新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范答題示例2 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題 理

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 規(guī)范答題示例2　導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題 典例2　(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx. (1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； (2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍． 審題路線圖　(1)→→ (2)→→→→→ 規(guī)范解答·分步得分 構(gòu)建答題模板 (1)證明　f′(x)＝m(emx－1)＋2x.1分 若m≥0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時，emx－1≤0，f′(x)＜0； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時，emx－1≥0，f′(x)＞0. 若m＜0，則當(dāng)x∈(－∞，0

2、)時，emx－1＞0，f′(x)＜0； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時，emx－1＜0，f′(x)＞0.4分 所以，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.6分 (2)解　由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增， 故f(x)在x＝0處取得最小值． 所以對于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是 8分 即① 設(shè)函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.9分 當(dāng)t＜0時，g′(t)＜0；當(dāng)t＞0時，g′(t)＞0. 故g(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增

3、． 又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當(dāng)t∈[－1,1]時，g(t)≤0. 當(dāng)m∈[－1,1]時，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；10分 當(dāng)m＞1時，由g(t)的單調(diào)性，得g(m)＞0，即em－m＞e－1； 當(dāng)m＜－1時，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.11分 綜上，m的取值范圍是[－1,1].12分 第一步 求導(dǎo)數(shù)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求f′(x)． 第二步 定區(qū)間：根據(jù)f′(x)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 第三步 尋條件：一般將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． 第四步 寫步驟：通過函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值，對于最值可能在兩點取到

4、的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立． 第五步 再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點的探求是否合理等. 評分細(xì)則　(1)求出導(dǎo)數(shù)給1分； (2)討論時漏掉m＝0扣1分；兩種情況只討論正確一種給2分； (3)確定f′(x)符號時只有結(jié)論無中間過程扣1分； (4)寫出f(x)在x＝0處取得最小值給1分； (5)無最后結(jié)論扣1分； (6)其他方法構(gòu)造函數(shù)同樣給分． 跟蹤演練2　已知函數(shù)f(x)＝. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (2)若對任意的x>1，恒有l(wèi)n(x－1)＋k＋1≤kx成立，求k的取值范圍； (3)證明：＋＋…＋< (n∈N*，n≥2)．

5、 (1)解　f′(x)＝－，由f′(x)＝0?x＝1，列表如下： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 因此函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1，＋∞)，極大值為f(1)＝1，無極小值． (2)解　因為x>1，ln(x－1)＋k＋1≤kx?≤k?f(x－1)≤k， 所以f(x－1)max≤k，所以k≥1. (3)證明　由(1)可得f(x)＝≤f(x)max＝f(1)＝1?≤1－， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號． 令x＝n2 (n∈N*，n≥2)． 則<1－?<<＝(n≥2)， 所以＋＋…＋<＋＋…＋ ＝＝.