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1、西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
2012級(jí)
一、填空題（共7題，2分/空，共20分）
1.四點(diǎn),,,組成的四面體的體積是___16___.
2.已知向量,,,則=__(-2,-1,0)____.
3.點(diǎn)到直線的距離是______________.
4.點(diǎn)到平面的距離是_____________.
5.曲線C:對(duì)xoy坐標(biāo)面的射影柱面是_______,
對(duì)yoz坐標(biāo)面的射影柱面是___________,對(duì)xoz坐標(biāo)面的射影柱面是______________.
6.曲線C:繞軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是_______，曲線C繞軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是__________________.
2、
7.橢球面的體積是_____40π____________.
二、計(jì)算題（共4題,第1題10分,第2題15分,第3題20分, 第4題10分,共55分）
1. 過(guò)點(diǎn)作3個(gè)坐標(biāo)平面的射影點(diǎn),求過(guò)這3個(gè)射影點(diǎn)的平面方程.這里是3個(gè)非零實(shí)數(shù).
解: 設(shè)點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為，在平面上的射影點(diǎn)為，在平面上的射影點(diǎn)為，則，
于是，，所確定的平面方程是
即 .
2.已知空間兩條直線,.
(1)證明和是異面直線;(2)求和間的距離;(3)求公垂線方程.
證明：(1) 的標(biāo)準(zhǔn)方程是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，方向向量
的標(biāo)準(zhǔn)方程是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，方向向量，于是
，所以和是異面直線。
(2) 由于，
3、和間的距離
(3)公垂線方程是，即。
3.求曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面方面.
解：設(shè)是母線上任意一點(diǎn),則過(guò)的緯圓方程是，（1）
又 ，（2）
由（1）（2）消去得到.
4.已知單葉雙曲面,為腰橢圓上的點(diǎn),
(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)兩條直母線方程及其夾角;
(2)求這兩條直母線所在的平面的方程及平面與腰橢圓所在平面的夾角.
解：(1)設(shè)單葉雙曲面兩直母線方程是與
把點(diǎn)分別代入上面兩方程組，求得代入直母線方程，得到過(guò)點(diǎn)的兩條直母線與，即與
兩直母線的方向向量可分別取和，設(shè)兩直母線的夾角是，則有，.
（2）兩直母線所在平面的方程是，即
顯然平面與腰橢圓所在的平面的夾角是
4、0.
四、證明題(共2題,第一題10分,第二題15分,共25分)
1.求證:曲線在一個(gè)球面上,這里的.
證明:設(shè)，則有，即
所以曲線在球心為,半徑為的球面上。
2.證明:(1)雙曲拋物面的同族的所有直母線都平行于同一平面:
(2)雙曲拋物面的同族的兩條直母線異面.
證明: (1) 雙曲拋物面的u族直母線中任一條直母線都平行于平面,
v族直母線中任一條直母線都平行于平面,
因而結(jié)論成立.---------5分
(2)不妨取u族直母線來(lái)證明，任取u族直母線中兩條直母線
：①和 ：②
其中.由于①的第一個(gè)方程表示的平面平行于②的第一個(gè)方程表示的平面,即和在兩個(gè)平行平面上,因而和不會(huì)相交.
又由于直線的方向向量為
直線的方向向量為
由于,因此和不會(huì)平行,從而證明了雙曲拋物面的同族的兩條直母線異面.
解析幾何考試試卷及答案 西南大學(xué)
