【創(chuàng)新方案】高考數學 理一輪突破熱點題型：第8章 第1節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線的方程

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1、 第一節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 考點一 直線的傾斜角與斜率 　 [例1]　(1)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A．[0，π) B.∪ C. D.∪ (2)直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________． [自主解答]　(1)設直線的傾斜角為θ，則有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ ≤或≤ θ<π. (2) 如圖，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－

2、，∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)． [答案]　(1)B　(2) (－∞，－ ]∪[1，＋∞) 【互動探究】 若將P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍． 解：∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，∴kAP＝＝， kBP＝＝.如圖可知，直線l斜率的取值范圍為.　　　　　 【方法規(guī)律】 斜率的求法 (1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數值，一般根據k＝tan α求斜率； (2)公式法：若已知直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率． 1．已知兩點A(－3, )，B(

3、，－1)，則直線AB的斜率是(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D　因為A(－3，)，B(，－1)，所以斜率k＝＝－. 2．設直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sin α＋cos α＝0，則a，b滿足(　　) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析：選D　因為sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1. 又因為α為傾斜角，所以斜率k＝－1.而直線ax＋by＋c＝0的斜率k＝－， 所以－＝－1，即a－b＝0. 考點二 直線的平行與垂直的判斷及

4、應用 　 　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 [例2]　(1)過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 (2)(20xx·青島模擬)已知a≠0，直線ax＋(b＋2)y＋4＝0與直線ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，則ab的最大值為　(　　) A．0 B．2 C．4 D. [自主解答]　(1)因為所求直線與直線x－2y－2＝0平行，所以設所求直線方程為x－2y＋c＝0，又因為該直線過

5、點(1,0)，所以1－2×0＋c＝0，即c＝－1，因此，所求直線方程為x－2y－1＝0. (2)若b＝2，兩直線方程為y＝－x－1和x＝，此時兩直線相交但不垂直． 若b＝－2，兩直線方程為x＝－和y＝x－，此時兩直線相交但不垂直． 若b≠±2，此時，兩直線方程為y＝－x－和y＝－x＋，此時兩直線的斜率分別為－，－，由－·＝－1，得a2＋b2＝4. 因為a2＋b2＝4≥2ab，所以ab≤2，即ab的最大值是2，當且僅當a＝b＝時取等號． [答案]　(1)A　(2)B 【方法規(guī)律】 用一般式確定兩直線位置關系的方法 直線方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l

6、2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1與l2垂直 的充要條件 A1A2＋B1B2＝0 l1與l2平行 的充分條件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1與l2相交 的充分條件 ≠(A2B2≠0) l1與l2重合 的充分條件 ＝＝(A2B2C2≠0) 1．已知兩條直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則a＝________. 解析：因為兩直線垂直，所以a(a＋2)＋1＝0，解得a＝－1. 答案：－1 2．若直線ax＋2y＋3a＝0與直線3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，則實數a的值為________． 解析：顯然當a＝1時兩直線不平行；當a≠

7、1時，k1＝－，k2＝，因為兩條直線平行，所以k1＝k2，解得a＝3或a＝－2.經檢驗，a＝－2時兩直線重合，故a＝3. 答案：3 高頻考點 考點三 直 線 方 程　　 1．直線方程是解析幾何的一個基礎內容，在高考中經常與其他知識結合考查，多以選擇、填空題的形式呈現，難度不大，多為中、低檔題目． 2．高考中對直線方程的考查主要有以下幾個命題角度： (1)已知兩個獨立條件，求直線方程； (2)已知直線方程，求直線的傾斜角、斜率； (3)已知直線方程，判斷兩直線的位置關系； (4)已知直線方程及其他條件，求參數值或范圍． [例3]　(1)(20xx·泉州模擬

8、)若點(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，則m2＋n2的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 (2)直線l經過點P(3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點．△OAB的面積為12，則直線l的方程是____________________________________________________________． [自主解答]　(1)因為點(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，利用m2＋n2表示為直線上的點到原點距離的平方的最小值來分析可知，m2＋n2的最小值為4. (2)法一：設直線l的方程為＋＝

9、1(a>0，b>0)．則有＋＝1，且ab＝12. 解得a＝6，b＝4.所以所求直線l的方程為＋＝1，即2x＋3y－12＝0. 法二：設直線l的方程為y－2＝k(x－3)(k<0)， 令x＝0，得y＝2－3k>0；令y＝0，得x＝3－>0. 所以S△OAB＝(2－3k)＝12，解得k＝－， 故所求直線方程為y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0. [答案]　(1)C　(2)2x＋3y－12＝0 與直線方程有關問題的常見類型及解題策略 (1)求直線方程．弄清確定直線的兩個條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程． (2)求直線的傾斜角和斜率．直線Ax＋By＋C＝0.若

10、B＝0，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；若B≠0，則斜率k＝－，然后再求傾斜角． (3)判斷兩條直線的位置關系．可由兩直線的斜率以及在y軸上的截距來判斷兩直線的位置關系． (4)求參數值或范圍．注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數的單調性或基本不等式求解． 1．(20xx·山東高考)過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 解析： 選A　如圖所示，圓心坐標為C(1，0)，易知A

11、(1,1)． 又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，則kAB＝－2. 故直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)．即2x＋y－3＝0. 2．(20xx·廣東高考)垂直于直線y＝x＋1且與圓x2＋y2＝1相切于第一象限的直線方程是(　　) A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0 解析：選A　因為所求直線與y＝x＋1垂直，所以可設直線方程x＋y＋c＝0. 又因為該直線與圓x2＋y2＝1相切．所以＝＝1，∴c＝±， 又因為切點在第一象限，所以c＝－.即切線方程為x＋y－＝0. 3．(20xx·遼寧六校

12、聯考)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是________． 解析：當k＝4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率為1，兩直線不平行；當k≠4時，兩直線平行的一個必要條件是＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必須滿足截距不相等，經檢驗，知k＝3或k＝5時兩直線的截距都不相等，故k＝3或k＝5. 答案：3或5 —————————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1個關系——直線的傾斜角和斜率的關系 　(1)任何直線都存在傾斜角，但并不是任意直線都存在斜率． (2)直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系： α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 3個注意點——與直線方程的適用條件、截距、斜率有關　問題的注意點 (1)明確直線方程各種形式的適用條件 點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線． (2)截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零，在與截距有關的問題中，要注意討論截距是否為零． (3)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應注意分類討論，即應對斜率是否存在加以討論．