2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題05 不等式與線性規(guī)劃教學(xué)案 理

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1、 專題05 不等式與線性規(guī)劃 與區(qū)域有關(guān)的面積、距離、參數(shù)范圍問題及線性規(guī)劃問題；利用基本不等式求函數(shù)最值、運(yùn)用不等式性質(zhì)求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點． 2018高考備考時，應(yīng)切實理解與線性規(guī)劃有關(guān)的概念，要熟練掌握基本不等式求最值的方法，特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧方法．要特別加強(qiáng)綜合能力的培養(yǎng)，提升運(yùn)用不等式性質(zhì)分析、解決問題的能力． 1.熟記比較實數(shù)大小的依據(jù)與基本方法． ①作差(商)法；②利用函數(shù)的單調(diào)性． 2．特別注意熟記活用以下不等式的基本性質(zhì) (1)乘法法則：a>b，c>0?ac>bc； a>b，c<0?acb，c

2、>d?a＋c>b＋d； (3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd； (4)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)； 3．熟練應(yīng)用基本不等式證明不等式與求函數(shù)的最值． 4．牢記常見類型不等式的解法． (1)一元二次不等式，利用三個二次之間的關(guān)系求解． (2)簡單分式、高次不等式，關(guān)鍵是熟練進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化． (3)簡單指、對不等式利用指、對函數(shù)的單調(diào)性求解． 5．簡單線性規(guī)劃 (1)應(yīng)用特殊點檢驗法判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域． (2)簡單的線性規(guī)劃問題 解線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵在于根據(jù)條件寫出線性約束關(guān)系式及目標(biāo)函數(shù)，必要時可先做出表格，然后結(jié)合線性約

3、束關(guān)系式作出可行域，在可行域中求出最優(yōu)解． 考點一　不等式性質(zhì)及解不等式 例1、(1)不等式組的解集為(　　) A．{x|－2＜x＜－1}　　　　　　　B．{x|－1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1} 解析：基本法：由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式組的解集為{x|0＜x＜1}，故選C. 答案：C (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A.　　　　　　B.∪(1，＋∞) C. D.∪ 速解法：令x＝0，f(x)＝f(0)＝

4、－1＜0. f(2x－1)＝f(－1)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0. 不適合f(x)＞f(2x－1)，排除C. 令x＝2，f(x)＝f(2)＝ln 3－， f(2x－1)＝f(3)，由于f(x)＝ln(1＋|x|)－在(0，＋∞)上為增函數(shù) ∴f(2)＜f(3)，不適合．排除B、D，故選A. 答案：A 考點二　基本不等式及應(yīng)用 例2、【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】因為，且，所以 ，所以選B. 【變式探究】

5、(1)若直線＋＝1(a＞0，b＞0)過點(1,1)，則a＋b的最小值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C (2)定義運(yùn)算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)．當(dāng)x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________． 解析：基本法：x?y＋(2y)?x＝＋＝＝＝＋， ∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝y(tǒng)時等號成立，故所求最小值為. 答案： 考點三　求線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值 例3、【2017課標(biāo)II，理5】設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ） A． B．

6、 C． D． 【答案】A 【解析】x、y滿足約束條件的可行域如圖： 【變式探究】(1)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 解析：基本法：作出可行域，如圖： 由z＝x＋y得y＝－x＋z，當(dāng)直線y＝－x＋z過點 A時，z取得最大值，zmax＝1＋＝. 速解法：由得點(－2，－1)，則z＝－3 由得點(0,1)，則z＝1 由得點則z＝. 答案： (2)設(shè)x，y滿足約束條件且z＝x＋ay的最小值為7，則a＝(　　) A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3 解析：基本法：二元一次

7、不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A.平移直線x＋ay＝0，可知在點A處，z取得最小值， 答案：B 考點四　線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 例4、(1)設(shè)x，y滿足約束條件則的取值范圍是(　　) A．[1,5] B．[2,6] C．[3,11] D．[3,10] 答案：C (2)(2016·高考山東卷)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 解析：基本法：先作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求目標(biāo)函數(shù)的最大值

8、． 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，由得A(3，－1)，由圖易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故選C. 答案：C 1.【2017北京，理4】若x，y滿足 則x + 2y的最大值為 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D 【解析】如圖，畫出可行域， 2.【2017浙江，4】若，滿足約束條件，則的取值范

9、圍是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4， 【答案】D 【解析】如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點時取最小值4，無最大值，選D． 3.【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 4.【2017課標(biāo)II，理5】設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】x、

10、y滿足約束條件的可行域如圖： z=2x+y經(jīng)過可行域的A時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值， 由 解得A(?6,?3)， 則z=2x+y的最小值是：?15. 故選：A. 5.【2017山東，理4】已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是 （A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6 【答案】C 【解析】由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)其經(jīng)過直線與的交點時，最大為，選C. 6.【2017天津，理2】設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 （A） （B）1（C） （D）3 【答案】D 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則( )

