【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪知能檢測(cè)：第8章 第8節(jié)　曲線與方程

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1、 第八節(jié)　曲線與方程 [全盤鞏固] 1．方程(x2－y2－1)＝0表示的曲線的大致形狀是(圖中實(shí)線部分)(　　) 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 解析：選B　原方程等價(jià)于或x－y－1＝0，前者表示等軸雙曲線x2－y2＝1位于直線x－y－1＝0下方的部分，后者為直線x－y－1＝0，這兩部分合起來即為所求． 2．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線 解析：選B　設(shè)P(x，y)，則＝2，整理得x2＋y2－4x

2、＝0， 又D2＋E2－4F＝16>0，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓． 3．(20xx·長(zhǎng)春模擬)設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1，0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析： 選D　∵M(jìn)為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|＝|MQ|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5， 故M的軌跡為橢圓．∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 4．已知點(diǎn)F，直線l：x＝－，

3、點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)．若過B作垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 解析：選D　由已知得|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線． 5．(20xx·嘉興模擬)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：x(y－mx－m)＝0有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0，) B．(－，0)∪(0，) C. D.∪ 解析：選D　由x(y－mx－m)＝0可知x＝0，y＝m(x＋1)，當(dāng)直線y＝m(x＋1)與圓x2＋y2－2x＝

4、0相切時(shí)，m＝±，當(dāng)m＝0時(shí)，只有兩個(gè)公共點(diǎn)，因此m∈∪. 6．(20xx·洛陽模擬)設(shè)過點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若＝2 ，且·＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0) B.x2－3y2＝1(x>0，y>0) C．3x2－y2＝1(x>0，y>0) D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0) 解析：選A　設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.點(diǎn)Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a

5、，b)＝1，即ax＋by＝1.將a，b代入上式得所求的軌跡方程為x2＋3y2＝1(x>0，y>0)． 7．設(shè)P是圓x2＋y2＝100上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(8,0)，線段AP的垂直平分線交半徑OP于M點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡為________． 解析： 如圖，設(shè)M(x，y)，由于l是AP的垂直平分線，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|PM|＝|OM|＋|AM|，即|OM|＋|AM|＝10，也就是說，動(dòng)點(diǎn)M到O(0,0)及A(8,0)的距離之和是10，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)(0,0)，A(8,0)為焦點(diǎn)，中心在(4,0)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是5的橢圓． 答案：橢圓 8．直線＋＝1與x，

6、y軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡方程為________________． 解析：設(shè)直線＋＝1與x，y軸交點(diǎn)為A(a,0)，B(0，2－a)，A，B中點(diǎn)為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0， a≠2，∴x≠0，x≠1. 答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1) 9．點(diǎn)P是圓C：(x＋2)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)F(2,0)，線段PF的垂直平分線與直線CP的交點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程是________________． 解析：依題意有|QP|＝|QF|，∴||QC|－|QF||＝|CP|＝2， 又|CF|＝4>2，故點(diǎn)Q的軌跡是以C、F為焦點(diǎn)的雙曲線，a＝1，c＝2， ∴b

7、2＝3，所求軌跡方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 10．(20xx·北京模擬)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲線E過點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|＋|PB|的值不變． (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程； (2)直線l：y＝x＋t與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形MANB的面積的最大值． 解：(1)以AB為x軸，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系， ∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋ ＝2， ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，且a＝，c＝1，從而b＝1.∴曲線E的方程為＋y2＝1. (2)將y＝x＋t代入＋y2＝1，得3x2＋4tx＋2t

8、2－2＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴ 由①得0≤t2<3，∴S四邊形MANB＝|AB||y1－y2|＝|y1－y2|＝|x1－x2|＝ ， 故當(dāng)t＝0時(shí)，S四邊形MANB取得最大值，最大值為. 11．設(shè)橢圓方程為x2＋＝1，過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，l上的動(dòng)點(diǎn)P滿足＝(＋)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求： (1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)||的最小值與最大值． 解：(1)直線l過點(diǎn)M(0,1)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(x1，y

