高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 幾何證明選講 第二節(jié) 圓與直線、圓與四邊形課件 文 北師大版選修41

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1、選修41幾何證明選講 第二節(jié)圓與直線、圓與四邊形第二節(jié)圓與直線、圓與四邊形 最新考綱1.會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理；2.會(huì)證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理。J基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 1圓周角定理及其推論 (1)定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的_。圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的_。 (2)推論： 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角_；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也_。 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是_；90的圓周角所對(duì)的弧是_。一半一半相等相等直角半圓 2圓的切線的判定和性質(zhì)及弦切角定理 (1)切線

2、的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的_并且_這條半徑的直線是圓的切線。 (2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的_。 推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線經(jīng)過(guò)_。 推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線經(jīng)過(guò)_。 (3)切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，這兩條切線長(zhǎng) _。 (4)弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對(duì)的_；弦切角的度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)的_。外端垂直于半徑切點(diǎn)圓心相等圓周角一半 3與圓有關(guān)的比例線段 (1)切割線定理及推論： 定理：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的一條切線和一條割線，切線長(zhǎng)是割線上從這點(diǎn)到兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的_。 如圖(1)，PT是 O的切線，T是切點(diǎn)，PAB是 O的割線，則PT2_。 推論：過(guò)

3、圓外一點(diǎn)作圓的兩條割線，在一條割線上從這點(diǎn)到兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的_，等于另一條割線上對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)的_。如圖(2)，PAB和PCD是 O的兩條割線，則PAPB_。比例中項(xiàng)PAPB圖(1) 圖(2) 積積PCPD (2) 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積_。如圖，圓的兩條弦AB，CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，則PAPB_。相等PCPD 4圓內(nèi)接四邊形 (1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及推論 定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角_。 推論：圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的_。 (2)四點(diǎn)共圓的判定定理及推論 定理：如果一個(gè)四邊形的_，那么這個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于其 _

4、，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 (3)托勒密定理 圓內(nèi)接四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于兩條對(duì)角線的_。互補(bǔ)內(nèi)對(duì)角內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)內(nèi)對(duì)角乘積 練一練 1如圖，CD是 O的直徑，AE切圓O于點(diǎn)B，連接DB，若CDB20，則DBE_。 解析連接CB。因?yàn)镃D為圓的直徑，則CBD90， 又因?yàn)镃DB20，所以DCB70。 又因?yàn)锳E為圓的切線，所以DBE70。70 2如圖，ABC中，C90，AB10，AC6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP長(zhǎng)為_。 解析連接CP。由推論2知CPA90，即CPAB，由射影定理知，AC2APAB。AP3.6。BPABAP6.4。1題圖 2題圖 6.4 3.從圓外一點(diǎn)P向圓O

5、所引的一條切線為PA(切點(diǎn)為A)，連接PO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)C，B，若PA，PB3，則圓O的周長(zhǎng)為_。 解析由切割線定理，得PA2PCPB。所以PC1。從而BC2，圓O的半徑R1，周長(zhǎng)為2R2。3題圖2 4如圖，AB、AC是 O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，D是優(yōu)弧上的點(diǎn)，已知BAC80，那么BDC_。 解析連接OB、OC，則OBAB，OCAC， BOC180BAC100。 BDCBOC50。50 4題圖 5如圖，ABC中，BC6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)若AC2AE，則EF_。3 5題圖 R熱點(diǎn)命題熱點(diǎn)命題 深度剖析深度剖析 【例1】如圖所示， O的直徑為6，AB為 O的直

6、徑，C為圓周上一點(diǎn)，BC3，過(guò)點(diǎn)C作圓的切線l，過(guò)點(diǎn)A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E。考點(diǎn)一圓周角、弦切角及圓的切線問(wèn)題(1)求DAC的度數(shù)；【解】由已知ADC是直角三角形，易知CAB30，由于直線l與O相切，由弦切角定理知BCF30，由DCAACBBCF180，又ACB90，知DCA60，故在RtADC中，DAC30。 (2)求線段AE的長(zhǎng)。 【解】解法一：連接BE，如圖(1)所示，EAB60CBA， 則RtABERtBAC，所以AEBC3。圖(1) 圖(2) 解法二：連接EC，OC，如圖(2)所示，則由弦切角定理知，DCECAE30，又DCA60，故ECA30，又因?yàn)镃AB

