高三數學北師大版文一輪課后限時集訓：30 平面向量的數量積與平面向量應用舉例 Word版含解析

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1、 平面向量的數量積與平面向量應用舉例 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　 　B．3　　　 　C．2　　 　　D．0 B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故選B.] 2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b與b垂直，則實數λ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ D　[∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)， ∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)． ∵λa＋b與b垂直， ∴(λa＋b)·b＝0， ∴(－2λ＋1,3λ＋2)·

2、(1,2)＝0， 即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.] 3．已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，則|a－b|＝(　　) A. B. C．2 D. A　[因為|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝.故選A.] 4．a，b為平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，則a，b夾角的余弦值等于(　　) A．－ B．－ C. D. B　[∵a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，∴b＝[a－(a－2b)]＝(1，－2)， ∴a·b＝2－8＝－6.設a，b的夾角為θ，

3、∵a·b＝|a||b|·cos θ＝2×cos θ＝10cos θ， ∴10cos θ＝－6，∴cos θ＝－， 故選B.] 5．如圖在邊長為1的正方形組成的網格中，平行四邊形ABCD的頂點D被陰影遮住，請設法計算·＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 B　[以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，＝(4,1)，＝＝(2,3)，∴·＝4×2＋1×3＝11，故選B.] 6．(2019·河北衡水模擬三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，則“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必

4、要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 C　[由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要條件．故選C.] 7．(2019·寶雞模擬)在直角三角形ABC中，角C為直角，且AC＝BC＝1，點P是斜邊上的一個三等分點，則·＋·＝(　　) A．0 B．1 C. D．－ B　[以點C的坐標原點，分別以，的方向為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系(圖略)，則C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨設P，所以·＋·＝·(＋)＝＋＝1.故選B.]

5、 二、填空題 8．已知平面向量a，b滿足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b的夾角的正弦值為________． 　[∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3， ∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]， ∴sin〈a，b〉＝＝.] 9．已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，則a在b方向上的投影等于________． －　[∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝， ∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3， ∴a·b＝－1， ∴a在b方向上的投影為＝－.

6、] 10．如圖所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，則·＝________. －11　[以A為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖． 則A(0,0)，B(4,0)，E(1,4)，F(5,1)，所以＝(5,1)，＝(－3,4)，則·＝－15＋4＝－11.] 1．若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為(　　) A. B. C. D. A　[由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b.將|a－b|＝2|b|兩邊平方，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|

7、2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量a＋b與a的夾角為，故選A.] 2．已知平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，則(a＋c)·(2b－c)的最小值為(　　) A．－2 B．－ C．－1 D．0 B　[因為a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.不妨設a＝(1,0)，b＝，c＝(cos θ，sin θ)，則(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cos θ＋2－1＝sin θ，所以(a＋c)·(2b－c)的最小值為－，故選B.] 3．在△ABC中，a，b，c

8、為A，B，C的對邊，a，b，c成等比數列，a＋c＝3，cos B＝，則·＝________. －　[由a，b，c成等比數列得ac＝b2，在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝，則＝，解得ac＝2， 則·＝accos(π－B)＝－accos B＝－.] 4．(2019·衡水第二次調研)如圖所示，||＝5，||＝，·＝0，且＝2，＝3，連接BE，CD交于點F，則||＝________. 　[由三點共線可知，＝λ＋(1－λ)＝2λ＋(1－λ)(λ∈R)，① 同理，＝μ＋(1－μ)＝μ＋3(1－μ)(μ∈R)，② 由①②，得 解得 故＝＋. ∴||＝＝.] 1．如圖所示

9、，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3均是邊長為2的正三角形，點C1，C2在線段AC3上，點Pi(i＝1,2，…，10)在B3C3上，且滿足＝＝＝…＝P10B3，連接AB2，APi(i＝1,2，…，10)，則 (·)＝________. 180　[以A為坐標原點，AC1所在直線為x軸建立直角坐標系(圖略)，可得B2(3，)，B3(5，)，C3(6,0)，直線B3C3的方程為y＝－(x－6)，可設Pi(xi，yi)，可得xi＋yi＝6， 即有·＝3xi＋yi＝(xi＋yi)＝18， 則 (·)＝180.] 2．已知在△ABC所在平面內有兩點P，Q，滿足＋＝0，＋＋＝，若||＝4，||＝2，S△APQ＝，則sin A＝________，·＝________. 　±4　[由＋＝0知，P是AC的中點，由＋＋＝，可得＋＝－，即＋＝，即＝2， ∴Q是AB邊靠近B的三等分點， ∴S△APQ＝××S△ABC＝S△ABC， ∴S△ABC＝3S△APQ＝3×＝2. ∵S△ABC＝||||sin A＝×4×2×sin A＝2， ∴sin A＝，∴cos A＝±， ∴·＝||||·cos A＝±4.]