初中數(shù)學(xué) 與圓有關(guān)的比例線段課件 人教新課標(biāo)版

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1、弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于它所夾的弦切角等于它所夾的弧弧所對的所對的圓周角圓周角.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半角的一半圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，相等的圓周角所對的弧也相等反之，相等的圓周角所對的弧也相等推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；反之，推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；反之，的圓周角所對的弦是直徑的圓周角所對的弦是直徑五五 與圓

2、有關(guān)的比例線段與圓有關(guān)的比例線段ODPATBC一、下面我們首先沿用一、下面我們首先沿用從特殊到一般的思路從特殊到一般的思路,討論與圓討論與圓有關(guān)的相交弦的問題有關(guān)的相交弦的問題.探究探究1:如圖如圖1,AB是是 O的直徑的直徑,CDAB,AB與與CD相交于相交于P,線段線段PA、PB、PC、PD之間有什么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？OBDACP圖1證明證明:連接連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得則由圓周角定理的推論可得:AC.RtAPDRtCPB.探究探究2:將將圖中的圖中的AB向上（或向下）平移向上（或向下）平移,使使AB不再是不再是直徑（如圖），結(jié)論（）還成立嗎？直徑（如圖），結(jié)論（）還成

3、立嗎？OBDACP圖圖OBDACP圖圖PAPB=PCPD(1)證明證明:連接連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得則由圓周角定理的推論可得:AC.RtAPDRtCPB.OBDACP圖圖PAPB=PCPD(1)證明證明:連接連接AD、BC. 則由圓周角定理的推論可得則由圓周角定理的推論可得:AC.APDCPB.探究探究3:上面討論了上面討論了CDAB的情形進(jìn)一步地的情形進(jìn)一步地,如果如果CD 與AB不不垂直，如圖垂直，如圖, AB 、CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,結(jié)論（）還結(jié)論（）還成立嗎？成立嗎？OBDACP圖圖OBDACP圖圖PAPB=PCPD(2)PAPB=PCPD(

4、3)綜上所述，不論綜上所述，不論ABAB 、 CDCD具有什么樣的位置，具有什么樣的位置，都有結(jié)論（）成立！都有結(jié)論（）成立！相交弦定理：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等長的積相等.OBDACP幾何語言：幾何語言： AB 、 CD是圓內(nèi)是圓內(nèi)的任意兩條相交弦的任意兩條相交弦,交點(diǎn)為交點(diǎn)為P, PAPB=PCPD.上面通過考察相交弦交角變化中有上面通過考察相交弦交角變化中有關(guān)線段的關(guān)系，得出相交弦定理關(guān)線段的關(guān)系，得出相交弦定理.下面從新的角度考察與圓有關(guān)的比下面從新的角度考察與圓有關(guān)的比例線段例線段探究探究4:使圓的兩條弦的交點(diǎn)從

5、使圓的兩條弦的交點(diǎn)從圓內(nèi)圓內(nèi)（圖）運(yùn)動(dòng)到（圖）運(yùn)動(dòng)到圓圓上上（圖），再到（圖），再到圓外圓外（圖），（圖），結(jié)論結(jié)論(1)還成立嗎？還成立嗎？OBDACP圖圖3OBA(C,P)D圖圖4OBDACP圖圖5當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在圓上在圓上,PA=PC=0,所以所以PAPB=PCPD=0仍成立仍成立.當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在圓外在圓外,連接連接AD、BC,容易證明容易證明:PADPCB,所以所以PA:PC=PD:PB,即即PAPB=PCPD仍成立仍成立.如圖如圖,已知點(diǎn)已知點(diǎn)P為為 O外一點(diǎn)外一點(diǎn),割線割線PBA、PDC分別交分別交 O于于A、B和和C、D. 求證求證:PAPB=PCPD.證法證法2：連接：連接AC、BD