11、（A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】用特殊值法，令，，得，選項A錯誤，，選項B錯誤，，選項C正確，，選項D錯誤，故選C． 2.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ） （A） （B）6 （C）10 （D）17 【答案】B 【解析】可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點B時取最小值6，選B. 3.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ） （A）4 （B）9 （C）10 （D）12 【答案】C 4.【2016高考浙江理

12、數(shù)】在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區(qū)域 中的點在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（ ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】C 【解析】如圖為線性區(qū)域，區(qū)域內(nèi)的點在直線上的投影構(gòu)成了線段，即，而，由得，由得，．故選C． 5.【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ） A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C

13、 6.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p：實數(shù)x，y滿足，q：實數(shù)x，y滿足 則p是q的( ) （A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】畫出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤內(nèi)，故選A. 7.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為 _____________. 【答案】 8.【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5

14、個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元． 【答案】 【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤之和為元,那么 ① 目標(biāo)函數(shù). 二元一次不等式組①等價于 ② 作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域. 9.【2016高考江蘇卷】 已知實數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 ▲ . 【答案】 1.【2015高考北京，

15、理2】若，滿足則的最大值為（ ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】如圖，先畫出可行域，由于，則，令，作直線 ，在可行域中作平行線，得最優(yōu)解，此時直線的截距最大，取得最小值2. 2．【2015高考廣東，理6】若變量，滿足約束條件則的最小值為（ ） A． B. 6 C. D. 4 【答案】C 【解析】不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直線y=﹣x+， 則由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+，經(jīng)過點A時直線y=﹣x+的截

16、距最小， 此時z最小， 由，解得，即A（1，）， 此時z=3×1+2×=， 故選：B． 3.【2015高考天津，理2】設(shè)變量 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為( ) （A）3 （B）4 （C）18 （D）40 【答案】C 4.【2015高考陜西，理10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（ ） A．12萬元 B．16萬元

17、 C．17萬元 D．18萬元 甲 乙 原料限額 （噸） （噸） 【答案】D 當(dāng)直線過點時，取得最大值，所以，故選D． 5.【2015高考福建，理5】若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于 ( ) A． B． C． D．2 【答案】A 6.【2015高考山東，理6】已知滿足約束條件，若的最大值為4，則 （ ） （A）3 （B）2

18、 （C）-2 （D）-3 【答案】B 【解析】不等式組 在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分所示， 若的最大值為4，則最優(yōu)解可能為 或 ，經(jīng)檢驗，是最優(yōu)解，此時 ；不是最優(yōu)解.故選B. 7.【2015高考新課標(biāo)1，理15】若滿足約束條件，則的最大值為 . 【答案】3 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A（1,3）與原點連線的斜率最大，故的最大值為3. 8.【2015高考浙江，理14】若實數(shù)滿足，則的最小值是 ． 【答案】. 9

19、．【2015高考新課標(biāo)2，理14】若x，y滿足約束條件，則的最大值為____________． 【答案】 【考點定位】線性規(guī)劃． 10.【2015高考湖南，理4】若變量，滿足約束條件，則的最小值為（ ） A.-7 B.-1 C.1 D.2 【答案】A. 【解析】如下圖所示，畫出線性約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線：，平移，從而可知當(dāng)，時，的最小值是，故選A. 11.【2015高考四川，理9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ） （A）16 （B）18 （C）2

20、5 （D） 【答案】B 12.【2015高考陜西，理9】設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，故選C． 1. 【2014高考安徽卷理第5題】滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為（ ） A, B. C.2或1 D. 【答案】D 【考點定位】線性規(guī)劃 2. 【2014高考北京版理第6題】若、滿足，且的最小值為，則的值為（ ） A．2

21、 B． C． D． 【答案】D 【解析】若，沒有最小值，不合題意； 【考點定位】不等式組表示的平面區(qū)域，求目標(biāo)函數(shù)的最小值 3. 【2014高考福建卷第11題】若變量滿足約束條件則的最小值為________. 【答案】1 【解析】依題意如圖可得目標(biāo)函數(shù)過點A時截距最大.即. 【考點定位】線性規(guī)劃. 4. 【2014高考福建卷第13題】要制作一個容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）.

22、 【答案】88 【解析】假設(shè)底面長方形的長寬分別為, . 則該容器的最低總造價是.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r區(qū)到最小值. 【考點定位】函數(shù)的最值. 5. 【2014高考廣東卷理第3題】若變量、滿足約束條件，且的最大值和最小值分別為和，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】作出不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分所表示， 【考點定位】線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值 6. 【2014高考湖南卷第14題】若變量滿足約束條件，且的最小值為，則. 【答案】 【考點定位】線性規(guī)劃

23、7. 【2014遼寧高考理第16題】對于，當(dāng)非零實數(shù)a，b滿足，且使最大時，的最小值為 . 【答案】 【解析】法一：判別式法：令，則，代入到中，得 ，即……① 因為關(guān)于的二次方程①有實根，所以，可得， 取最大值時，或， 當(dāng)時，， 當(dāng)時，， 綜上可知當(dāng)時， 【考點定位】柯西不等式. 8. 【2014全國1高考理第9題】不等式組的解集為D,有下面四個命題： ， ， ， 其中的真命題是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點定位】線性規(guī)劃、存在量詞和全稱量詞． 10. 【2014山東高

