾 還湖，計劃 2013 年退墾還湖面積為 3 000 畝，以后每年退墾還湖面積比上一年增加 20% ，那么從 2013 年起到哪一年可以基本完成退墾還湖工作 (參考數據： lg 3 ≈0.477 1 ， lg 1.2 ≈0.079 2)( )

12、 A． 2015 年 B． 2016 年 C． 2017 年 D． 2018 年 解析：選 D. 由題意可知每年退墾還湖面積依次構成一個等比數列，記為 {an}，則首項 a1＝ 3 000 ， 3 000 （ 1－ 1.2 n） 公比 q＝1 ＋ 20% ＝ 1.2 ，前 n 項和 Sn＝30 000 ，由 ＝ 30 000 ，得 1.2 n＝ 3，所以 n＝ 1－ 1.2

13、 lg 3 log 1.2 3 ＝ ≈6 ，即到 2018 年可以基本完成退墾還湖工作，故選 D. lg 1.2 10．設數列 {an}是以 2 為首項， 1 為公差的等差數列， {bn}是以 1 為首項， 2 為公比的等比數列， 則 ab1＋ ab2 ＋ ＋ ab10 等于 ( ) A． 1 033 B． 1 034 C． 2 057 D． 2 058 解析：選 A. 由已知可得 n＝ n ＋1

14、， b n＝ 2n－1， a 于是 ab n＝bn＋ 1， 因此 ab1＋ ab2＋ ＋ ab10＝ (b1＋ 1) ＋ (b2＋ 1) ＋ ＋ (b10 ＋ 1) ＝ b1＋ b2＋ ＋ b10＋ 10 ＝20 ＋ 2 1＋ 1－210 ＋29＋10＝ ＋10 ＝ 1 033. 1－ 2 二、填空題 (本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分．把答案填在題中的橫線上 ) 11．若數列

15、 {an}滿足： a1 ＝ 1 ，an＋1＝ 2 an(n∈N＋ )，則 a5＝ ________；前 8 項的和 S8＝ ________(用 數字作答 ) ． 解析：由 a1 ＝ 1 ，an＋1＝ 2 an(n∈N＋)知 {an}是以 1 為首項，以 2 為公比的等比數列，由通項公式及 a1（ 1－ q8） 1·（1－2 8 ） 前 n 項和公式知 a5＝ a1q4＝ 16 ， S8＝ ＝ ＝255. 1 － q 1 － 2 答案： 16 255 12．設

16、數列 {an}中， a1＝2 ， an＋ 1＝an＋ n＋1 ，則通項公式 an＝ ________． 解析：因為 a1＝ 2 ，an＋ 1＝ an＋ n＋ 1 ， 所以 an－ an－ 1＝ n， an－1－an－2＝ n－ 1 ， an－ 2－an－3＝ n－ 2， ， a3－ a2 ＝ 3， a2 －a1＝ 2， a1＝ 2. n＝ [ ＋ ( －1)＋( －2)＋( －3)＋ ＋ 2＋1]＋1＝ n（ n＋ 1） 將以上各式的兩邊分別相加，得 ＋ a n n n

17、 n 2 1. n（ n＋ 1 ） ＋1 答案： 2 1 ， a8＝ 2，則 a1 ＝ ________． 13．數列 {an}滿足 an＋1＝ 1 － an 1 解析：因為 an＋ 1＝ ， 1 － an 1 1 1－ an－1

18、 所以 an＋1 ＝ ＝ 1 ＝ 1 － an 1－ an－1 － 1 1 － 1－ an－ 1 1－ an－1 1 ＝ ＝ 1 － － an－1 an－1 1 ＝ 1－ ＝1 － (1 － an－ 2) ＝an－2， 1 1－ an－2 所以周期 ＝ ( ＋1)－( －2)＝ 3. T n n 所以 a8 ＝ a3 ×2 ＋2＝ a2＝ 2. 1 1 而 a2＝ ，所以 a1

19、＝ . 1－a1 2 1 答案： 2 14．已知 a，b， a＋ b 成等差數列， a， b， ab 成等比數列，則通項為 a ＝ 8 }的 的數列 {a n n 2 an2 ＋bn 前 n 項和為 ________． 解析：因為 a， b， a＋ b 成等差數列， 所以 2 b＝ a＋ a＋ b，故 b＝ 2 a. 因為 a， b，ab 成等比數列， 所以 b2 ＝ a2 b，又 b≠0，故