6、，四邊形四邊形ABDC為為 O 的內(nèi)的內(nèi)接四邊形接四邊形, PDB= A，又又 P=P, PBD PCA. PD ：PA=PB ：PC. PAPB=PCPD.割線定理：割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每一條從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每一條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的乘積相等割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的乘積相等. .應(yīng)用格式（幾何語言描述）應(yīng)用格式（幾何語言描述）:PAB,PCD是是 O 的割線的割線, PAPB=PCPD.OCPADB點(diǎn)點(diǎn)P從圓內(nèi)移動(dòng)到圓外從圓內(nèi)移動(dòng)到圓外PAPB=PCPDOBDACP圖圖3PAPB=PCPD圖圖5OCPADBOA(B)PCD使割線使割線PA

7、繞繞P點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的位運(yùn)動(dòng)到切線的位置，是否還有置，是否還有PAPB=PCPD？證明證明:連接連接AC、AD,同樣可以證明同樣可以證明PADPCA,所以所以PA:PC=PD:PA,即即PA2=PCPD仍成立仍成立.如圖如圖,已知點(diǎn)已知點(diǎn)P為為 O外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，PA切切 O于點(diǎn)于點(diǎn)A，割線，割線PCD 交交 O于于C、D. 求證：求證：PA2=PCPD.證明：連接證明：連接AC、AD，PA切切 O于點(diǎn)于點(diǎn)A,D= PAC.又又 P=P, PAC PDA. PA ：PD=PC ：PA. PA2= PCPD.切割線定理切割線定理: :從圓外一點(diǎn)引圓的切線和條割線從圓外一點(diǎn)引圓的切線和條割線, ,

8、切線長切線長是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng). .應(yīng)用格式（幾何語言描述）應(yīng)用格式（幾何語言描述）:PA是是 O 的切線的切線,PCD是是 O 的割線的割線, PA=PCPD.ODPCA探究探究5:使圓的割線使圓的割線PD繞點(diǎn)繞點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切線位置，可運(yùn)動(dòng)到切線位置，可以得出什么以得出什么結(jié)論？結(jié)論？點(diǎn)點(diǎn)P P從圓內(nèi)移從圓內(nèi)移動(dòng)到圓外動(dòng)到圓外. .相交弦定理相交弦定理PAPB=PCPDOBDACP圖圖3割線定理割線定理PAPB=PCPD圖圖5OCPADB使割線使割線PAPA繞繞P P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的位置線的位置. .OA(B)PCD

9、切割線定理切割線定理PA2=PCPD使割線使割線PCPC繞繞P P點(diǎn)也運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)也運(yùn)動(dòng)到切線的位置切線的位置. .切線長定理切線長定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)思考：從這幾個(gè)定理的結(jié)論里大家能發(fā)現(xiàn)什么共同點(diǎn)？思考：從這幾個(gè)定理的結(jié)論里大家能發(fā)現(xiàn)什么共同點(diǎn)？1.結(jié)論都為乘積式結(jié)論都為乘積式;2.幾條線段都是從同一點(diǎn)出發(fā)幾條線段都是從同一點(diǎn)出發(fā);3.都是通過三角形相似來證明（都隱含著三角形相似）都是通過三角形相似來證明（都隱含著三角形相似）.PC切切 O于點(diǎn)于點(diǎn)C = PAPB=PC切割線定理切割線定理OBPCA割線割線PCD、PAB交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)C、D和和A、B = PAPB

10、=PCPD割線定理割線定理OBCADPAB交交CD于點(diǎn)于點(diǎn)P = PAPB=PCPD相交弦定理相交弦定理OBPCADPA 、PC分別切分別切 O于點(diǎn)于點(diǎn)A 、C = PA=PC,APO=CPO切線長定理切線長定理OA(B)PC(D)另外，從全等角度可以得到：另外，從全等角度可以得到：2.聯(lián)系直角三角形中的射影定理，你還能想到什么？聯(lián)系直角三角形中的射影定理，你還能想到什么？ADCBCO說明了說明了“射影定理射影定理”是是“相交弦定理相交弦定理”和和“切割線定理切割線定理”的的特例！特例！BADC例例1 如圖如圖,圓內(nèi)的兩條弦圓內(nèi)的兩條弦AB、CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,已知已知PA=P

