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1、壓軸題提分練(三)
2 2
1. (2018合肥模擬)已知橢圓E: X4 +隹=1,點A、B、C都在橢圓E上，O為坐
標原點，D為AB中點，且CO= 2OD.
⑴若點C的坐標為1, + o 二 0,
，求直線AB的方程;
(2)求證：△ ABC面積為定值.
解析：(1)設(shè) A(X1, y1)，B(x2，y2)，D(xo,
yo)，
??CO = 2OD，
??D
1 3
2，_ 4，
將A，B代入橢圓方程中，可得
[4
2 2
X1 y1 4 +空=
2 2
X2 y2
—+吉二1
，化簡可得
y1 — y2
? °kAB= =—
2、X1 — X2
3 X1 + X2
4 y1 + y2
3
—3X
1
kOD
1
2,
X1 + X2 X1 - X2 y1 + y2 y1 — y
?直線Iab的方程為x+ 2y+ 2= 0.
(2)證明：設(shè) C(m, n),/D —多,—殳,
①當直線AB的斜率不存在時，n=0,由題意可得C(2,0),A(- 1,— |),B(T,號] 或 C(— 2,0),
A 1,— 2 , B 1, |，此時 Szabc = ^X 3X 3=9
②當直線AB的斜率存在時，n^0,由(1)kAB= — 4 kOC=—詈,
??AB: y+ n= — 4m(x
3、+ 9，即直線 AB:
2 2
3m 3m +4n 3m _3_
y=— 4n x— 8n =— 4nx—2n，
3mx+ 4ny+ 6 = 0
即 3mx+ 4ny+ 6= 0, 2 2
3x2 + 4y2= 12
? 3x2 + 3mx+ 3— 4n2= 0,
4n2 f f
?，X1 + X2= — m, X1X2= 1 —g,°.C0= 2OD ,
|AB|= . 1 + 第
m2 — 4 1 —
4n2
3
9m2 + 16n2
16n2
2
4-4『—4+詈
2 9m2 + 16n2,
O到AB的距離d= 2,
寸
4、 9m2+ 16n2
Szabc = 3Ssab = 3 x q x Q J 9m2
2 6 9
+ 伽乂 .■'9m2+ 16n2==
?'S/ABC為定值.
2?已知函數(shù)f(x) = X3 + bx2+ ex的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為6x — 2y— 1二0, f' (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，g(x) = aex(a, b, c€ R, e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求b, c的值;
⑵若？ xo€ (0,2],使g(xo) = f' (xo)成立，求a的取值范圍.
解析：(1)由題意得 f' (x)= 3x2 + 2bx+ c, ?f (1)= 2b + c
5、+ 3= 3.
又 f(1) = b+ c+ 1,點(1, f(1))在直線 6x— 2y— 1= 0上, A6— 2(b+ c+ 1)— 1= 0,
故 b= — 3, c= 3.
⑵-.g(x0) = f' (X0),
.'aex0= 3xo— 3x0 + 3,
3xo — 3xo + 3
「a= ~~
exo
2
3x — 3x + 3 令 h(x)二 er
2
則 i (x)J 3x 學(xué) 2 ,
~x e
令 h' (x)= 0,得 x= 1 或 x= 2.
當x變化時，h(x)與h' (x)在x6(0,2］上的變化情況如下表所示:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
h' (x)
一
0
+
0
h(x)
3
e
9 -2 e
3
??h(x)在 x6(0,2］上有極小值 h(1) = ^，
9 9
又 h(2) = e2，h(0) = 3＞孑
3
??h(x)在x6(0,2］上的取值范圍為I?, 3),
3 ??a的取值范圍為［3, 3).
D
第一部分題型專項練壓軸題提分練(三)
