《【人教A版】新編高中數(shù)學(xué)必修二：全冊(cè)作業(yè)與測評(píng) 單元質(zhì)量評(píng)估(一)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【人教A版】新編高中數(shù)學(xué)必修二：全冊(cè)作業(yè)與測評(píng) 單元質(zhì)量評(píng)估(一)（16頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
新編人教版精品教學(xué)資料
單元質(zhì)量評(píng)估(一)
(第一、二章)
(120分鐘 150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列推理錯(cuò)誤的是 ( )
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α
B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB
C.l?α,A∈l?A?α
D.A∈l,l?α?A∈α
【解析】選C.若直線l∩α=A,顯然有l(wèi)?α,A∈l,但A∈α.
2.一個(gè)等腰三角形繞它的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的曲面所圍成的幾何體是 ( )
A.球體 B.圓柱
C.圓臺(tái)
2、 D.兩個(gè)共底面的圓錐組成的組合體
【解析】選D.等腰三角形的底邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,所得幾何體是兩個(gè)共底面的圓錐組成的組合體.
3.如圖所示為某一平面圖形的直觀圖,則此平面圖形可能是下圖中的 ( )
【解析】選A.由直觀圖知,原四邊形一組對(duì)邊平行且不相等為梯形,且梯形兩腰不能與底垂直.
4.下列命題正確的是 ( )
A.一直線與一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則此直線與平面垂直
B.兩條異面直線不能同時(shí)垂直于一個(gè)平面
C.直線與平面所成的角的取值范圍是:0°<θ≤180°
D.兩異面直線所成的角的取值范圍是:0°<θ<90°.
【解析】選B. A錯(cuò)誤,一直線與一
3、個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,并不意味著和平面內(nèi)的任意直線垂直,所以此直線與平面不一定垂直;B正確,由線面垂直的性質(zhì)定理可知,兩條異面直線不能同時(shí)垂直于一個(gè)平面;C錯(cuò)誤,直線與平面所成的角的取值范圍是:0°≤θ≤90°;D錯(cuò)誤,兩異面直線所成的角的取值范圍是:0°<θ≤90°.
5.(2015·深圳高二檢測)用一個(gè)平行于水平面的平面去截球,得到如圖所示的幾何體,則它的俯視圖是 ( )
【解析】選B. D選項(xiàng)為正視圖或側(cè)視圖,俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓,所以內(nèi)圓是虛線.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體是 ( )
A.三棱錐 B.三棱柱 C.四
4、棱錐 D.四棱柱
【解題指南】本題考查的是幾何體的三視圖,在判斷時(shí)要結(jié)合三種視圖進(jìn)行判斷.
【解析】選B.由題知,該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形,兩個(gè)四邊形,經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱.
6.(2015·安徽高考)已知m,n是兩條不同直線,α,β是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是 ( )
A.若α,β垂直于同一平面,則α與β平行
B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行
C.若α,β不平行,則在α內(nèi)不存在與β平行的直線
D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面
【解析】選D.
選項(xiàng)
具體分析
結(jié)論
A
平面α,β垂直于同一個(gè)平面,則α,β相交或平行
錯(cuò)
5、誤
B
直線m,n平行于同一個(gè)平面,則m與n平行、相交、異面
錯(cuò)誤
C
若α,β不平行,則在α內(nèi)存在與β平行的直線,如α中平行于α與β交線的直線,則此直線也平行于平面β
錯(cuò)誤
D
若m,n垂直于同一個(gè)平面,則m∥n,其逆否命題即為選項(xiàng)D
正確
7.(2015·長白山高一檢測)已知一平面平行于兩條異面直線,一直線與兩異面直線都垂直,那么這個(gè)平面與這條直線的位置關(guān)系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.斜交 D.不能確定
【解析】選B.根據(jù)線面平行的性質(zhì),在已知平面內(nèi)可以作出兩條相交直線與已知兩條異面直線分別平行.因此,一直線與兩異面直線都垂直,一定與這個(gè)平面
6、垂直.
8.如圖,將一個(gè)正方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐,則棱錐的體積與原正方體的體積之比為 ( )
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6
【解析】選D.設(shè)正方體的棱長為a,則棱錐的體積V1=××a×a×a=,又正方體的體積V2=a3,所以=.
9.(2015·福建高考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于
( )
A.8+2 B.11+2
C.14+2 D.15
【解析】選B.由三視圖可知,該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+2
7、.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知圓臺(tái)上、下底面面積分別是π,4π,側(cè)面積是6π,則這個(gè)圓臺(tái)的體積是 ( )
A. B.2π C. D.
【解析】選D.上底半徑r=1,下底半徑R=2.因?yàn)镾側(cè)=6π,設(shè)母線長為l,則
π(1+2)·l=6π.所以l=2.所以高h(yuǎn)==.所以V=π·(12+1×2+22)=π.
10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選D.在平面A1B1C1D1內(nèi)過點(diǎn)C1作B1D1的垂線,垂足為E,
連接BE.?C1E⊥平
8、面BDD1B1,
所以∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.因?yàn)锽C1==,C1E==,
所以sin∠C1BE===.
