2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題八 第3講 高考數(shù)學(xué)文化與人文價(jià)值名師導(dǎo)學(xué)案 文

《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題八 第3講 高考數(shù)學(xué)文化與人文價(jià)值名師導(dǎo)學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題八 第3講 高考數(shù)學(xué)文化與人文價(jià)值名師導(dǎo)學(xué)案 文（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第3講　高考數(shù)學(xué)文化與人文價(jià)值 數(shù)學(xué)文化解讀　教育部考試中心函件《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用.比如，在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容.”因此，我們特別策劃了此專(zhuān)題，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，選取典型樣題深度解讀，希望能夠給予廣大師生的復(fù)習(xí)備考以專(zhuān)業(yè)的幫助與指導(dǎo). 熱點(diǎn)一　算法中的數(shù)學(xué)文化 【例1】　(1)(2017·菏澤模擬)公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓

2、術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出n的值為_(kāi)_______.(參考數(shù)據(jù)：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，≈1.732) (2)(2016·四川卷)秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程度框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為(　　) A.9 B.18 C.20 D.35 解析　(1)

3、n＝6，S＝×6sin 60°＝≈2.598<3.1執(zhí)行循環(huán). n＝12，S＝×12sin 30°＝3<3.1，執(zhí)行循環(huán). n＝24，S＝×24sin 15°＝3.105 6>3.1，滿足條件，退出循環(huán). ∴輸出n的值為24. (2)初始值n＝3，x＝2，v＝1. 程序框圖運(yùn)行過(guò)程如下： i＝2　v＝1×2＋2＝4 i＝1　v＝4×2＋1＝9 i＝0　v＝9×2＋0＝18 i＝－1不滿足條件i≥0，退出循環(huán). 輸出v＝18. 答案　(1)24　(2)B 探究提高　1.更相減損術(shù)、秦九韶算法和割圓術(shù)分別在人民教育出版社《數(shù)學(xué)必修3》(A版)第36頁(yè)，第37頁(yè)，第45頁(yè)“算

4、法案例”中出現(xiàn).其中更相減損術(shù)和秦九韶算法分別在2015年和2016年全國(guó)卷Ⅱ中考過(guò)，因此割圓術(shù)將是以后命題的熱點(diǎn). 2.將數(shù)學(xué)文化嵌入到程序框圖：(1)要讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行；(2)要理解數(shù)學(xué)文化的人文價(jià)值，樹(shù)立正能量. 【訓(xùn)練1】　(2017·衡水中學(xué)二調(diào))《算學(xué)啟蒙》是由中國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)啟蒙讀物，包括面積、體積、比例、開(kāi)方、高次方程等. 名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n等于(　　) A.2 B.3 C.

5、4 D.5 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a＝，b＝4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件， 當(dāng)n＝2時(shí)，a＝，b＝8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件， 當(dāng)n＝3時(shí)，a＝，b＝16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件， 當(dāng)n＝4時(shí)，a＝，b＝32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，退出循環(huán).故輸出的n值為4. 答案　C 熱點(diǎn)二　數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化 【例2】　(1)(2017·江西紅色七校聯(lián)考)《九章算術(shù)》之后，人們學(xué)會(huì)了用等差數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾(注：從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布)，第一天織5尺布，現(xiàn)一月(按30天計(jì))共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織________尺布(　

6、　) A. B. C. D. (2)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了(　　) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 解析　(1)每天織布數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，其中a1＝5，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d. 則一月織布總數(shù)S30＝30×5＋d＝150＋435d＝390，解之得d＝. (2)依題意，6天中每天行走的路

7、程構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，記為{an}，其中公比q＝. 由題設(shè)有＝378，解得a1＝192. 則a2＝a1q＝192×＝96. 所以第二天走了96里. 答案　(1)D　(2)B 探究提高　1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“經(jīng)世濟(jì)用”，注重算理算法，其中很多問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，等比數(shù)列問(wèn)題. 2.兩題以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化為載體考查數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)列模型，進(jìn)行數(shù)列的基本計(jì)算，利用方程思想求解. 【訓(xùn)練2】　(2017·石家莊調(diào)研)朱載堉(1536－1611)，是中國(guó)明代一位杰出的音樂(lè)家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說(shuō)》中制成了最早的“十二平均律”

