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1、
第四節(jié) 直線和平面垂直
一、填空題
1. 直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直是“直線與平面α垂直”的________條件．
2. 如果一條直線l與平面α的一條垂線垂直，那么直線l與平面α的位置關系是________．
3. 有以下四個命題：
①在空間中，垂直于平行四邊形對邊的直線，必垂直于另兩邊；②在空間中，垂直于三角形兩邊的直線必垂直另外一邊；③在空間中，垂直于梯形兩底的直線必垂直于兩腰；④如果直線a垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線，那么a⊥α.
上述命題中，錯誤的個數(shù)為________．
4. (2010·浙江)設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的有________
2、．
①若l⊥m，m?α，則l⊥α；②若l⊥α，l∥m，則m⊥α；
③若l∥α，m?α，則l∥m；④若l∥α，m∥α，則l∥m.
5. 如圖所示，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，那么以P、A、B、C、D五個點中的三點為頂點的直角三角形的個數(shù)是________．
6. 已知直線a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的________條件．
7. 如圖所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，則在BC上存在________個點使PQ⊥QD.
8. (2011·南師大附中期中考試)稱四個面均為直角三角形的三棱錐為“四直角三
3、棱錐”，若在四直角三棱錐SABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠SBC＝90°，則第四個面中的直角為________．
9. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BB1C1C上運動，并且保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是________．
二、解答題
10. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BCD＝90°.求證：PC⊥BC.
11. 如圖，在四面體A-BOC中，OC⊥OA, ∠AOB＝120°，且OA＝OB＝1，P為AC的中點，Q在AB上且AB＝3AQ，證明： PQ⊥OA.
12. (201
4、0·安徽)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點．
(1)求證：FH∥平面EDB；
(2)求證：AC⊥平面EDB;
(3)求四面體B-CEF的體積．
參考答案
1. 必要不充分 解析：由直線與平面垂直的定義知為必要不充分條件．
2. l∥a或l?a
3. 3
4. ② 解析：根據(jù)線面垂直的判定定理知①錯；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知②正確；③中l(wèi)可能與m異面；④
5、中l(wèi)可能與m異面，也可能相交．
5.
9 解析：分三類：
(1)在底面ABCD中，共有4個直角，因而有4個直角三角形；(2)四個側(cè)面都是直角三角形；(3)過兩條側(cè)棱的截面中，△PAC為直角三角形．故共有9個直角三角形.
6. 充要 解析：若a⊥b，則由a⊥a推出a?b或a∥b，而b⊥b，于是a⊥b；若a⊥b，則容易推出a⊥b，故a⊥b是a⊥b的充要條件．
7. 1 解析：因為PA⊥平面ABCD，又QD?平面ABCD，則PA⊥QD，又PQ⊥QD，PA∩PQ=P，則QD⊥平面PAQ，又AQ?平面PAQ，則QD⊥AQ，取AD中點O，則Q應在以O為圓心，以AD為半徑的圓周上，又根據(jù)題
6、意Q在BC上，則Q是圓O與BC的交點，因為圓心O到直線BC的距離為1，圓O的半徑也是1，所以圓O與BC相切，所以滿足題意的Q點有且僅有一個．
8. ∠ABC 解析：如圖，由∠SAB=∠SAC=90°得SA⊥底面ABC，故SA⊥BC，又由∠SBC=90°，即SB⊥BC，又SA∩SB=S，所以BC⊥平面SAB，故BC⊥AB，即∠ABC為直角．
9. 線段B1C 解析：連結AB1，B1C，AC，則BD1⊥平面B1AC，當P在B1C上運動時，AP⊥BD1恒成立，故軌跡為線段B1C.
10. 因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
7、
又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以BC⊥平面PCD.
因為PC?平面PCD，故PC⊥BC.
11.
如圖，取OA的中點M，連結PM，MQ，
因為P為AC中點，M為OA中點，所以PM∥OC.
又OC⊥OA，則PM⊥OA.
在△OAB中，OA=OB=1，∠AOB=120°，則AB2=OA2+OB2-2OA×OBcos∠AOB=3，
則AB=，又AB=3AQ，則AQ=.
在△OAB中，=，則
sin∠OAB=，則∠OAB=30°.
又M是OA中點，故AM=.
則在△MAQ中，MQ2=MA2+AQ2-2MA×AQcos∠OAB=+-2′′cos 30°=，
則在△MAQ中，MA2+MQ2=AQ2，
所以MQ⊥OA.
又PM∩MQ=M，PM，MQ?平面PMQ，
所以OA⊥平面PMQ，又PQ?平面PMQ，
則OA⊥PQ.
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