（新課標）2018屆高考數學二輪復習 專題八 選修系列 專題能力訓練22 坐標系與參數方程 理

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1、 專題能力訓練22　坐標系與參數方程 能力突破訓練 1.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數方程為(t為參數).在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin=m(m∈R). (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程; (2)設圓心C到直線l的距離等于2,求m的值. 2.(2017江蘇,21C)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數方程為(t為參數),曲線C的參數方程為(s為參數).設P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值.

2、 3.在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程; (2)直線l的參數方程是(t為參數),l與C交于A,B兩點,|AB|=,求l的斜率. 4.已知曲線C:=1,直線l:(t為參數). (1)寫出曲線C的參數方程,直線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值. 5.在極坐標系中,曲線C:ρ=2acos θ(a>0),l:ρcos,C與l有且只有一個公共

3、點. (1)求a; (2)O為極點,A,B為C上的兩點,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值. 6.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(t為參數,a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程; (2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. 7.在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ-cos θ=0,點M.以極點O為原點,

4、以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.斜率為-1的直線l過點M,且與曲線C交于A,B兩點. (1)求出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數方程; (2)求點M到A,B兩點的距離之積. 思維提升訓練 8.在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為(t為參數),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,☉C的極坐標方程為ρ=2sin θ. (1)寫出☉C的直角坐標方程; (2)P為直線l上一動點,當點P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標. 9.已知直線l的參數方程為(t為參數),以

5、坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρ=. (1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程; (2)若點P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值,并求出點P的坐標. 10.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(α為參數),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsin=4. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程; (2)設P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離的最小值,并求此時點P的坐標.

6、 參考答案 專題能力訓練22　坐標系與參數方程(選修4—4) 能力突破訓練 1.解(1)消去參數t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9.由sin=m, 得ρsinθ-ρcosθ-m=0. 所以直線l的直角坐標方程為x-y+m=0. (2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2, 即=2,解得m=-3±2 2.解直線l的普通方程為x-2y+8=0. 因為點P在曲線C上,設P(2s2,2s), 從而點P到直線l的距離d= 當s=時,dmin= 因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值 3.解(1)由x=ρcosθ,

7、y=ρsinθ可得圓C的極坐標方程ρ2+12ρcosθ+11=0. (2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ=α(ρ∈R). 設A,B所對應的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcosα+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|= = 由|AB|=得cos2α=,tanα=± 所以l的斜率為或- 4.解(1)曲線C的參數方程為(θ為參數). 直線l的普通方程為2x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為d=|4cosθ+3sinθ-6|,

8、則|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tanα= 當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為 當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為 5.解(1)曲線C是以(a,0)為圓心,以a為半徑的圓, l的直角坐標方程為x+y-3=0. 由直線l與圓C相切可得=a,解得a=1. (2)不妨設A的極角為θ,B的極角為θ+, 則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos =3cosθ-sinθ=2cos, 當θ=-時,|OA|+|OB|取得最大值2 6.解(1)消去參數t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a

9、為半徑的圓. 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsinθ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0, 由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0, 從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1. a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上, 所以a=1. 7.解(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ, 由ρsin2θ-cosθ=0,得ρ2sin2θ=ρcosθ. 所以y2=x即為曲線C的直角坐標方程. 點M

10、的直角坐標為(0,1), 直線l的傾斜角為,故直線l的參數方程為 (t為參數), 即(t為參數). (2)把直線l的參數方程(t為參數)代入曲線C的方程得 =-t,即t2+3t+2=0, Δ=(3)2-4×2=10>0. 設A,B對應的參數分別為t1,t2, 則 又直線l經過點M,故由t的幾何意義得 點M到A,B兩點的距離之積 |MA|·|MB|=|t1||t2|=|t1·t2|=2. 思維提升訓練 8.解(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2sinθ, 從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3. (2)設P,又C(0,), 則|PC|=, 故當t=0時,

11、|PC|取得最小值, 此時,點P的直角坐標為(3,0). 9.解(1)由得x-y=1, 故直線的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ=1, 即=1, 即cos=1. ∵ρ=,∴ρ=, ∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ, 即曲線C的直角坐標方程為y=x2. (2)設P(x0,y0),y0=,則P到直線l的距離d= ∴當x0=時,dmin=,此時P ∴當點P的坐標為時,P到直線l的距離最小,最小值為 10.解(1)由曲線C1:(α為參數),得 (α為參數), 兩式兩邊平方相加,得+y2=1, 即曲線C1的普通方程為+y2=1. 由曲線C2:ρsin=4,得 (sinθ+cosθ)=4, 即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y-8=0, 即曲線C2的直角坐標方程為x+y-8=0. (2)由(1)知,橢圓C1與直線C2無公共點,橢圓上的點P(cosα,sinα)到直線x+y-8=0的距離d=, 所以當sin=1時,d的最小值為3,此時點P的坐標為 - 9 -