8、.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱(chēng)“十二等程律”.即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍.設(shè)第三個(gè)音的頻率為f1，第七個(gè)音的頻率為f2.則＝(　　) A. B. C.4 D. 解析　依題意，13個(gè)音的頻率成等比數(shù)列，記為{an}，設(shè)公比為q. 則a13＝a1q12，且a13＝2a1，∴q＝ ， 所以＝＝q4＝ ＝. 答案　A 熱點(diǎn)三　立體幾何中的數(shù)學(xué)文化 【例3】　(1)(2015·全國(guó)Ⅰ卷)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下

9、問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 (2)我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)即同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)

10、同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) A.4－ B.8－ C.8－π D.8－2π 解析　(1)設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝.所以米堆的體積為V＝×π×r2×5＝××5≈(立方尺). 故堆放的米約有÷1.62≈22(斛). (2)由三視圖知，該幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱. V正方體＝23＝8，V半圓柱＝(π×12)×2＝π， ∴三視圖對(duì)應(yīng)幾何體的體積V＝8－π. 根據(jù)祖暅原理，不規(guī)則幾何體的體積V′＝V＝8－π. 答案　(1)B　(2)C 探究提高　1.本例以《九章算術(shù)》，祖暅原理為背景，相應(yīng)考查圓錐的體積公式、三視圖及其體積計(jì)算.既檢

11、測(cè)了考生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化. 2.兩題很好地詮釋了《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》中對(duì)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的要求，加強(qiáng)對(duì)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考查，引導(dǎo)考生提高人文素養(yǎng)、傳承民族精神，樹(shù)立民族自信心和自豪感，試題的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出試題本身. 【訓(xùn)練3】　(2017·新鄉(xiāng)三模)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無(wú)廣；高一丈，問(wèn)：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈；上棱長(zhǎng)2丈，高一丈.問(wèn)它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出如下圖所示，

12、其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1丈，則該楔體的體積為(　　) A.5 000立方尺 B.5 500立方尺 C.6 000立方尺 D.6 500立方尺 解析　該楔形的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF，取AB的中點(diǎn)G，CD的中點(diǎn)H，連FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F－GBCH與三棱柱ADE－GHF的體積之和，而三棱柱ADE－GHF可通過(guò)割補(bǔ)法得到一個(gè)高為EF，底面積為S＝×3×1＝平方丈的一個(gè)直棱柱，故該楔形的體積V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺. 答案　A 熱點(diǎn)四　概率統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)文化 【例4】　(2017·鄭州二模)歐陽(yáng)修在《賣(mài)油翁》中寫(xiě)到：

13、“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢(qián)覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢(qián)孔入，而錢(qián)不濕”，可見(jiàn)賣(mài)油翁的技藝之高超，若銅錢(qián)直徑4厘米，中間有邊長(zhǎng)為1厘米的正方形小孔，隨機(jī)向銅錢(qián)上滴一滴油(油滴大小忽略不計(jì))，則油恰好落入孔中的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　易知銅錢(qián)的面積S＝π×22＝4π，銅錢(qián)小孔的面積S0＝1.根據(jù)幾何概型，所求概率P＝＝. 答案　D 探究提高　1.弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)為兩點(diǎn)：一是挖掘古代典籍與數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)；二是將數(shù)學(xué)落實(shí)在中華傳統(tǒng)美德，貫徹“弘揚(yáng)正能量”的精神風(fēng)貌. 2.試題插圖的創(chuàng)新是本題的一個(gè)亮點(diǎn)，其一，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的生活化，使數(shù)學(xué)

14、的應(yīng)用更貼近考生的生活實(shí)際；其二，有利于考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，這對(duì)穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果；其三，探索了數(shù)學(xué)試題插圖的新形式，給出了如何將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化的范例. 【訓(xùn)練4】　我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1 534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(　　) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 解析　由分層抽樣的含義，該批米內(nèi)夾谷約為×1 534≈169(石). 答案　B 熱點(diǎn)五　推理與證明中的數(shù)學(xué)文化 【例5】　(1)(2017·南寧質(zhì)檢)如圖

