江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《第三講：一般形式的柯西不等式》課件 新人教A版選修45

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1、 根據(jù)上面結(jié)果，你能猜想出一般形式的柯西不根據(jù)上面結(jié)果，你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎？等式嗎？猜想并證明猜想并證明結(jié)論結(jié)論猜想柯西不等式的一般形式猜想柯西不等式的一般形式222222212121 122()()()nnnbaaabbba ba ba b，aaaAn22221 設(shè)設(shè)，bbbCn22221 nnbababaB 22112ACB不不等等式式就就是是分析：分析：)( )(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf 構(gòu)造二次函數(shù)構(gòu)造二次函數(shù)0)()()()(2222211 nnbxabxabxaxf又又。等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)使使得得或或存存在在一

2、一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理,),2 , 1(,),2 , 1(0,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn 222222212121 122()()()nnnbaaabbba ba ba b 同樣這個(gè)不等式也有著向量（同樣這個(gè)不等式也有著向量（n維向量）及幾何背景，維向量）及幾何背景，其應(yīng)用廣泛。其應(yīng)用廣泛。繼續(xù)繼續(xù)2答案答案22221212() ()nnn aaaaaa222212121()nnaaaaaan2223 231,xyzxyz例例已已知知求求的的最最小小值值. .的最小值的最小值求求已知已知例

3、例222, 132 3zyxzyx 141143,71,1413211411)32()321)(:2222222222222取最小值取最小值時(shí)時(shí)即即當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)證明證明zyxzyxzyxzyxzyxzyx 補(bǔ)充練習(xí)補(bǔ)充練習(xí)22212122212121221212122212(1) ()111 (111) (11 )( 11111 1)()11nnnnnnnnnxxxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 222121211111nnxxxxxxn證明：證明：22222222222222: 4() (1111)() ()4(16)(8) ,6446416165160,05abcd

4、abcdabcdeeeeeeee 解解即即即即故故 2答案答案.,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)代代入入法法證證法法二二 zyxxzxyzyyzzxxzyxxyzyxzzyxyzyxxzyx3100)1()1()1(:, 1,. 2222 ccbbaacbacba求證求證且且為正數(shù)為正數(shù)設(shè)設(shè)222222236)sin1sin1sin1)(:,1RCBAcbaRcbaABC 求求證證外外接接圓圓半半徑徑為為設(shè)設(shè)其其各各邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)為為中中在在2221121413121174:,2. 3 nnn試證試證的正整數(shù)的正整數(shù)是不小于是不小于若若23)(1)(1)(1:, 1,. 4333 baccabcbaabcRcba試證明試證明且滿足且滿足設(shè)設(shè)12n+12n+22222212n12n12n12n12n12n12n12n問(wèn)題：已知a ,a ,a R ，求證問(wèn)題：已知a ,a ,a R ，求證na +a +aa +a +ana +a +aa +a +a111111nnnn+aaaaaa當(dāng)且僅當(dāng)a = a = a 時(shí)取等號(hào)。當(dāng)且僅當(dāng)a = a = a 時(shí)取等號(hào)。調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)均方平均數(shù)均方平均數(shù) 附：介紹平均數(shù)不等式附：介紹平均數(shù)不等式