2018年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題五 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質教案

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1、 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質 [考情分析] 圓錐曲線的定義、方程與性質是每年必考熱點，多以選擇、填空考查，著重考查圓錐曲線的幾何性質與標準方程求法，難度中檔偏下. 年份 卷別 考查角度及命題位置 2017 Ⅰ卷 雙曲線的性質及應用·T5 橢圓的綜合應用·T12 Ⅱ卷 雙曲線離心率的范圍·T5 拋物線的方程及應用·T12 Ⅲ卷 橢圓的離心率求法·T11 已知雙曲線的漸近線求參數(shù)·T14 2016 Ⅰ卷 橢圓的離心率求法·T5 Ⅲ卷 直線與橢圓的位置關系、橢圓的離心率求法·T12 2015 Ⅰ卷 橢圓與拋物線的簡單性質·T5

2、 雙曲線的幾何性質·T16 Ⅱ卷 雙曲線的標準方程·T15 [真題自檢] 1．(2017·高考全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1,3)，則△APF的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：法一：由題可知，雙曲線的右焦點為F(2,0)，當x＝2時，代入雙曲線C的方程，得4－＝1， 解得y＝±3，不妨取點P(2,3)，因為點A(1,3)，所以AP∥x軸，又PF⊥x軸，所以AP⊥PF， 所以S△APF＝·|PF|·|AP|＝×3×1＝.故選D. 法二：由題可知，雙曲線的右焦點為F(2,0)，當x＝2時，代

3、入雙曲線C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取點P(2,3)，因為點A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF， 所以S△APF＝|PF||AP|＝×3×1＝.故選D. 答案：D 2．(2017·高考全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標原點O(0,0)，半徑為a.由題意，圓心到直線bx－ay＋2ab＝0的距離為＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝，故

4、選A. 答案：A 3．(2016·高考全國卷Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝(k＞0)與C交于點P，PE⊥x軸，則k＝(　　) A. B．1 C. D．2 解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲線y＝(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，∴P(1,2)． 將點P(1,2)的坐標代入y＝(k＞0)，得k＝2.故選D. 答案：D 4．(2016·高考全國卷Ⅲ)已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為

5、(　　) A. B. C. D. 解析：如圖所示，由題意得A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c,0)． 設E(0，m)，由PF∥OE，得＝， 則|MF|＝.① 又由OE∥MF，得＝，則|MF|＝.② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.故選A. 答案：A 橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標準方程 [方法結論] 1．圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)雙曲線：＝2a(2a<|F1F2|)； (3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M. 2．求解圓錐曲線標準方程“先定型，

6、后計算” 所謂“定型”，就是曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值． [題組突破] 1．(2017·大連雙基)若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標原點，則△OFP的面積為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：設P(xP，yP)，由題可得拋物線焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1，又點P到焦點F的距離為2， ∴由定義知點P到準線的距離為2，∴xP＋1＝2，∴xP＝1，代入拋物線方程得|yP|＝2， ∴△OFP的面積為S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1. 答案：B 2．(2017·湖北八校聯(lián)

7、考)設F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知a＝3，b＝.由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝6.在△PF1F2中，因為PF1的中點在y軸上，O為F1F2的中點，由三角形中位線性質可推得PF2⊥x軸，所以|PF2|＝＝，所以|PF1|＝6－|PF2|＝， 所以＝，故選B. 答案：B 3．已知雙曲線－＝1(a＞0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為4，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－

8、＝1 D.－＝1 解析：根據(jù)對稱性，不妨設點A在第一象限，A(x，y)，則，解得，∵四邊形ABCD的面積為4，∴4xy＝4×＝4，解得a＝2，故雙曲線的方程為－＝1，選D. 答案：D [誤區(qū)警示] 1．圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質的基礎． 2．在使用橢圓與雙曲線的標準方程時，要注意區(qū)分焦點位置． 橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質 [方法結論] 1．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關系 (1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝ ； (2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝ . 2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝

9、±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關系． 3．拋物線方程中p的幾何意義為焦點到準線的距離． [題組突破] 1．(2017·河南八市聯(lián)考)已知點M(－3,2)是坐標平面內一定點，若拋物線y2＝2x的焦點為F，點Q是該拋物線上的一動點，則|MQ|－|QF|的最小值是(　　) A. B．3 C. D．2 解析：拋物線的準線方程為x＝－，依據(jù)拋物線的定義，得|QM|－|QF|≥|xQ＋3|－＝＝，選C. 答案：C 2．(2017·合肥質檢)若雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4，則b＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8

10、 解析：由題意得，＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝4?c＝＝2?b＝4，故選B. 答案：B 3．(2017·廣東五校聯(lián)考)設橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右頂點為A、右焦點為F，B為橢圓E上在第二象限內的點，直線BO交E于點C.若直線BF平分線段AC，則E的離心率為________． 解析：設AC的中點為M，連接OM，AB，則OM為△ABC的中位線，B，F(xiàn)，M在一條線上， 于是△OFM∽△AFB，且＝，即＝，解得e＝＝. 答案： 4．(2017·高考全國卷Ⅲ)雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝________. 解析：因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線

11、方程為y＝±x，所以a＝5. 答案：5 [誤區(qū)警示] 1．注意易混橢圓與雙曲線中a2、b2、c2的關系． 2．已知雙曲線的一條漸近線y＝mx(m≠0)，則要注意判斷其焦點位置后，才能說明＝|m|，還是＝，從而再利用e＝ 求離心率． 3．對于形如y＝ax2(a≠0)，求焦點坐標與準線時注意先化為標準方程． 直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系 [方法結論] 弦長問題 設直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若直線AB的斜率存在(設為k)，則|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)，其中|x1－x2|＝，|y1－y2|＝；若直線AB的斜率不