20、b＝ a2， 所以 a2 ＝ 2a，又 a≠0，所以 a＝ 2 ， b＝ 4， 所以 an＝ 8 8 2 1 1 ＝ ＝ n（ n＋1 ） ＝2( － )， 2an 2＋ bn 4n2＋ 4 n n n＋ 1 1 1 1 1 1 1 2 n 所以 { an}的前 n 項和 Sn＝ 2(1 － ＋ －＋ ＋ － )＝ 2(1 － )＝. 2 2 3 n n＋ 1 n＋ 1 n＋ 1 2 n 答案：

21、n＋ 1 15．在等差數列 {an}中，其前 n 項的和為 Sn，且 S6 S8 ，有下列四個命題： ①此數列的公差 d<0 ； ② S9 一定小于 S6； ③ a7 是各項中最大的一項； ④ S7 一定是 Sn 中的最大項． 其中正確的命題是 ________． (填入所有正確命題的序號 ) 解析：因為 S7>S6，即 S6 0. 同理可知 a8<0. 所以 d＝ a8－ a7 <0. 又因為 S9－ S6＝ a7＋ a8 ＋ a9＝

22、3 a8 <0 ， 所以 S9 0 ， a8<0 ， 所以可知 S7 為 Sn 中的最大項． 答案：①②④ 三、解答題 (本大題共 5 小題，共 55 分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 ) 16． (本小題滿分 10 分 )一個等比數列的前三項依次是 a， 2 a＋2 ， 3 a＋ 3 ，則－ 13 1 是否是這個數 2 列中的一項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明

23、理由． 解：因為 a， 2a＋ 2， 3a＋3 是等比數列的前三項，所以 a(3 a＋ 3) ＝ (2 a＋ 2) 2， 解得 a＝－ 1 或 a＝－ 4. 當 a＝－ 1 時，數列的前三項依次為－ 1， 0， 0，與等比數列定義矛盾，故 a＝－ 1 舍去． a 3 a 3 )n－ 1，令－ 當 ＝－ 4 時，數列的前三項依次為－ 4，－ 6 ，－ 9 ，則公比為 ＝ ，所以 n＝－ 4( q 2

24、 2 3 1 3 27 3 4( )n－ 1＝－ 13 ，即 ( )n－1 ＝ ＝ ( )3. 2 2 2 8 2 所以 n－ 1 ＝3 ，即 n＝ 4 ， 1 所以－ 13 是這個數列中的第 4 項． 2 17． (本小題滿分 10 分) 已知 {an}是公差不為零的等差數列， {bn}是各項都是正數的等比數列， (1) 若 a1＝ 1 ，且 a1， a3， a9 成等比數列，求數列 {an}的通項公式； 1

25、 (2) 若 b1＝ 1 ，且 b2， b3， 2 b1 成等差數列，求數列 {bn}的通項公式． 2 解： (1) 由題意可設 { an}公差為 d，則 d≠0 ， 1 ＋2d 1＋ 8d 由 a1＝ 1，a1， a3， a9 成等比數列得 ＝ ， 1 1 ＋ 2d 解得 d＝ 1 或 d＝ 0( 舍去 )， 故數列 {an}的通項公式為  an＝ 1＋ (n－1) ×1＝ n. (2) 由題意可設 {bn}公比為 q，則 q>0 ， 1 由 b 1＝ 1，且 b 2 ， b 3 ， 2 1 成等差數列得 b

26、 3＝ 2＋ 2 b 1， b b 2 所以 q2 ＝ 2＋ q， 解得 q＝ 2 或 q＝－ 1( 舍去 )， 故數列 {b }的通項公式為 b ＝ 1×2 n－1 ＝ 2 n－ 1 . n n 18． (本小題滿分 10 分 )已知首項都是 1 的兩個數列 { n}， { n}( n≠0 ， ∈N ＋)滿足 n n＋1 － n＋1 b n a

27、 b b n a b a ＋ 2bn＋1 bn＝ 0. an (1) 令 cn＝ ，求數列 {cn}的通項公式； bn (2) 若 bn＝ 3 n－1，求數列 {an}的前 n 項和 Sn. 解： (1) 因為 anbn＋ 1 －an＋1 bn＋ 2bn＋1bn＝ 0， bn≠0( n∈N ＋ )， an＋1 an 所以 － ＝2，即 cn＋ 1－cn＝ 2 ， bn＋1 bn 所以數列 {cn}是以首項 c1＝1 ，公差 d＝ 2 的等差數列，故 cn＝2n－ 1. (2) 由 bn＝ 3 n－1 知 a