11、B=4,PC=PD/4.求求CD的長的長.OBPCAD解：設(shè)解：設(shè)CD=x,則則PD=4/5x,PC=1/5x.由相交弦定理，得由相交弦定理，得PAPB=PCPD,44=1/5x4/5x,解得解得x=10.CD=10.練習(xí)練習(xí)1.如圖如圖,割線割線PAB,PCD分別交圓于分別交圓于A,B和和C,D.(1)已知已知PA=5,PB=8,PC=4,則則PD= ,PT=(2)已知已知PA=5,PB=8,PO=7,則半徑則半徑R=103練習(xí)練習(xí)2.如圖如圖,割線割線PAB,PCD分別交圓于分別交圓于A,B和和C,D,連結(jié)連結(jié)AC,BD,下面各比例式中成立的有下面各比例式中成立的有:ODPATBCPAPB

12、=(7-R) (7+R)PAC PDB BED AEC PAD PCB OCPADBEOPADCB練習(xí)練習(xí)3.如圖如圖,A是是 O上一點(diǎn)上一點(diǎn),過過A切線交直徑切線交直徑CB的延長線于的延長線于點(diǎn)點(diǎn)P,ADBC，D為垂足為垂足.求證：求證：PB :PD=PO:PC.分析：要證明分析：要證明PB ：PD=PO ：PC ,很很明顯明顯PB、PD、PO、PC在同一直線在同一直線上無法直接用相似證明，上無法直接用相似證明，且在圓里的且在圓里的比例線段通?；癁槌朔e式來證明比例線段通?；癁槌朔e式來證明,所所以可以通過證明以可以通過證明PB PC=PD PO,而而由由切割線定理有切割線定理有PA2=PB P

13、C,只需再只需再證證PA2=PD PO，而，而PA為切線為切線,所以所以連接連接OA,由射影定理由射影定理 得到得到.例例2 如圖如圖,E是圓內(nèi)兩弦是圓內(nèi)兩弦AB和和CD的交點(diǎn)，直線的交點(diǎn)，直線EF/CB,交交AD的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓于點(diǎn)切圓于點(diǎn)G.求證：求證：(1) DFEEFA; (2)EF=FG.OBECADFG證明證明： (1)EF/CB, DEF=DCB.DCB和和DAB都是都是 上的圓周角上的圓周角.DAB =DCB=DEF.DFE=EFA（公共角）（公共角）, DFEEFA.(2)由由(1)知知 DFEEFA，EF2 =FAFD.又又FG是圓的切線，是圓的切線，

14、FG2 =FAFD.EF2 =FG2 ,即即FG=EF.例例3如圖，兩圓相交于如圖，兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，P為兩圓公共弦為兩圓公共弦AB上任意一點(diǎn)，從上任意一點(diǎn)，從P引引兩圓的切線兩圓的切線PC、PD，求證：，求證：PC=PD.PC2=PAPB, PD2=PAPB.CPADB證明：由切割線定理可得：證明：由切割線定理可得：PC2=PD2. 即即PC=PD例例4如圖，如圖，AB是是 O的直徑，過的直徑，過A、B引兩條弦引兩條弦AD和和BE，相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C求證：求證：ACAD+BCBE=AB2AEDCBFO證明：連接證明：連接AC、AD，過，過C作作CFAB,與與AB交于交于FAB是是

15、O的直徑，的直徑，AEB=ADB=900.又又 AFC=900, A、F、C、E四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓. BCBE=BFBA. (1)同理可證同理可證F、B、D、C四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓. ACAD=AFAB. (2)(1)+(2)可得可得 ACAD+BCBE= AB(AF+BF)=AB2. 例例5如圖，如圖，AB、AC是是 O的切線，的切線，ADE是是 O的割線，連接的割線，連接CD、BD 、BE 、CE.問題問題1:由上述條件能推出哪些結(jié)論？由上述條件能推出哪些結(jié)論？ CD:CE=AC:AE, CDAE=ACCE. (2)同理可證同理可證BDAE=ACCE. (3)AC=AB,由由(2)(3)可得可得