12、存在，則直接求出直線與圓錐曲線的交點坐標，利用兩點間的距離公式求弦長． [典例](1)(2017·洛陽模擬)已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，直線AB與拋物線C相交于A，B兩點，若2＋－3＝0，則弦AB中點到拋物線C的準線的距離為________． 解析：法一：依題意得，拋物線的焦點F(0,1)，準線方程是y＝－1，因為2(－)＋(－)＝0，即2＋＝0，所以F，A，B三點共線．設直線AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由，得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4?、伲挥?＋＝0，因此2x1＋x2＝0　②.由①②解得x＝2，弦AB的中點

13、到拋物線C的準線的距離為[(y1＋1)＋(y2＋1)]＝(y1＋y2)＋1＝(x＋x)＋1＝＋1＝. 法二：依題意得，拋物線的焦點F(0,1)，準線方程是y＝－1，因為2(－)＋(－)＝0，即2＋＝0，所以F，A，B三點共線．不妨設直線AB的傾斜角為θ，0＜θ＜，|FA|＝m，點A的縱坐標為y1，則有|FB|＝2m.分別由點A，B向拋物線的準線作垂線，垂足分別為A1，B1，作AM⊥BB1于M，則有|AA1|＝|AF|＝m，|BB1|＝|FB|＝2m，|BM|＝|BB1|－|AA1|＝m，sin θ＝＝，|AF|＝y(tǒng)1＋1＝2－|AF|sin θ，|AF|＝，同理|BF|＝y(tǒng)2＋1＝，|AF|

14、＋|BF|＝＋＝＝，因此弦AB的中點到拋物線C的準線的距離等于[(y1＋1)＋(y2＋1)]＝(y1＋y2)＋1＝(|AF|＋|BF|)＝. 答案： (2)(2017·合肥質檢)已知點F為橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形，直線＋＝1與橢圓E有且僅有一個交點M. ①求橢圓E的方程； ②設直線＋＝1與y軸交于P，過點P的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求實數(shù)λ的取值范圍． 解析：①由題意，得a＝2c，b＝c，則橢圓E為＋＝1. 由，得x2－2x＋4－3c2＝0. ∵直線＋＝1與橢圓E有且僅有一個交

15、點M， ∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0?c2＝1， ∴橢圓E的方程為＋＝1. ②由①得M(1，)， ∵直線＋＝1與y軸交于P(0，2)， ∴|PM|2＝， 當直線l與x軸垂直時， |PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1， ∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|?λ＝， 當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由?(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 依題意得：x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)＞0， ∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ， ∴λ＝(1＋)， ∵k2＞，∴＜λ＜

16、1. 綜上所述，λ的取值范圍是[，1)． [類題通法] 直線與圓錐曲線的位置關系問題充分體現(xiàn)了方程思想，化歸思想及數(shù)形結合思想，著重考查運算及推理能力，其解決的方法一般是： (1)設直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在進行討論，或將直線方程設成x＝my＋b的形式； (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉化為一元二次方程，利用判別式或根與系數(shù)的關系得到交點橫坐標或縱坐標的關系； (3)涉及弦的問題，一般要用到弦長公式|AB|＝·|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|. [演練沖關] 已知拋物線x2＝2py上點P處的切線方程為x－y－1＝0. (1)求拋物線的

17、方程； (2)設A(x1，y1)和B(x2，y2)為拋物線上的兩個動點，其中y1≠y2且y1＋y2＝4，線段AB的垂直平分線l與y軸交于點C，求△ABC面積的最大值． 解析：(1)設點P(x0，)，由x2＝2py得y＝，y′＝，∵切線的斜率為1，∴＝1且x0－－1＝0，解得p＝2，∴拋物線的方程為x2＝4y. (2)設線段AB的中點M(x3，y3)，則x3＝，y3＝， kAB＝＝＝×(x1＋x2)＝， ∴直線l的方程為y－2＝－(x－x3)， 即2x＋x3(－4＋y)＝0，∴l(xiāng)過定點(0,4)． ?x2－2xx3＋2x－8＝0， 得Δ＝4x－4(2x－8)＞0?－2＜x3＜2，

18、 |AB|＝|x1－x2|＝＝， C(0,4)到AB的距離d＝|CM|＝， ∴S△ABC＝|AB|·d＝ ＝ ≤ ＝8， 當且僅當x＋4＝16－2x，即x3＝±2時取等號， ∴S△ABC的最大值為8. 圓錐曲線與其他知識的交匯 圓錐曲線與方程是解析幾何的核心部分，是高考重點考查的內容，且所占分值較大，近年高考中，圓錐曲線與圓、平面向量、解三角形、不等式等知識交匯命題，成為命題的熱點和難點． [典例]　(2017·武漢調研)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．若|OA|，|AB|，|OB|

19、成等差數(shù)列，且與反向，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：設實軸長為2a，虛軸長為2b，令∠AOF＝α，則由題意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，∴設|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理，得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝. 答案：C [類題通法] 平面向量與圓錐曲線的交匯問題多考查平面向量的應用，通過運算溝通數(shù)與形的轉化，從而使問題解決． [演練沖關] (2017·貴陽模擬)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2,1)在“右”區(qū)域內，則雙曲線離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，) B．(，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞) 解析：依題意，注意到題中的雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，且“右”區(qū)域是由不等式組所確定，又點(2,1)在“右”區(qū)域內，于是有1＜，即＞，因此題中的雙曲線的離心率 e＝∈(，＋∞)，選B. 答案：B - 10 -