2018年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓練 第84講 二項式定理的應用

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1、 第84講 二項式定理的應用 【知識要點】 1、二項式定理： ①項數(shù)：展開式中總共有項，而不是項；②順序：注意正確選擇,,其順序不能更改.與是不同的；③指數(shù)：的指數(shù)從逐項減到，是降冪排列.的指數(shù)從逐項減到，是升冪排列.各項的次數(shù)和等于. 2、二項式通項公式： （） （1）它表示的是二項式的展開式的第項，而不是第項； （2）其中叫二項式展開式第項的二項式系數(shù)，而二項式展開式第項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)； （3）注意. 3、二項式展開式的二項式系數(shù)的性質 （1）對稱性：在二項展開式中，與首末兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等.即=. （2）增減性和最大值：在二項式的展開式中

2、，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值，如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大. （3）所有二項式系數(shù)的和等于，即 奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，即 4、二項展開式的系數(shù)的性質： 對于， 5、證明組合恒等式常用賦值法. 6、二項式系數(shù)展開式的系數(shù)最大項和二項式系數(shù)最大項. （1）二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值. 如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值. （2）系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用

3、待定系數(shù)法.設展開式中各項系數(shù)分別為，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來. 【方法講評】 應用一 利用通項公式求的系數(shù) 解題方法 直接代二項式展開式的通項，再化簡. 【例1】在二項式的展開式中倒數(shù)第項的系數(shù)為，求含有的項的系數(shù)？ 【點評】（1）要理解二項式的展開式的系數(shù)的定義，它指的是除去，剩下的所有部分，而二項式的系數(shù)則指的是通項里的組合數(shù).(2)二項式的展開式的通項化簡時，要注意指數(shù)運算的性質的準確運用. 【反饋檢測1】已知的二項展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)之和為512． （1）求展開式的所有有理項（指數(shù)為整數(shù)）； （2）求展開式中項的系數(shù)． 應

4、用二 求二項式展開式的有理數(shù)項 解題方法 先求二項式的展開式的通項，再化簡，再令的指數(shù)為整數(shù)解答. 【例2】求二項式展開式中的有理項. 【點評】有理項指的是的指數(shù)為整數(shù)，可以是正整數(shù)，也可以是負整數(shù)和零. 【反饋檢測2】已知的展開式中的二項式系數(shù)之和為. （Ⅰ）證明：展開式中沒有常數(shù)項；（Ⅱ）求展開式中所有有理項. 應用三 求二項式展開式的系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項 解題方法 （1）二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值.如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值. （2）系數(shù)

5、的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法.設展開式中各項系數(shù)分別為，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來. 【例3】已知二項式． （1）若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)； （2）若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項． （2）， 解得，設項系數(shù)最大，由于 ，，第11項最大． 【點評】（1）二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值.如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值.（2）系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法

6、.設展開式中各項系數(shù)分別為 ，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來. 【反饋檢測3】已知在的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是14：1． （1）求展開式中的系數(shù)； （2）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項；． （3）求的值. 應用四 求展開式的系數(shù). 解題方法 一般把三項式變成二項式，再代二項式展開式的通項公式解答. 【例4】 求當?shù)恼归_式中的一次項的系數(shù). 【點評】（1）對于三項式的展開式教材上沒有講過，教材上只講了二項式的展開式. 所以我們可以想辦法把三項式轉化成二項式，再利用二項式的展開式的性質解答. (2)對于三項式的展開式的研究，一般轉化成二項式

7、的展開式研究，實際上就是數(shù)學的一個轉化的思想的運用,把陌生的轉化為熟悉的問題解答. 【反饋檢測4】展開式中常數(shù)項為（ ） A．252 B．－252 C．160 D．－160 應用五 兩個二項式相乘的系數(shù)問題 解題方法 一般先分別求兩個二項式的展開式的通項，再對它們進行組合研究. 【例5】 在的展開式中，求的系數(shù). 【解析】， 要得到， 當?shù)谝粋€因式取1時，展開式取5次項，項系數(shù)為 當?shù)谝粋€因式取時，展開式取4次項，項系數(shù)為 當?shù)谝粋€因式取時，展開式取3次項，項系數(shù)為 當?shù)谝粋€因式取-

8、時，展開式取2次項，項系數(shù)為 ∴項系數(shù)為+=-63 【點評】兩個二項式相乘的系數(shù)問題，一般先分別求兩個二項式的展開式的通項，再對它們進行組合 研究. 【反饋檢測5】 應用六 二項式展開式的系數(shù)和與差的問題 解題方法 一般利用賦值法解答. 【例6】已知，求： （1）； （2）． 【點評】二項式展開式的系數(shù)和與差的問題，一般利用賦值法解答，主要是給二項式的展開式的變量 賦一些特殊值，如：1，-1，0等. 【反饋檢測6】（1）設展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大．則= ． （2）1＋2＝ ． 應用七 整除性問題

9、 解題方法 一般把指數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)有關的數(shù)的和，再利用二項式定理展開研究. 【例7】證明：能被64整除 【點評】整除性的問題，一般把指數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)有關的數(shù)的和，再利用二項式定理展開研究，拆數(shù)是關鍵，本題中指數(shù)的底數(shù)是“3”，先變成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二項式定理研究就方便了. 【反饋檢測7】求證：能被7整除. 應用八 證明不等式等 解題方法 一般對二項式定理進行順用或逆用. 【例8】 求證：2<（1+）n<3（）. 【證明】（1+）n=C+C× +C（）2+…+C（）n=1+1+C×+C×+…+C×=2+×+×+…+×<2++

10、 ++…+<2++++…+=2+=3－（）<3.顯然（1+）n=1+1+C×+C×+…+C×>2.所以2<（1+）n<3. 【點評】看到一般要聯(lián)想到是否能利用二項式定理解答，這是一個觀察聯(lián)想的能力. 【反饋檢測8】 應用九 利用二項式定理求近似值 解題方法 一般先把底數(shù)拆成“1”與某個小數(shù)的和與差，再利用二項式定理研究解答. 【例9】求的近似值，使誤差小于； 【點評】由，當?shù)慕^對值與1相比很小且很大時， 等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內可以忽略不計，因此可以用近似計算公式： ，在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍

11、，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：. 【反饋檢測9】某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%.如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？ 高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第84講： 二項式定理的應用參考答案 【反饋檢測1答案】（1），；（2）． 【反饋檢測2答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）所有有理項為：. 【反饋檢測2詳細解析】（Ⅰ）依題意得：， 令得 展開式中沒有常數(shù)項. （Ⅱ）當時，為有理項.展開式中所有有理項為：. 【反饋檢測3答案】（1）；（2

12、）；（3）． 【反饋檢測3詳細解析】（1）由，解得． 因為通項：，令 ， 于是系數(shù)為． （2）設第項系數(shù)絕對值最大，則 解得，于是只能為6 所以系數(shù)絕對值最大的項為． （3）原式==． 【反饋檢測4答案】 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細解析】 . 【反饋檢測6答案】(1)；（2）. 【反饋檢測6詳細解析】（1）由二項式系數(shù)的對稱性， （2）即為展開式中各項的系數(shù) 在中令，∴ （2）在＝中， 令，得1＋2 【反饋檢測7答案】見解析. 【反饋檢測8答案】 【反饋檢測8詳細解析】與已知的有一些差距， 【反饋檢測9答案】耕地平均每年至多只能減少4畝． 【反饋檢測9詳細解析】設耕地平均每年減少x畝，現(xiàn)有人口為p人，糧食單產(chǎn)為m噸/畝，依題意 化簡： （畝） 答：耕地平均每年至多只能減少4畝． 11