【名校資料】高考數(shù)學理一輪資源庫第一章 第3講 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ 第3講 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 一、填空題 1．命題：?x∈R，sin x＜2的否定是________． 解析　全稱命題的否定是存在性命題． 答案　?x∈R，sin x≥2 2．命題“若實數(shù)a滿足a≤2，則a2<4”的否命題是________命題(填“真”“假”之一)． 解析 原命題的否命題是“若實數(shù)a滿足a>2，則a2≥4”，這是一個真命題． 答案 真 3．已知命題p：?x∈R，使ax2＋2x＋1<0.當a∈A時，綈p為真命題，則集合A＝________． 解析　綈p：?x∈R，使ax2＋2x＋1≥0.若此

2、命題為真命題，則即a≥1，從而所求集合A＝{a|a≥1}． 答案　{a|a≥1} 4．若命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命題，則a的取值范圍是________． 解析 當a＝0時，不等式顯然成立；當a≠0時，由題意得 解得－8≤a<0，所以－8≤a≤0. 答案 [－8,0] 5．已知命題p：|x－1|>2，命題q：x∈Z，則滿足“p∨q”與“綈p”同時為真命題的x取值為________． 答案 －1,0,1,2,3 6．寫出下列命題的否定，并判斷真假． (1)不論m取何實數(shù)，方程x2＋x＋m＝0必有實數(shù)根． __________________________

3、__________________________； (2)對任意角α∈R，都有sin2α＋cos2α＝1. __________________________________________________； (3)存在一個四邊形，它的對角線相等． _________________________________________________； (4)正方形的對角線互相垂直平分． ________________________________________________. 答案 (1)存在m∈R，使方程x2＋x＋m＝0無實數(shù)根．是真命題． (2)存在α∈R，使

4、sin2α＋cos2α≠1.是假命題． (3)對任意的四邊形，它們的對角線不相等．是假命題． (4)存在這樣的正方形，它的對角線不互相垂直或不互相平分．是假命題． 7．命題p：若a·b>0，則a與b的夾角為銳角；命題q：若函數(shù)f(x)在(－∞，0)與(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)，則下列說法：①“p或q”是真命題；②“p或q”是假命題；③綈p為假命題；④“綈p∧q”是假命題，其中正確的說法序號是________． 解析　因為p，q均為假命題，所以②④說法正確． 答案?、冖? 8．給出下列三個命題：①?x∈R，x2>0；②?x∈R，使得x2≤

5、x成立；③對于集合M，N，若x∈M∩N，則x∈M，且x∈N.其中真命題的個數(shù)是________． 解析　取x＝0，得x2＝0，①不正確；取x＝，得②正確；③正確，故真命題的個數(shù)為2. 答案　2 9．下列四個命題：①?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函數(shù)；②?x∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函數(shù)；③?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函數(shù)；④?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函數(shù)，其中是真命題的序號是________． 解析　當m＝0時，函數(shù)f(x)＝x2是偶函數(shù)． 答案?、? 10．若命題“?x∈R，有x2－mx－m<

6、0”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析 “?x∈R，有x2－mx－m<0”是假命題，則“?x∈R有x2－mx－m≥0”是真命題．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0. 答案 －4≤m≤0 二、解答題 11．寫出下列命題的否定，并判斷其真假． (1)p：?x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一個實數(shù)x0，使x＋1＝0. 解 (1)綈p：?x0∈R，x－x0＋<0，假命題． (2)綈q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題． (3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命

7、題 (4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題． 12．已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝x－1 (1)?x∈R，使f(x)＜b·g(x)，求實數(shù)b的取值范圍； (2)?x∈R，使f(x)≥b·g(x)，求實數(shù)b的取值范圍． 解　(1)由?x∈R，f(x)＜b·g(x)，得?x∈R，x2－bx＋b＜0，所以Δ＝(－b)2－4b＞0，解得b＜0或b＞4，即實數(shù)b的取值范圍是(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)由?x∈R，f(x)≥b·g(x)，得?x∈R，x2－bx＋b≥0， 所以Δ＝(－b)2－4b≤0，解得0≤b≤4.即實數(shù)b的取值范圍是[0，4]． 13．已知a、b、c、d

8、均為實數(shù)，且2bd－c－a＝0. 命題p：關(guān)于x的二次方程ax2＋2bx＋1＝0有實根； 命題q：關(guān)于x的二次方程cx2＋2dx＋1＝0有實根； 求證：“p或q”為真命題． 證明 由ax2＋2bx＋1＝0，得Δ1＝4b2－4a， 由cx2＋2dx＋1＝0，得Δ2＝4d2－4c， 又∵2bd－c－a＝0，∴a＋c＝2bd. ∴Δ1＋Δ2＝4[b2＋d2－(a＋c)] ＝4(b2＋d2－2bd)＝4(b－d)2≥0. 即Δ1、Δ2中至少有一個大于或等于0. ∴ax2＋2bx＋1＝0， cx2＋2dx＋1＝0中至少有一個方程有實根． ∴“p或q”為真命題． 14．在△AB

9、C中，命題p：cos B>0；命題q： 函數(shù)y＝sin為減函數(shù)． 設(shè)向量m＝， n＝. (1)如果命題p為假命題，求函數(shù)y＝sin的值域； (2)命題“p且q”為真命題，求B的取值范圍； (3)如果向量m⊥n，求A. 解　(1)由命題p為假命題，則cos B≤0. 因為00，解得0