28、n＝ cnbn＝ (2 n－1)3 n－1， 于是數列 {an}的前 n 項和 Sn＝ 1·30＋ 3 ·31 ＋ 5 ·32＋ ＋ (2 n－ 1) ·3n－ 1， 3 Sn＝ 1 ·31 ＋3 ·32＋ ＋ (2 n－ 3) ·3n－1 ＋ (2 n－1) ·3n， 相減得－ 2 Sn＝ 1＋ 2 ·(3 1＋ 32 ＋ ＋ 3 n－ 1 )－ (2 n－1) ·3n＝－ 2－ (2n－ 2)3 n， 所以  Sn＝(n－ 1)3 n＋ 1. 19． (本小題滿分  12 分) 某地現(xiàn)有居民住房的面積為  a m 2，其中需要拆除的舊

29、住房面積占了一半， 當地有關部門決定在每年拆除一定數量舊住房的情況下，仍以  10% 的住房增長率建新住房． (1) 如果  10 年后該地的住房總面積正好比目前翻一番，  那么每年應拆除的舊住房總面積  x 是多少  (可 取 1.1 10≈2.6)? (2) 在 (1) 的條件下過 10 年還未拆除的舊住房總面積占當時住房總面積的百分比是多少 (保留到小數 點后第 1 位)? 解： (1) 根據題意，可知 1 年后住房總面積為 1.1 a－ x； 2 年后住房總面積為 1.1(1.1 a－ x)－ x＝ 1.

30、1 2a－ 1.1 x－ x； 3 年后住房總面積為 1.1(1.1 2a－ 1.1 x－x)－x＝ 1.1 3a－ 1.1 2x－ 1.1 x－ x； 10 年后住房總面積為 1 ．110 a－1.1 9x－ 1.1 8x－ － 1.1 x－ x 1.1 10－ 1 ＝ 1.1 10a－ x≈2.6 a－16 x. 1.1－1 由題

31、意，得 2.6 a－ 16 x＝ 2 a. 3 a(m2 )． 解得 x＝ 80 a 3 － a×10 1 2 80 (2) 所求百分比為 ＝ ≈6.3%.

32、 2 a 16 即過 10 年未拆除的舊房總面積占當時住房總面積的百分比是 6.3%. Sn 1 11 20． (本小題滿分 13 分)已知數列 { n}的前 n 項和為 S n，點 ( ， ) 在直線 y ＝ x ＋ 上．數列 { n} a n n b 2 2 滿足

33、bn＋ 2－ 2bn＋1＋ bn＝0( n∈N＋ )， b3＝ 11 ，且其前 9 項和為 153. (1) 求數列 {an}， {bn}的通項公式； (2) 設 cn＝ 3 ，數列 {cn}的前 n 項和為 Tn，求使不等式 Tn> k 對一切 n∈N＋都 （ 2 an－ 11 ）（ 2 bn－ 1 ） 57 成立的最大正整數 k 的值． Sn 1 11 解： (1) 由已知得 ＝ n＋ ， n 2 2 1 11 所以 Sn＝ n2 ＋ n. 2 2

34、 當 n≥2 時， an＝ Sn－ Sn－1 1 11 1 11 ＝ n2 ＋ n－ (n－ 1) 2－ (n－ 1) ＝ n＋5； 2 2 2 2 當 n＝ 1 時， a1＝ S1 ＝ 6 也符合上式．所以 an＝ n＋ 5. 由 bn＋ 2－ 2bn＋1 ＋ bn＝ 0( n∈N ＋ )知{ bn}是等差數列，由 {bn} 的前 9 項和為 153 ， 9 （ b1＋b9） 可得 ＝ 9b5＝153 ， 2 得 b5＝ 17，又 b3＝ 11 ， b5 － b3 所以 { bn}的公差 d＝ ＝ 3 ，b3 ＝ b1＋ 2 d

35、， 2 所以 b1 ＝ 5，所以 bn＝ 3 n＋2. (2) cn＝ （ 2 3 －1）（ 6 n ＋ 3） n 1 1 1 ＝ ( － )， 2 2n－ 1 2 n＋ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 Tn＝ (1 － ＋－＋ ＋ － )＝(1－ )． 2 3 3 5 2 n－ 1 2 n＋ 1 2 2 n＋ 1 因為 n 增大， Tn 增大， 所以 { n}是遞增數列． T 1 所以 Tn≥T1＝ . 3 k 對一切 n∈N ＋都成立，只要 1 k Tn> T1＝ > ，所以 k<19 ，則 kmax ＝ 18. 57 3 57