24、考理第5題】已知實數(shù)滿足，則下面關(guān)系是恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，所以，，選. 【考點定位】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì). 11. 【2014山東高考理第9題】 已知滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（ ） A.5 B.4 C. D.2 【答案】 【解析】畫出可行域（如圖所示），由于，所以，經(jīng)過直線與直 【考點定位】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì). 12. 【2014四川高考理第4題】若，，則一定有（ ） A．

25、B． C． D． 4．若，，則一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，又.選D 【考點定位】不等式的基本性質(zhì). 13. 【2014四川高考理第5題】執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【考點定位】程序框圖與線性規(guī)劃. 14. 【2014浙江高考理第13題】當(dāng)實數(shù)，滿足時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________. 【答案】 【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域

26、，由得，由圖可知，，且在點取得最小值在取得最大值，故，，故取值范圍為． 【考點定位】線性規(guī)劃. 15. 【2014天津高考理第2題】設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 （　　） （A）2　　 （B）3　 （C）4　　　 （D）5 【答案】B． 【考點定位】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題． 16. 【2014大綱高考理第14題】設(shè)滿足約束條件，則的最大值為 . 【答案】5. 【考點定位】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線線目標(biāo)函數(shù)的最值的計算． 17. 【2014高考上海理科】若實

27、數(shù)x,y滿足xy=1,則+的最小值為______________. 【答案】 【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. 【考點定位】基本不等式. 18.【2014高考安徽卷第21題】設(shè)實數(shù)，整數(shù)， . （1）證明：當(dāng)且時，； （2）數(shù)列滿足，，證明：. 【答案】（1）證明：當(dāng)且時，；（2）. 【解析】 （1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明 ①當(dāng)時，，原不等式成立. ②假設(shè)時，不等式成立. 當(dāng)時， 所以時，原不等式也成立. 綜合①②可得，當(dāng)且時，對一切整數(shù)，不等式均成立. 再由可得，即. 綜上所述，. 證法2：設(shè)，則，并且 . 由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時，. ①

28、當(dāng)時，由，即可知 ，并且，從而. 故當(dāng)時，不等式成立. ②假設(shè)時，不等式成立，則當(dāng)時， ，即有. 所以當(dāng)時，原不等式也成立. 綜合①②可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立. 【考點定位】數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、構(gòu)造函數(shù)法證明不等式. 1．若點A(a，b)在第一象限且在直線x＋2y＝4上移動，則log2a＋log2b(　　) A．有最大值2 B．有最小值1 C．有最大值1 D．沒有最大值和最小值 解析：基本法：由題意，知a＋2b＝4(a＞0，b＞0)，則有4＝a＋2b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝2，b＝1時等號成立，所以0＜ab≤2，所以log2a＋log2b

29、＝log2ab≤log22＝1，故選C. 答案：C 2．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案：D 3．設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組，則x2＋y2的取值范圍是(　　) A．[1,2] B．[1,4] C．[，2] D．[2,4] 解析：基本法：如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域是△ABC內(nèi)部(含邊界)，x2＋y2表示的是此區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到原點距離的平方．從圖中可知最短距離為原點到直線BC的距離，其值為1；最遠(yuǎn)的距離為AO，其值為2，故x2＋y2的取值范圍是[1,4]，故選B.

30、 答案：B 4．設(shè)x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝的取值范圍為(　　) A．[－3,3] B．[－3，－2] C．[－2,2] D．[2,3] 解析：基本法：(特殊點數(shù)形結(jié)合法)根據(jù)的幾何意義，觀察圖形中點的位置作可行域如圖陰影部分所示 ＝表示點(x，y)與點(－2,0)連線的斜率． 答案：C 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________． 解析：結(jié)合題意分段求解，再取并集． 當(dāng)x<1時，x－1<0，ex－1

31、∞，8]． 答案：(－∞，8] 6．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為________． 速解法：數(shù)形結(jié)合作出y1＝x2－4x與y2＝x的圖象使y1的圖象在y2圖象的上部所對應(yīng)的x的范圍． 設(shè)y1＝f(x)＝x2－4x，y2＝x(x>0)． 令y1＝y(tǒng)2，∴x2－4x＝x，∴x＝0或x＝5. 作y1＝f(x)及y2＝x的圖象， 則A(5,5)，由于y1＝f(x)及y2＝x都是奇函數(shù)，作它們關(guān)于(0,0)的對稱圖象，則B(－5，－5)，由圖象可看出當(dāng)f(x)>x時，x∈(5，＋∞)及(－5,0)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 7．若x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最大值為________． 解析：基本法：畫出可行域，并分析z的幾何意義，平移直線y＝－3x求解． 畫出可行域如圖所示． ∵z＝3x＋y， ∴y＝－3x＋z. ∴直線y＝－3x＋z在y軸上截距最大時，即直線過點B時，z取得最大值． 答案：4 37