7、30，故ECACAB，從而ECAO， 由OCl，ADl，可得OCAE，故四邊形AOCE是平行四邊形， 又因?yàn)镺AOC，故四邊形AOCE是菱形，故AEAO3。 【規(guī)律方法】(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小。 (2)涉及圓的切線問(wèn)題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角。 變式訓(xùn)練1如圖，已知圓上的弧，過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)。求證： (1)ACEBCD； (2)BC2BECD。 【例2】(2015銀川一中月考)如圖，已知AP是 O的切線，P為切點(diǎn)，AC是

8、O的割線，與 O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)。 (1)證明：A、P、O、M四點(diǎn)共圓；考點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定【解】證明：連接OP，OM，因?yàn)锳P與O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)PAP。因?yàn)镸是O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)MBC，于是OPAOMA180。由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A、P、O、M四點(diǎn)共圓。 (2)求OAMAPM的大小。 【解】由(1)得A、P、O、M四點(diǎn)共圓， 所以O(shè)AMOPM。 由(1)得OPAP， 因?yàn)閳A心O在PAC的內(nèi)部， 所以O(shè)PMAPM90。 所以O(shè)AMAPM90。 【規(guī)律方法】證明四點(diǎn)共圓的常用方法 (1)利用圓內(nèi)接四邊

9、形的判定定理，證明四點(diǎn)組成的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)； (2)證明它的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角； (3)證明四點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等。 變式訓(xùn)練2如圖，AB是 O的直徑，G是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，GCD是 O的割線，過(guò)點(diǎn)G作AG的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作 O的切線，切點(diǎn)為H。 (1)求證：C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；解證明：連接DB，AB是O的直徑，ADB90，在RtABD與RtAFG中，ABDAFE，又ABDACD，ACDAFE，C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓。(2)若GH6，GE4，求EF的長(zhǎng)。 【例3】如圖，P是 O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與 O相交于點(diǎn)B，C，PC2PA

10、，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交 O于點(diǎn)E。證明： (1)BEEC；考點(diǎn)三與圓有關(guān)的比例線段 (2)ADDE2PB2。 【證明】 由切割線定理得PA2PBPC。 因?yàn)镻APDDC，所以DC2PB，BDPB。 由相交弦定理得ADDEBDDC， 所以ADDE2PB2。 【規(guī)律方法】與圓有關(guān)的比例線段問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)證明比例線段(或線段乘積)。利用相交弦定理或切割線定理證明。 (2)求線段的長(zhǎng)度?？梢李}已知條件、相交弦定理或切割線定理找到比例線段，進(jìn)而求線段長(zhǎng)度。 (3)證明三角形相似。可依題設(shè)及相交弦定理、切割線定理找到三角形相似的條件即可證明。 (1)證明：DFEFOFFP； (

11、2)當(dāng)AB2BP時(shí)，證明：OFBF。 證明設(shè)BPa，由AB2BP， 得AOBOBPa， 由相交弦定理得：DFEFAFBF， 所以AFBFOFFP。 所以O(shè)F(aBF)(aOF)BF， 所以O(shè)FBF。S思想方法思想方法 感悟提升感悟提升 2個(gè)結(jié)論直線與圓位置關(guān)系的兩個(gè)相關(guān)結(jié)論 (1)切點(diǎn)與圓心的連線與圓的切線垂直；過(guò)切點(diǎn)且與圓的切線垂直的直線過(guò)圓心； (2)相離兩圓的內(nèi)公切線夾在外公切線間的線段長(zhǎng)等于兩圓外公切線的長(zhǎng)。 2種思路解決與圓有關(guān)的成比例線段問(wèn)題的兩種思路 (1)直接應(yīng)用相交弦、切割線定理及其推論； (2)當(dāng)比例式(等積式)中的線段分別在兩個(gè)三角形中時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形比例式等積式”。在證明中有時(shí)還要借助中間比來(lái)代換。