9、1)、(x2，y2)是方程組的解．將①代入②并化簡(jiǎn)得，(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，所以 于是＝(＋)＝＝. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則消去參數(shù)k得4x2＋y2－y＝0.③ 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)(0,0)，也滿足方程③， 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為4x2＋y2－y＝0. (2)由點(diǎn)P的軌跡方程得x2＝，知x2≤，即－≤x≤. 所以||2＝2＋2＝2＋－4x2＝－32＋. 故當(dāng)x＝時(shí)，||取得最小值，最小值為； 當(dāng)x＝－時(shí)，||取得最大值，最大值為. 12．(20xx·麗水模擬)如圖，已知點(diǎn)A(0,1)，點(diǎn)P在圓C：x2＋(y＋1)2＝8上，點(diǎn)M在AP

10、上，點(diǎn)N在CP上，且滿足AM＝MP，NM⊥AP，設(shè)點(diǎn)N的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)過原點(diǎn)且斜率為k(k＞0)的直線交曲線E于G，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中G在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)Q，直線FQ交曲線E于另一點(diǎn)H，證明：GH⊥GF. 解：(1)連接NA，由題意知NM為AP的垂直平分線， ∴|NA|＝|NP|， 又∵|CN|＋|NP|＝2， ∴|CN|＋|NA|＝2＞2. ∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(0，－1)，A(0,1)為焦點(diǎn)的橢圓， 且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝2，焦距2c＝2， ∴a＝，c＝1，b2＝1， ∴曲線E的方程為x2＋＝1. (2)證明：設(shè)G(x1，kx1)

11、，H(x2，y2)， 則F(－x1，－kx1)，Q(0，kx1)， 直線FQ的方程為y＝2kx＋kx1， 將其代入橢圓E的方程并整理可得 (2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x－2＝0. 依題意可知此方程的兩根為－x1，x2， 于是由韋達(dá)定理可得－x1＋x2＝－，即x2＝. 因?yàn)辄c(diǎn)H在直線FQ上， 所以y2－kx1＝2kx2＝. 于是GF―→＝(－2x1，－2kx1)，GH―→＝(x2－x1，y2－kx1)＝， 則GF―→·GH―→＝＝0，所以GH⊥GF. [沖擊名校] (20xx·四川高考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2

12、(1,0)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且＝＋，求點(diǎn)Q的軌跡方程． 解：(1)由橢圓定義知， 2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ＋ ＝2， 所以a＝.又由已知c＝1， 所以橢圓C的離心率e＝＝＝. (2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)． ①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，－1)兩點(diǎn)， 此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. ②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2. 因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1＋

13、2)，(x2，kx2＋2)， 則|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x. 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.由＝＋，得＝＋，即＝＋＝.①將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞. 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 代入①中并化簡(jiǎn)，得x2＝.③ 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化簡(jiǎn)，得10(y－2)2－3x2＝18. 由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪. 又滿足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈. 由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)

14、，所以－1≤y≤1， 又由10(y－2)2＝18＋3x2，有(y－2)2∈，且－1≤y≤1，則y∈. 所以點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈. [高頻滾動(dòng)] 已知圓C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直線4x－3y－16＝0過橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，且被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)A(3,1)在橢圓E上． (1)求m的值及橢圓E的方程； (2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的取值范圍． 解：(1)因?yàn)橹本€4x－3y－16＝0被圓C所截得的弦長(zhǎng)為， 所以圓心C(4，m)到直線4x－3y－16＝0的距離為＝，即＝，解得m＝4或m＝－

15、4(舍去)． 又直線4x－3y－16＝0過橢圓E的右焦點(diǎn)，所以橢圓E的右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(4,0)，則其左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(－4,0)． 因?yàn)闄E圓E過A點(diǎn)，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，所以2a＝5＋＝6， 所以a＝3，a2＝18，b2＝2，故橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以＝(1,3)， 設(shè)Q(x，y)，則＝(x－3，y－1)， 則·＝x＋3y－6.令x＋3y＝n，則 消去x得18y2－6ny＋n2－18＝0. 因?yàn)橹本€x＋3y＝n與橢圓E有公共點(diǎn)， 所以Δ＝(－6n)2－4×18×(n2－18)≥0，解得－6≤n≤6， 故·＝x＋3y－6的取值范圍為[－12,0].