【拓展延伸】探究空間角問題
(1)求空間角的基本原則
求空間角時(shí),無論哪種情況最終都?xì)w結(jié)到兩條相交直線所成的角的問題上.
(2)解題步驟:
①找(或作)出所求角;
②證明該角符合題意;
③構(gòu)造出含這個(gè)角的三角形,解這個(gè)三角形,求出角.
(3)空間角包括以下三類:
①求異面直線所成的角,關(guān)鍵是選取合適的點(diǎn)引兩條異面直線的平行線,這兩條相交直線所成的銳角或直角即為兩條異面直線所成的角.
②求直線與平面所成的角,關(guān)鍵是在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線,在此基
9、礎(chǔ)上進(jìn)一步確定垂足的位置.
③求二面角,關(guān)鍵是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角時(shí),首先要確定二面角的棱,然后結(jié)合題設(shè)構(gòu)造二面角的平面角.一般常用兩種方法:定義法,垂面法.
11.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D,則四面體ABCD的外接球的體積為 ( )
A.π B.π C.π D.π
【解析】選C.球心O為AC中點(diǎn),半徑為R=AC=,V=πR3=π.
12.(2015·滁州高二檢測)已知圓錐的底面半徑為R,高為3R,在它的所有內(nèi)接圓柱中,全面積的最大值是 ( )
A.2πR2 B.πR2 C.
10、πR2 D.πR2
【解析】選B.設(shè)圓柱底面半徑為r,則其高為3R-3r,全面積S=2πr2+2πr(3R-3r)
=6πRr-4πr2=-4π+πR2,故當(dāng)r=R時(shí)全面積有最大值πR2.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)
13.設(shè)平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直線AB與CD交于點(diǎn)S,且點(diǎn)S位于平面α,β之間,AS=8,BS=6,CS=12,則SD= .
【解析】由面面平行的性質(zhì)得AC∥BD,=,解得SD=9.
答案:9
14.(2015·天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為
11、 m3.
【解析】由三視圖可知,該幾何體是中間為一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱,兩端是底面半徑為1,高為1的圓錐,所以該幾何體的體積V=12×π×2+2××12×π×1=π(m3).
答案:π
【補(bǔ)償訓(xùn)練】若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是 .
【解析】由三視圖可知此幾何體是由一個(gè)底面為正方形的四棱柱和一個(gè)底面是梯形的四棱柱拼接而成的,所以此幾何體的體積是V=2×2×4+×(2+6)×2×4=48(cm3).
答案:48cm3
15.如圖,圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P為SB的
12、中點(diǎn),則異面直線SA與PD所成角的正切值為 .
【解析】連接PO,則PO∥SA,所以∠OPD即為異面直線SA與PD所成的角,且△OPD為直角三角形,∠POD為直角,
所以tan∠OPD===.
答案:
16.(2015·福州高一檢測)如圖,AB是☉O的直徑,C是圓周上不同于A,B的點(diǎn),PA垂直于☉O所在的平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,因此, ⊥平面PBC.(填圖中的一條直線)
【解題指南】將問題轉(zhuǎn)化為證明AF⊥BC,AF⊥PC,從而證明AF⊥平面PBC.
【解析】因?yàn)锳B是☉O的直徑,C是圓周上不同于A,B的點(diǎn),所以BC⊥AC,因?yàn)镻A垂直于☉O所在
13、的平面,所以BC⊥PA,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,AF?平面PAC,所以AF⊥BC,又AF⊥PC,BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC.
答案:AF
【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,已知ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是 ( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PCD⊥平面PAD
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面PCD⊥平面PBC
【解析】選D.由題意知,直線AB⊥平面PAD,直線CD⊥平面PAD,故選項(xiàng)A,B均正確;直線BC⊥平面PAB,BC?平面PBC,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要
14、的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)(2015·全國卷Ⅱ)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.
(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法與理由).
(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.
【解析】(1)交線圍成的正方形EHGF如圖.
(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8,
因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,AH=
15、10,HB=6.
因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】圓柱有一個(gè)內(nèi)接長方體AC1,長方體的體對(duì)角線長是10cm,圓柱的側(cè)面展開圖為矩形,此矩形的面積是100πcm2,求圓柱的體積.
【解析】設(shè)圓柱底面半徑為rcm,高為hcm.如圖所示,
則圓柱軸截面長方形的對(duì)角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對(duì)角線長,則
所以
所以V圓柱=Sh=πr2h=π×52×10=250π(cm3).
18.(12分)(2015·常德高一檢測)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F,F1分別是AC,A1C1的中點(diǎn).
求證:(1)平面AB1F1∥平面C1BF.
16、
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
【證明】(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
因?yàn)镕,F1分別是AC,A1C1的中點(diǎn),
所以B1F1∥BF,AF1∥C1F.
