高三數(shù)學北師大版文一輪教師用書：第4章 第4節(jié)　函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及三角函數(shù)模型的簡單應用 Word版含解析

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1、 第四節(jié)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及三角函數(shù)模型的簡單應用 [最新考綱]　1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出函數(shù)的圖像，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖像變化的影響.2.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． (對應學生用書第67頁) 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一個簡諧運動 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表所示

2、： x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由y＝sin x的圖像變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖像 1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖像平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”． 2．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)利用圖像變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長度一致． (　　) (2)將y＝3sin

3、2x的圖像左移個單位后所得圖像的解析式是y＝3sin. (　　) (3)y＝sin的圖像是由y＝sin的圖像向右平移個單位得到的． (　　) (4)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖像的兩個相鄰對稱中心之間的距離為. (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．y＝2sin的振幅、頻率和初相分別為(　　) A．2,4π，　　　　 B．2，， C．2，，－ D．2,4π，－ C　[由題意知A＝2，f＝＝＝，初相為－.] 2．為了得到函數(shù)y＝2sin的圖像，可以將函數(shù)y＝2sin 2x的圖像(　　) A．向右平移個

4、單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 A　[y＝2sin＝2sin 2.] 3．如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，則這段曲線的函數(shù)解析式為________． y＝10sin＋20，x∈[6,14]　[從圖中可以看出，從6～14時的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個周期 所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20， 又×＝14－6，所以ω＝. 又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝， 所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．] 4．某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)

5、計發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復出現(xiàn)．下表是今年前四個月的統(tǒng)計情況： 月份x 1 2 3 4 收購價格y(元/斤) 6 7 6 5 選用一個函數(shù)來近似描述收購價格(元/斤)與相應月份之間的函數(shù)關(guān)系為________． y＝6－cosx　[設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由題意得A＝1，B＝6，T＝4，因為T＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.因為當x＝1時，y＝6，所以6＝sin＋6，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cos x.] (對應學生用書第68頁) ⊙考點1　函數(shù)y＝Asin(ωx＋

6、φ)的圖像及變換 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像可用“五點法”作簡圖得到，可通過變量代換z＝ωx＋φ計算五點坐標． (2)由函數(shù)y＝sin x的圖像通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)圖像有兩條途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”． 　已知函數(shù)y＝2sin. (1)用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖像； (2)[一題多解]說明y＝2sin的圖像可由y＝sin x的圖像經(jīng)過怎樣的變換而得到． [解](1)描點畫出圖像，如圖所示： (2)法一：把y＝sin x的圖像上所有的點向左平移個單位長度，得到y(tǒng)＝sin的圖像； 再把y＝sin的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱

7、坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖像； 最后把y＝sin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖像． 法二：將y＝sin x的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖像； 再將y＝sin 2x的圖像向左平移個單位長度，得到y(tǒng)＝sin＝sin的圖像； 再將y＝sin的圖像上所有點的縱坐標伸長為原來的2倍(橫坐標不變)，即得到y(tǒng)＝2sin的圖像． 　三角函數(shù)圖像變換中的三個注意點 (1)變換前后，函數(shù)的名稱要一致，若不一致，應先利用誘導公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)； (2)要弄清變換的方向，即變換的是哪個函數(shù)的圖像，得到的是哪個函數(shù)

8、的圖像，切不可弄錯方向； (3)要弄準變換量的大小，特別是平移變換中，函數(shù)y＝Asin x到y(tǒng)＝Asin(x＋φ)的變換量是|φ|個單位，而函數(shù)y＝Asin ωx到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)時，變換量是個單位． 　1.要得到函數(shù)y＝sin的圖像，只需將函數(shù)y＝cos 5x的圖像(　　) A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 B　[函數(shù)y＝cos 5x＝sin＝sin 5， y＝sin＝sin 5，設(shè)平移φ個單位， 則＋φ＝－， 解得φ＝－，故把函數(shù)y＝cos 5x的圖像向右平移個單位，可得函數(shù)y＝sin的圖像．] 2．若把函數(shù)y＝sin

9、的圖像向左平移個單位長度，所得到的圖像與函數(shù)y＝cos ωx的圖像重合，則ω的一個可能取值是(　　) A．2　　　　　 B. C. D. A　[y＝sin和函數(shù)y＝cos ωx的圖像重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，則ω＝6k＋2，k∈Z. ∴2是ω的一個可能值．] 3．將函數(shù)f(x)＝sin的圖像向左平移φ(φ＞0)個單位后，得到的圖像關(guān)于直線x＝對稱，則φ的最小值為________． π　[把函數(shù)f(x)＝sin的圖像向左平移φ(φ＞0)個單位后， 可得y＝sin＝sin的圖像， ∵所得圖像關(guān)于直線x＝對稱，∴4×＋4φ＋＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)， ∵φ＞0

10、，∴φmin＝.] ⊙考點2　由圖像確定y＝Asin(ωx＋φ)的 解析式 　確定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步驟 (1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，B＝. (2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝. (3)求φ，常用方法有： ①代入法：把圖像上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖像的最高點或最低點代入． ②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．具體如下：“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖像的“峰點”)為ωx＋φ＝；“第三點”(即圖像下降時與x

11、軸的交點)為ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖像的“谷點”)為ωx＋φ＝；“第五點”(即圖像上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝2π. (1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則f(x)＝________. (2)(2019·重慶六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則f＝________. (1)2sin　(2)－　[(1)由題圖可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2，由五點作圖法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函數(shù)的解析式為y＝2sin. (2)由函數(shù)的圖像可得A＝，×＝－，可得ω＝2，則2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，又0＜φ＜，所以φ

12、＝，故f(x)＝sin，所以f＝－.] 　一般情況下，ω的值是唯一確定的，但φ的值是不確定的，如果求出的φ的值不在指定范圍內(nèi)，可以通過加減的整數(shù)倍達到目的．在用“零點”求φ時，務必關(guān)注三角函數(shù)在該點附近的圖像變化趨勢． 　1. (2019·開封模擬)如果存在正整數(shù)ω和實數(shù)φ使得函數(shù)f(x)＝sin2(ωx＋φ)的圖像如圖所示(圖像經(jīng)過點(1,0))，那么ω的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[因為f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝－cos 2(ωx＋φ)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝，由題圖知＜1，且＞1，即＜T＜2，又ω為正整數(shù)，所以ω的值為2，故選B.]

