【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十一章 第3講二項式定理

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 第3講 二項式定理 一、填空題 1．已知展開式的第4項等于5，則x等于________． 解析 由T4＝Cx4＝5得x＝－. 答案 － 2．在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是________． 答案 7 3．在6的二項展開式中，x2的系數(shù)為________． 解析　在6的展開式中，第r＋1項為 Tr＋1＝C6－rr＝C6－rx3－r(－2)r， 當r＝1時為含x2的項，其系數(shù)是C5(－2)＝－. 答案　－ 4．已知8展開式中常數(shù)項為1 120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是____

2、____． 解析　由題意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項系數(shù)和為(1－a)8＝1或38. 答案　1或38 5．設(shè)n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數(shù)為________． 解析　由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－， 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x. 答案　150 6． 的展開式中x2的系數(shù)為70，則a＝________． 答案 ±1 7．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，則a0＋

3、a1＋2a2＋3a3＝________． 答案 5 8． (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)6的展開式中，含x2項的系數(shù)為_______． 解析 含x2項的系數(shù)為C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝35. 答案 35 9．設(shè)二項式6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B.若B＝4A，則a的值是________． 解析　對于Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r， B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2. 答案　2 10． 5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為________． 解析　令x＝1，由

4、已知條件1＋a＝2，則a＝1.5＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)32＋C(2x)2·3＋C(2x)4＋5 ＝32x5－80x3＋80x－40＋10－，則常數(shù)項為40. 答案　40 二、解答題 11．已知n， (1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)； (2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項． 解　(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，當n＝7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5. ∴T4的系數(shù)為C423＝，T5的系數(shù)為C324＝70，當n＝14時，展開式

5、中二項式系數(shù)最大的項是T8.∴T8的系數(shù)為C727＝3 432. (2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0. ∴n＝12或n＝－13(舍去)．設(shè)Tk＋1項的系數(shù)最大， ∵12＝12(1＋4x)12， ∴　∴9.4≤k≤10.4， ∴k＝10.∴展開式中系數(shù)最大的項為T11， T11＝C·2·210·x10＝16 896x10. 12．在楊輝三角形中，每一行除首末兩個數(shù)之外，其余每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和． (1)試用組合數(shù)表示這個一般規(guī)律； (2)在數(shù)表中試求第n行(含第n行)之前所有數(shù)之和； (3)試探究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3∶

6、4∶5，并證明你的結(jié)論． 第0行　　　　　　　1 第1行　　　　　　 1　1 第2行　　　　　　1　2　1 第3行　　　　　1　3　3　1 第4行　　　　1　4　6　4　1 第5行　　　1　5　10　10　5　1 第6行　　1　6　15　20　15　6　1 解　(1)C＝C＋C. (2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1. (3)設(shè)C∶C∶C＝3∶4∶5， 由＝，得＝， 即3n－7r＋3＝0， ① 由＝，得＝， 即4n－9r－5＝0 ② 解①②聯(lián)立方程組得，n＝62，r＝27， 即C∶C∶C＝3∶4∶5.

7、 13．把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第i行共有2i－1個正整數(shù)，設(shè)aij(i，j∈N*)表示位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個數(shù)． (1)求a69的值； (2)用i，j表示aij； (3)記An＝a11＋a22＋a33＋…＋ann(n∈N*)，求證：當n≥4時，An>n2＋C. 1 2　3 4　5　6　7 8　9　10　11　12　13　14　15 …　…　…　…　… (1)解　a69＝25＋(9－1)＝40. (2)解　∵數(shù)表中前(i－1)行共有1＋2＋22＋…＋2i－2＝(2i－1－1)個數(shù)，則第i行的第一個數(shù)是2i－1，

8、 ∴aij＝2i－1＋j－1. (3)證明　∵aij＝2i－1＋j－1，則ann＝2n－1＋n－1(n∈N*)， ∴An＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ?。?n－1＋， 當n≥4時，An＝(1＋1)n－1＋>C＋C＋C＋C－1＋＝n2＋C. 14．從函數(shù)角度看，組合數(shù)C可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，其定義域是{r|r∈N，r≤n}． (1)證明：f(r)＝f(r－1)； (2)利用(1)的結(jié)論，證明：當n為偶數(shù)時，(a＋b)n的展開式中最中間一項的二項式系數(shù)最大． 證明　(1)∵f(r)＝C＝， 又∵f(r－1)＝C＝， ∴f(r－1)＝ ＝. 則f(r)＝f(r－1)成立． (2)設(shè)n＝2k， ∵f(r)＝f(r－1)，f(r－1)>0， ∴＝. 令f(r)≥f(r－1)，∴≥1. 則r≤k＋(等號不成立)． ∴r＝1,2，…，k時，f(r)>f(r－1)成立． 反之，當r＝k＋1，k＋2，…，2k時，f(r)