高一數(shù)學(xué)必修4 單位圓中的三角函數(shù)線 課件

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1、1.1.設(shè)設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P P（x x，y y），角），角的三角函數(shù)是怎樣定義的？的三角函數(shù)是怎樣定義的？sinycosxtan(0)yxx2.2.三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號(hào)分別如何？三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號(hào)分別如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. .3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其數(shù)學(xué)意義如何？其數(shù)學(xué)意義如何？ sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等. .4.4.角是一個(gè)幾何概念，同時(shí)角的大小

2、也具有數(shù)量特征角是一個(gè)幾何概念，同時(shí)角的大小也具有數(shù)量特征. .我們從數(shù)的觀點(diǎn)定義了三角函數(shù)，如果能從圖形上找我們從數(shù)的觀點(diǎn)定義了三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函數(shù)的幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一出三角函數(shù)的幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一. . 問(wèn)題問(wèn)題1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其終邊與單位圓為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 ， 都是正數(shù)，都是正數(shù)，你能分別用一條線段表示角你能分別用一條線段表示角的正弦值和余弦值嗎？的正弦值和余弦值嗎？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx

3、問(wèn)問(wèn)題題2 2：若若角角為為第第三三象象限限角，角，其其終終邊邊與與單單位位圓圓的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為P P（x x，y y），則則 ， 都都是是負(fù)負(fù)數(shù)，數(shù)，此此時(shí)時(shí)角角的的正正弦弦值值和和余余弦弦值值分分別別用用哪哪條條線線段段表表示？示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M 為了簡(jiǎn)化上述表示，我們?cè)O(shè)想將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定為了簡(jiǎn)化上述表示，我們?cè)O(shè)想將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，一個(gè)為始點(diǎn)，另一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶有正負(fù)值符號(hào)帶有正負(fù)值符號(hào). .根據(jù)實(shí)際需要，我們規(guī)定根據(jù)實(shí)際需要，我們規(guī)定線段從始

4、線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向. 規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線段，叫做有向線段規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線段，叫做有向線段. .由上分析可知，當(dāng)角由上分析可知，當(dāng)角為第一、三象限角時(shí)，為第一、三象限角時(shí)，sinsin、coscos可分別用有向線段可分別用有向線段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么當(dāng)角，那么當(dāng)角為第二、四象限角時(shí)，你能檢驗(yàn)為第二、四象限角時(shí)，你能檢驗(yàn)這個(gè)表示正確嗎？這個(gè)表示正確嗎？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y

5、 y）O Ox xy yM M思考：思考：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P P，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P P作作x x軸的垂線，垂足為軸的垂線，垂足為M M，稱有向線段，稱有向線段MPMP，OMOM分別為角分別為角的正弦線和余弦線的正弦線和余弦線. .當(dāng)角當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角的正弦線和余弦線的含義如何？的正弦線和余弦線的含義如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考：思考：設(shè)設(shè)為銳角，你能根據(jù)正弦線和余弦線說(shuō)為銳角，你能根據(jù)正弦線和余弦線說(shuō)明明sinsincoscos1 1嗎？嗎？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=

6、1OP=1A AT T問(wèn)題問(wèn)題1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其終邊與單為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，用是正數(shù)，用哪條有向線段表示角哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxAT T問(wèn)題問(wèn)題2 2：若角若角為第四為第四象限角，象限角，其終邊其終邊與單位與單位圓的交圓的交點(diǎn)為點(diǎn)為P P（x x，y y），），則則 是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)，此時(shí)用此時(shí)用哪條有哪條有向線段向線段表示角表示角的正的正切值最切值最合適？合適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxA

7、 AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考：思考：若若角角為第為第二象限角，二象限角，其終邊與其終邊與單位圓的單位圓的交點(diǎn)為交點(diǎn)為P P（x x，y y），），則則 是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪此時(shí)用哪條有向線條有向線段表示角段表示角的正切的正切值最合適？值最合適？tanyxtanyATxt a nyx思考：思考：若角若角為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？P PO Ox xy yM MA AT TA AT Ttany

8、ATx思考：思考：根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A（1 1，0 0）作單位圓的切線，與角）作單位圓的切線，與角的終邊或其反的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T T，則，則AT=tanAT=tan. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考：思考：當(dāng)角當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角的正切線的正切線的含義如何？的含義如何？O Ox xy yP PP P當(dāng)角當(dāng)角的終邊在的終邊在x x軸上時(shí)，角軸上時(shí)，角的正切線是一個(gè)點(diǎn)；的正切線是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角當(dāng)角的終邊在的終邊在y y軸

9、上時(shí)，角軸上時(shí)，角的正切線不存在的正切線不存在. .思考：思考：觀察下列不等式：觀察下列不等式：你有什么一般猜想？你有什么一般猜想？ sintan666pppsi ntan444pppsi ntan333ppp思考：思考：對(duì)于不等式對(duì)于不等式（其中（其中為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合思想證明嗎？為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合思想證明嗎？si ntanaaaO Ox xy y2( ,)33ppaP PM MP P1 1P P2 232y=例例3 3 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .( )2cos1f aa=-O Ox xy yP P2 2M MP P1 112x=2,2()33kkkZppapp -+P

10、 P1.1.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示，即用有三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示，即用有向線段表示三角函數(shù)值，是今后進(jìn)一步研究三角函向線段表示三角函數(shù)值，是今后進(jìn)一步研究三角函數(shù)圖象的有效工具數(shù)圖象的有效工具. .2.2.正弦線的始點(diǎn)隨角的終邊位置的變化而變化，余正弦線的始點(diǎn)隨角的終邊位置的變化而變化，余弦線和正切線的始點(diǎn)都是定點(diǎn)，分別是原點(diǎn)弦線和正切線的始點(diǎn)都是定點(diǎn)，分別是原點(diǎn)O O和點(diǎn)和點(diǎn)A A（1 1，0 0）. .3.3.利用三角函數(shù)線處理三角不等式問(wèn)題，是一種重利用三角函數(shù)線處理三角不等式問(wèn)題，是一種重要的方法和技巧，也是一種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想要的方法和技巧，也是一種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. .