13、 2. (2019·合肥模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是(　　) A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B　[由題意得，A＝2，T＝4×＝π，故ω＝＝2.當x＝時取得最大值2，所以2＝2sin，且|φ|＜，所以φ＝，所以函數(shù)的解析式為f(x)＝2sin.當x∈時，2x＋∈，又由正弦函數(shù)y＝sin x的圖像與性質(zhì)可知，函數(shù)y＝sin x在上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增．當x∈時，2x＋∈，由函數(shù)y＝sin x的圖像與性質(zhì)知此區(qū)間上不單調(diào)，故選B.] 3.已知函數(shù)f(x)＝sin(π

14、x＋θ)的部分圖像如圖所示，且f(0)＝－，則圖中m的值為________． 　[因為f(0)＝sin θ＝－，且|θ|＜，所以θ＝－，所以f(x)＝sin，所以f(m)＝sin＝－，所以mπ－＝2kπ＋，k∈Z，所以m＝2k＋，k∈Z.又周期T＝2，所以0＜m＜2，所以m＝.] ⊙考點3　三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應用 　已知函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若將f(x)的圖像向左平移m(m＞0)個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點，求當m取得最小值時，g(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間． [解](1)函數(shù)f(

15、x)的圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為， 得函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝2×＝，得ω＝1， 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sin. (2)將f(x)的圖像向左平移m(m＞0)個單位長度得到函數(shù)g(x)＝sin＝sin的圖像，根據(jù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點， 可得sin＝0，即sin＝0， 所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)， 因為m＞0， 所以當k＝0時，m取得最小值，且最小值為. 此時，g(x)＝sin. 因為x∈，所以2x＋∈. 當2x＋∈，即x∈時，g(x)單調(diào)遞增， 當2x＋∈，即x∈時，g(x)單調(diào)遞增． 綜上，g(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間是和.

16、 　研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題． 　1.(2019·全國卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)兩個相鄰的極值點，則ω＝(　　) A．2　　　　B. C．1　　　　D. A　[由題意及函數(shù)y＝sin ωx的圖像與性質(zhì)可知， T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2. 故選A.] 2．(2019·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函數(shù)，將y＝f(x)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖像對應的函數(shù)為g(x)．若g(x)的

17、最小正周期為2π，且g＝，則f＝(　　) A．－2 B．－ C. D．2 C　[∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)， ∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f(x)＝Asin ωx，則g(x)＝Asin.由g(x)的最小正周期T＝2π，得＝＝1，∴ω＝2.又g＝Asin ＝A＝，∴A＝2， ∴f(x)＝2sin 2x，∴f＝2sin ＝，故選C.] 課外素養(yǎng)提升⑤　邏輯推理與數(shù)學運算——三角函數(shù)中ω的確定方法 (對應學生用書第70頁) 數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段，通過運算可促進學生思維的發(fā)展；而邏輯推理是得到數(shù)學結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學體系的重要方式．運算和推理貫穿于探

18、究數(shù)學問題的始終，可交替使用，相輔相成． 三角函數(shù)的周期T與ω的關(guān)系 【例1】　為了使函數(shù)y＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的最小值為(　　) A．98π　　　　　　 B.π C.π D．100π B　[由題意，至少出現(xiàn)50次最大值即至少需用49個周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.] [評析]　解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期T＝與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系． 三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系 【例2】　[一題多解]若f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是________． 　[法一：因為x∈(ω

19、＞0)， 所以ωx∈， 因為f(x)＝2sin ωx在上是增函數(shù)， 所以故0＜ω≤. 法二：畫出函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的圖像如圖所示． 要使f(x)在上是增函數(shù)，需(ω＞0)， 即0＜ω≤. 法三：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)得 －＋≤x≤＋(k∈Z)， 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)， 由題意?(k∈Z，ω＞0)， 從而有即0＜ω≤.] [評析]　根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，建立不等式，即可求ω的取值范圍． 【例3】(1)已知f(x)＝si

20、n ωx－cos ωx，若函數(shù)f(x)圖像的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標都不屬于區(qū)間(π，2π)，則ω的取值范圍是________．(結(jié)果用區(qū)間表示) (2)已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是________． (1)　(2)　 [(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin， 令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)． 當k＝0時，≤π，即≤ω， 當k＝1時，＋≥2π，即ω≤. 綜上，≤ω≤. (2)顯然ω≠0，分兩種情況： 若ω＞0，當x∈時，－ω≤ωx≤ω. 因函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，所以－ω≤－，解得ω≥. 若ω＜0，當x∈時，ω≤ωx≤－ω， 因函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，所以ω≤－，解得ω≤－2. 綜上所述，符合條件的實數(shù)ω≤－2或ω≥.] [評析]　這類三角函數(shù)題除了需要熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性外，還必須知曉一個周期里函數(shù)最值的變化，以及何時取到最值，函數(shù)取到最值的區(qū)間要求與題目給定的區(qū)間的關(guān)系如何.