16、BECD=BDCE. (4)探究探究1:由已知條件可知由已知條件可知ACD=AEC,而而CAD=EAC, ADCACE. (1)CAOBED圖圖1問題問題2 在圖在圖1中中,使線段使線段AC繞繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中其中EC交圓于交圓于G,DC交圓于交圓于F.此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？問題問題2 在圖在圖1中中,使線段使線段AC繞繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中其中EC交圓于交圓于G,DC交圓于交圓于F.此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？CAOBED圖圖1CAOBED圖圖2GF探究探究2:連接連接FG.與探究與探究1所得到的結(jié)論相比較所得到的結(jié)論相比

17、較,可以猜想可以猜想ACDAEC.下面給出證明下面給出證明.AB2=ADAE,而而AB=AC, ADCACE. (5)而而CAD=EAC, AC2=ADAE,同探究同探究1的思路，還可得到探究的思路，還可得到探究1得出的結(jié)論得出的結(jié)論(2)(3)(4).另一方面，由于另一方面，由于F、G、E、D四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓. CFG=AEC.又又ACF=AEC.CFG=ACF.故故FG/AC. (6)你還能推出其他結(jié)論嗎？你還能推出其他結(jié)論嗎？問題問題3 在圖在圖2中中,使線段使線段AC繼續(xù)繞繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn)，使割線旋轉(zhuǎn)，使割線CFD變成切線變成切線CD,得到圖得到圖3. 此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？此時(shí)又能推出哪

18、些結(jié)論？探究探究3:可以推出探究可以推出探究1 1、2 2中得到的中得到的(1)(1)(6)(6)的所有的所有結(jié)論結(jié)論.CAOBED圖圖2GFCAOBED圖圖3PQG此外，此外，AC/DG. ADCACE. 由由(7)(8)(7)(8)兩式可得：兩式可得：ACCD=AECG. (9)連接連接BD、BE,延長延長GC到到P,延長延長BD交交AC于于Q,則則PCQ=PGD DBE,所以所以C、E、B、Q四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓. 你還能推出其他結(jié)論嗎？你還能推出其他結(jié)論嗎？ 練習(xí)練習(xí)4. 如圖如圖,過過 O外一點(diǎn)外一點(diǎn)P作兩條割線作兩條割線, 分別交分別交 O于點(diǎn)于點(diǎn)A、B和和C、D. 再作再作 O的切線

19、的切線PE, E為切點(diǎn)為切點(diǎn), 連接連接CE、DE. 已知已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm. （1）求）求PC的長的長 ; （2）設(shè)）設(shè)CE=a,試用試用含含a的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示DE.解：（解：（1）由切割線定理，得）由切割線定理，得PC PD=PA PBAB=3, PA=2,PB=AB+PA=5.設(shè)設(shè)PC=m, CD=4 , PD=PC+CD=m+4.m（m+4）=25化簡，整理得：化簡，整理得：m2+4m10=0OPDEBAC324m解得：解得： (負(fù)數(shù)不合題意，舍去負(fù)數(shù)不合題意，舍去)由切割線定理得由切割線定理得:PE=PCPD=PAPB=10.由弦切角定理由弦切角定理,得得CEP=D.又又 CPE=EPD（公共角）（公共角）.CPEEPD.（2）設(shè)）設(shè)CE=a,試用含試用含a的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示DE.OPDEC4ma練習(xí)練習(xí)5.如圖：過點(diǎn)如圖：過點(diǎn)A作作 O的兩條割線的兩條割線,分別分別交交 O于于B、C和和D、E. 已知已知AD=4,DE=2, CE=5,AB=BC. 求求AB、BD.練習(xí)練習(xí)6.如圖：如圖：PA切切 O于于A，PBC是是 O的割線的割線.已知已知 O的半徑為的半徑為8，PB=4，PC=9.求求PA、PO.OAECDBOPCAB6,2810.PAPO=+=5 32 3,.3ABBD=