又因?yàn)锽1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F,
所以平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
AA1⊥平面A1B1C1,所以B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1,
所以B1F1⊥平面ACC1A1,而B1F1?平面AB1F1,
所以平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=
17、BC,M,N,P,Q分別是AA1,BB1,AB,B1C1的中點(diǎn).
(1)求證:面PCC1⊥面MNQ.
(2)求證:PC1∥面MNQ.
【證明】(1)因?yàn)锳C=BC,P是AB的中點(diǎn),所以AB⊥PC,因?yàn)锳A1⊥面ABC,CC1∥AA1,所以CC1⊥面ABC,而AB在平面ABC內(nèi),所以CC1⊥AB,
因?yàn)镃C1∩PC=C,所以AB⊥面PCC1,
又因?yàn)镸,N分別是AA1,BB1的中點(diǎn),四邊形AA1B1B是平行四邊形,所以MN∥AB,
所以MN⊥面PCC1,MN在平面MNQ內(nèi),
所以面PCC1⊥面MNQ.
(2)連PB1與MN相交于K,連KQ,
因?yàn)镸N∥PB,N為BB1的中點(diǎn)
18、,所以K為PB1的中點(diǎn),
又因?yàn)镼是C1B1的中點(diǎn),所以PC1∥KQ,
而KQ?平面MNQ,PC1?平面MNQ,
所以PC1∥面MNQ
19.(12分)(2015·北京高考)如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).
(1)求證:VB∥平面MOC.
(2)求證:平面MOC⊥平面VAB.
(3)求三棱錐V-ABC的體積.
【解析】(1)因?yàn)镺,M分別為AB,VA的中點(diǎn),所以O(shè)M∥VB.
又因?yàn)镺M?平面MOC,VB?平面MOC,所以VB∥平面MOC.
(2)因?yàn)锳C=BC,O為AB中點(diǎn)
19、,所以O(shè)C⊥AB.
因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC,交線AB,OC?平面ABC,所以O(shè)C⊥平面VAB.
因?yàn)镺C?平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)由(2)知OC為三棱錐C-VAB的高,
因?yàn)锳C⊥BC且AC=BC=,所以O(shè)C=1,AB=2.
因?yàn)椤鱒AB為等邊三角形,所以S△VAB=×2×=.
VV-ABC=VC-VAB=××1=.
20.(12分)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,
(1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖.
(2)求這個(gè)幾何體的側(cè)面積.
(3)求這個(gè)幾何體的體積.
【解析】(1)此幾何體是上底邊長為3,下底邊長為5,高為3的正四棱臺(tái).
(2)棱臺(tái)側(cè)面
20、梯形的高為=,
所以棱臺(tái)的側(cè)面積S側(cè)=(3+5)××4
=16.
(3)棱臺(tái)的體積V=(S++S')·h
=×(52++32)×3=49.
21.(12分)直三棱柱的高為6 cm,底面三角形的邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm,將棱柱削成圓柱,求削去部分體積的最小值.
【解析】如圖所示,只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時(shí),圓柱的體積最大,削去部分體積才能最小,設(shè)此時(shí)圓柱的底面半徑為R,圓柱的高即為直三棱柱的高6cm.
因?yàn)樵凇鰽BC中,AB=3cm,
BC=4cm,AC=5cm,
所以△ABC為直角三角形.
根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7-2R=5,
21、
所以R=1cm,所以V圓柱=πR2·h=6πcm3.
而三棱柱的體積為V三棱柱=×3×4×6=36(cm3),
所以削去部分的體積為36-6π=6(6-π)(cm3).
22.(12分)(2015·淄博高一檢測)已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下,E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求四棱錐P-ABCD的體積.
(2)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),AC∩BD=O,求證EO∥平面PAD.
(3)是否不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE?證明你的結(jié)論.
【解析】(1)由該四棱錐的三視圖可知,該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.
所以VP-ABCD=
22、S?ABCD·PC=.
(2)因?yàn)镋O∥PA,EO?平面PAD,PA?平面PAD.
所以EO∥平面PAD.
(3)不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE,
證明如下:因?yàn)锳BCD是正方形,
所以BD⊥AC,因?yàn)镻C⊥底面ABCD且BD?平面ABCD,所以BD⊥PC,又因?yàn)锳C∩PC=C,
所以BD⊥平面PAC,
因?yàn)椴徽擖c(diǎn)E在何位置,都有AE?平面PAC,
所以不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·金華高二檢測)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分別是AP,AD的中點(diǎn).
求證:(1)直線EF∥平面PCD.
(2)平面BEF⊥平面PAD.
【證明】(1)因?yàn)镋,F分別為AP,AD的中點(diǎn),所以EF∥PD.
又因?yàn)镋F?平面PCD,PD?平面PCD,
所以直線EF∥平面PCD.
(2)連接DB,如圖,因?yàn)锳B=AD,∠BAD=60°,
所以△ABD為正三角形.
因?yàn)辄c(diǎn)F是AD的中點(diǎn),所以BF⊥AD.
因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD .
又因?yàn)锽F?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
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