新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第3章 第4節(jié)　函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 Word版含解析

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1、 第四節(jié)　函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 [考綱傳真]　1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖像，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題． 1．y＝Asin (ωx＋φ)的有關(guān)概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0) 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示 x －

2、 ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由y＝sin x的圖像變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖像 　先平移后伸縮　　　　　　　　先伸縮后平移 　　　　?　　　　　　　　　　　　? 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)利用圖像變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長(zhǎng)度一致．(　　) (2)將y＝3sin 2x的圖像左移個(gè)單位后所得圖像的解析式是y＝3sin.(　　) (3)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖像的兩個(gè)相鄰

3、對(duì)稱軸間的距離為一個(gè)周期．(　　) (4)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖像的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(20xx·四川高考)為了得到函數(shù)y＝sin的圖像，只需把函數(shù)y＝sin x的圖像上所有的點(diǎn)(　　) A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向上平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向下平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 A　[把函數(shù)y＝sin x的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)y＝sin的圖像．] 3．若函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖像如圖3-4-1，則ω＝(

4、　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962155】 圖3-4-1 A．5　　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2 B　[由圖像可知，＝x0＋－x0＝，所以T＝＝，所以ω＝4.] 4．將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則φ的一個(gè)可能取值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962156】 A.　　　　B.　　　　C．0　　　　D．－ B　[把函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的解析式為：y＝sin 2＝sin.又因它為偶函數(shù)，則φ的一個(gè)可能取值是.] 5．(教材改編)電流I(單位：A)隨時(shí)間t(單位：s)變化的函數(shù)關(guān)系式是

5、I＝5sin，t∈[0，＋∞)，則電流I變化的初相、周期分別是________． ，　[由初相和周期的定義，得電流I變化的初相是，周期T＝＝.] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及變換 　已知函數(shù)f(x)＝3sin，x∈R. (1)畫出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖； (2)將函數(shù)y＝sin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像？ [解]　(1)列表取值： x π π π π x－ 0 π π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖. 5分 (2)先把y＝sin x的

6、圖像向右平移個(gè)單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到f(x)的圖像. 12分 [規(guī)律方法]　1.變換法作圖像的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用ωx＋φ＝ω確定平移單位． 2．用“五點(diǎn)法”作圖，關(guān)鍵是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，描點(diǎn)得出圖像．如果在限定的區(qū)間內(nèi)作圖像，還應(yīng)注意端點(diǎn)的確定． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)將函數(shù)y＝2sin的圖像向右平移個(gè)周期后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962157】 A．y＝2sin　　　 B

7、．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin (2)(20xx·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)y＝sin x－cos x的圖像可由函數(shù)y＝sin x＋cos x的圖像至少向右平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到． (1)D　(2)　[(1)函數(shù)y＝2sin的周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖像向右平移個(gè)周期即個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D. (2)因?yàn)閥＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的圖像至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得y＝2sin的圖像．] 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 　(1)(20xx·全

8、國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像 圖3-4-2 如圖3-4-2所示，則(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin (2)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖像的一條對(duì)稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為(　　) A．y＝4sin B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 (1)A　(2)D　[(1)由圖像知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又圖像的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－

9、(k∈Z)，結(jié)合選項(xiàng)可知y＝2sin.故選A. (2)由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值為4，最小值為0，可知b＝2，A＝2.由函數(shù)的最小正周期為，可知＝，得ω＝4.由直線x＝是其圖像的一條對(duì)稱軸，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，從而φ＝kπ－，k∈Z，故滿足題意的是y＝2sin＋2.] [規(guī)律方法]　確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法 (1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝； (2)求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝； (3)求φ：常用的方法有： ①代入法：把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω，b已知)或代入圖像與直線y＝b的

10、交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)． ②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口．“第一點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝；“第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝；“第五點(diǎn)”時(shí)ωx＋φ＝2π. [變式訓(xùn)練2]　(20xx·南昌二模)如圖3-4-3是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的部分圖像，則f(π)＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962158】 圖3-4-3 A. B．－ C. D．－ A　[由圖像可知T＝

11、2＝4π，則ω＝＝，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得sin＝1，即sin＝1，結(jié)合0＜φ＜π，得φ＝，所以函數(shù)f(x)＝sin，所以函數(shù)f(π)＝sin＝cos＝，故選A.] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用 　(20xx·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝4tan xsin·cos－. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． [解]　(1)f(x)的定義域?yàn)? 2分 f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－ ＝4sin x－＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x

12、－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 6分 (2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 8分 設(shè)A＝，B＝，易知A∩B＝. 所以當(dāng)x∈時(shí)，f(x)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減. 12分 [規(guī)律方法]　討論函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)． [變式訓(xùn)練3]　設(shè)函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為. (1)求ω的值；

13、 (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962159】 [解]　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－·－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin. 3分 因?yàn)閥＝f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為，所以周期為π.又ω＞0，所以＝4×，因此ω＝1. 5分 (2)由(1)知f(x)＝－sin. 6分 當(dāng)π≤x≤時(shí)，≤2x－≤， 所以－≤sin≤1，則－1≤f(x)≤. 10分 故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，－1. 12分 三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 　某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(

14、單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)． (1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差； (2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11 ℃，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962160】 [解]　(1)因?yàn)閒(t)＝10－2 ＝10－2sin， 2分 又0≤t＜24， 所以≤t＋＜，－1≤sin≤1. 4分 當(dāng)t＝2時(shí)，sin＝1； 當(dāng)t＝14時(shí)，sin＝－1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8. 故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12 ℃，最低溫度為8 ℃，最大溫差為4 ℃. 6分 (2)依題意，當(dāng)f(t)＞11時(shí)實(shí)

15、驗(yàn)室需要降溫． 由(1)得f(t)＝10－2sin， 故有10－2sin＞11， 即sin＜－. 9分 又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18. 故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫. 12分 [規(guī)律方法]　1.三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是用已知的模型去分析解決實(shí)際問題，二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型解決問題，其關(guān)鍵是合理建模． 2．建模的方法是認(rèn)真審題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)建模的過程． [變式訓(xùn)練4]　(20xx·陜西高考)如圖3-4-4，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3

16、sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為(　　) 圖3-4-4 A．5　　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10 C　[根據(jù)圖像得函數(shù)的最小值為2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值為3＋k＝8.] [思想與方法] 1．由圖像確定函數(shù)解析式 由圖像確定y＝Asin(ωx＋φ)時(shí)，φ的確定是關(guān)鍵，盡量選擇圖像的最值點(diǎn)代入；若選零點(diǎn)代入，應(yīng)根據(jù)圖像升降找“五點(diǎn)法”作圖中第一個(gè)零點(diǎn)． 2．對(duì)稱問題 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與x軸的每一個(gè)交點(diǎn)均為其對(duì)稱中心，經(jīng)過該圖像上坐標(biāo)為(x，±A)的點(diǎn)與x軸垂直的每一條直線均為其圖像的對(duì)稱軸，這樣的最近兩點(diǎn)間

17、橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值是半個(gè)周期(或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離)． [易錯(cuò)與防范] 1．要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖像，得到哪個(gè)函數(shù)的圖像． 2．要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)． 3．由y＝sin x的圖像變換到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖像，先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(ω＞0)個(gè)單位．原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的． 4．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范圍，再結(jié)合圖像得出y＝Asin t的值域．