15、所示是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4 095個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為，則最小正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______. (2)(2015·湖北卷)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬P－ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE，BD，BE. ①證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16、 ②記陽(yáng)馬P－ABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，求的值. (1)解析　依題意，正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列. 因?yàn)楣灿? 095個(gè)正方形，則1＋2＋22＋…＋2n－1＝4 095，∴n＝12. 所以最小正方形的邊長(zhǎng)為×＝＝. 答案　 (2)①證明　因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥BC， 由于底面ABCD為長(zhǎng)方形，有BC⊥CD，且PD∩CD＝D， 所以BC⊥平面PCD. 由DE?平面PCD，所以BC⊥DE， 又PD＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC. 由PC∩BC＝C，故DE⊥平面PBC. 由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC. 可知

17、四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，則四面體EBCD是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB. ②解　由已知，PD是陽(yáng)馬P－ABCD的高. ∴V1＝SABCD·PD＝·BC·CD·PD， 由①知，DE是鱉臑D－BCE的高，BC⊥CE. ∴V2＝S△BCE·DE＝·BC·CE·DE， 在Rt△PDC中，由于PD＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn). 所以DE＝CE＝CD， 于是＝＝＝4. 【訓(xùn)練5】　在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書(shū)中，用如圖1所示的三角形，解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊士·帕斯卡的著

18、作(1655年)介紹了這個(gè)三角形.近年來(lái)國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó)，所以有些書(shū)上稱(chēng)這是“中國(guó)三角形”(Chinese triangle)如圖1，17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式：C＋C＝C，其中n是行數(shù)，r∈N.請(qǐng)類(lèi)比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是________. 圖1 圖2 解析　類(lèi)比觀察得，將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)，而相鄰兩項(xiàng)之和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù)，故類(lèi)比式子C＋C＝C，有＝＋. 答案　＋＝ 熱點(diǎn)六　數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)代科學(xué) 【例6】　2016年1月14日，國(guó)防科工局宣布，嫦娥四號(hào)任

19、務(wù)已經(jīng)通過(guò)了探月工程重大專(zhuān)項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過(guò)，正式開(kāi)始實(shí)施.如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2. 其中正確式子的序號(hào)是(　　) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 解析　觀察圖形可知a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，即

20、①式不正確； a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正確； 由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0， 知<，即<，從而c1a2>a1c2，>.即④式正確，③式不正確. 答案　D 探究提高　1.命題者抓住“嫦娥奔月”這個(gè)古老而又現(xiàn)代的浪漫話題，以探測(cè)衛(wèi)星軌道為背景，抽象出共一條對(duì)稱(chēng)軸、一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)橢圓的幾何性質(zhì)，并以加減乘除的方式構(gòu)造兩個(gè)等式和兩個(gè)不等式，考查橢圓的幾何性質(zhì)，可謂匠心獨(dú)運(yùn). 2.注意到橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ共一個(gè)頂點(diǎn)P和一個(gè)焦點(diǎn)F，題目所給四個(gè)式子涉及長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和半焦距，從焦距入手，這是求解的關(guān)鍵，本題對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行了比較全面的考查，是一道名副其實(shí)的小

21、中見(jiàn)大、常中見(jiàn)新、蘊(yùn)文化于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)應(yīng)用之中的好題. 【訓(xùn)練6】　第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如圖所示，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，那么tan＝________. 解析　依題意得大、小正方形的邊長(zhǎng)分別是1，5， 于是有5sin θ－5cos θ＝1，則sin θ－cos θ＝. 從而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝， 則sin θ＋cos θ＝，因此sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝. 故tan＝＝－7. 答案?。? 以古代數(shù)學(xué)知識(shí)為背景命制的題目常與立體幾何、函數(shù)、數(shù)列、算法等知識(shí)有關(guān)，解題的關(guān)鍵是將數(shù)學(xué)史背景下的條件轉(zhuǎn)化為高中數(shù)學(xué)知識(shí)，考查考生的閱讀理解能力、抽象概括能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，既體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用性的考查，也體現(xiàn)了我國(guó)數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng). 隨著高考改革的深入，仍會(huì)適當(dāng)加大對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化進(jìn)行考查的內(nèi)容，如將四大發(fā)明、勾股定理等所代表的中國(guó)古代科技文明作為試題背景材料，遵循繼承、弘揚(yáng)、創(chuàng)新的發(fā)展路徑，注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實(shí)中的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新性發(fā)展，體現(xiàn)中國(guó)傳統(tǒng)科技文化對(duì)人類(lèi)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步的貢獻(xiàn)，踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀. - 11 -