第十二部分 銳角三角函數 51中

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1、 課題 銳角三角函數 51中 李欣 中考要求 具體要求 知識與技能 1.了解 通過實例認識銳角三角函數。 2.理解 正確應用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比。 3.掌握 30°、45°、60°角的三角函數值，由已知三角函數值求出對應的銳角的度數。 過程與方法 通過銳角三角函數的學習過程，進一步認識函數，體會函數的變化與對應的思想。 知識梳理 1、三角函數定義。 sinA=, cosA=, tanA= 2、 特殊角的三角函

2、數值 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 典例解析 例1 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB的值． 解：如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，據勾股定理 AB = ∴sinA=, cosA=, tanA= （余略） 例2? 求下列各式的值： (3)+tan60°-tan30° (3)+tan60°-tan30°= 課堂檢測 1. 計算 (1)sin45°+cos45°=_

3、___________；???????????????? (2)sin30°·cos60°=___________； =____________；???????????????? =____________；???? 2. 填空 若tanA=1,則∠A = __________°。 3. 如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．則sin∠BAC= ；sin∠ADC= ． 4. 三角形在正方形網格紙中的位置如圖所示，則sinα的值是﹙ ﹚ A． B． C． D

4、． 3題 4題 5題 6題 5. 如圖，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，則sinA＝（ ） A． 　　B． 　　　C． 　　D． 6. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ） A． B． C． D． 課后測評 1. 在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，則下列結論中正確的是（ ）

5、 A.sinA= B.cosB= C.tanA= D.tanB= 2. 已知α為等邊三角形的一個內角，則cosα等于（ ）　 A. B. C. D. 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則∠A=__________． 4. 計算sin45°的結果等于__________． 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則cosB的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 在正方形網格中，△ABC的位置如圖所示，則cos

6、∠B的值為（ ） A. B. C. D. 7. 如圖，已知一商場自動扶梯的長l為10米，該自動扶梯到達的高度h為6米，自動扶梯與地面所成的角為θ，則tanθ的值等于（ ） A. B. C. D. 6題 7題 10題 8. 等腰三角形的面積為40,底邊長4,則底角的正切值為__________． 9. 在△ABC中，若|sinA－|+(1－tanB)2=0，則∠C的

7、度數是__________． 10. 如圖，AB為⊙O的直徑，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，則sinB=（ ） A. B. C. D. 中考鏈接 1.（2014廣東汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，則cosB的值是（　?。? 　 A． B． C． D． 2．(2014天津市) cos60°的值等于（　　） 　 A． B． C． D． 3．（2014溫州）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，則tanA的值是 ?。?

8、 3題 6題 4. （2014株洲）計算：+（π﹣3）0﹣tan45°． 5.o（2015·江蘇常州）在△ABC中，AB＝5，BC＝6，B為銳角且＝，則∠C的正弦值等于 A． B． C． D． 6. （2015·湖南永州）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，則坡面AB的長度是（ ） A．15m B．20m C．20m D．10m P O B A

9、第7題 7. (2015·屯溪)如圖，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點，且位于右上方的小正方形內，則sin∠AP等于（ ） A． 　 B． 　　 C． 　　　 D．1 8. (2015·安徽省蚌埠市)如圖，直徑為10的⊙A經過點C(0,5)和點O (0,0)，B是y軸右側⊙A優(yōu)弧上一點，則 的值為( ) A． B． C． D． 第5題圖 9.（2015·山東省棗莊）在△ABC中

10、，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是（　?。? A． B． C． D． 10.（2015·山東?。┰凇鰽BC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是（　?。? A． B． C． D． 課堂檢測 1. ；?；； 2. 30；45；60°；30°；?45??? 3. 4. 5. A????? 6. A 課后測評 1. A 2. A 3. 30° 4. 1 5. B 6. B 7. A

11、 8. 10 9.75° 10. C 中考鏈接 1. 解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA=，∴cosB=．故選B． 2.解：cos60°=．故選A． 3.解：tanA==，故答案為：． 4.解：原式=4+1﹣1=4．5.C 6.C 解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴=20m．故選C．7.B 8.C9.B.10.B 課題 解直角三角形及其應用 中考要求 具體要求 1. 知識與技能 理解 直角三角形中邊與邊的關系，角與角的關系和邊與角的關系

12、。 掌握 解直角三角形。 靈活運用 運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題。 2. 過程與方法 通過解直角三角形的過程，體會數學在解決實際問題中的作用。 3.情感與態(tài)度 實踐——理論——實踐的認識過程，調動學生學習數學的積極性 ，用豐富有趣的實際問題激發(fā)學生的學習興趣。 知識梳理 1、Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有以下關系 (1)邊角之間關系 如果用表示直角三角形的一個銳角，那上述式子就可以寫成. (2)三邊之間關系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)銳角之間關系 ∠A+∠B=90°． 2

13、、仰角、俯角 當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角． ? 3、坡度與坡角 ?坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝， 把坡面與水平面的夾角α叫做坡角． 4、 方位角 典例解析 例1 在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且b= a=，解這個三角形． 解：在△ABC中，∠C為直角，據勾股定理 c = tanA= ∴∠A=60° ∴∠B=90°-60°=30° 例2 如圖 ，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=

14、1200米，從飛機上看地平面控制點B的俯角α=16°31′，求飛機A到控制點B距離(精確到1米)（參考數據：sinα=0.2843 cosα=0.9588 tanα=0.2962) 解：在Rt△ABC中sinB=AB===4221(米) 答：飛機A到控制點B的距離約為4221米． 例3? 正午10點整，一漁輪在小島O的北偏東30°方向，距離等于10海里的A處，正以每小時10海里的速度向南偏東60°方向航行．那么漁輪到達小島O的正東方向是什么時間？(精確到1分)． 解：由圖可知，∠AOB=60°，∠OAB=90°． ∴AB=OAtan60°=10≈17.32(海

15、里). 從點A行到B點所需時間為≈1.732小時≈1小時44分 答：船到達點B的時間為1小時44分． 例4 同學們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決：如圖水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求壩底寬AD的長(精確到0.1m)． 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)． ?∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)． 答：壩底寬AD的長約為132.5米。

16、 課堂檢測 1. △ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，則BC的長 ． 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，則BC的長為（ ）． A.7sin35° B. C.7cos35° D.7tan35° 3. 在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，下列各式成立的是（ ） A.b=a·sinB B.a=b·cosB C.a=b·tanB D.b=a·tanB 4、如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，cosA=，BE=4，則tan∠DBE的值

17、是　 ?。? 4題 5題 5. （2014株洲）孔明同學在距某電視塔塔底水平距離500米處，看塔頂的仰角為20°（不考慮身高因素），則此塔高約為　 　米（結果保留整數，參考數據：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）． 6. （2014邵陽）一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°

18、方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援，求海警船到大事故船C處所需的大約時間．（溫馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 6題 7題 7. （2014德州） 如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為（　　） 　 A． 4米 B． 6米 C． 12米 D． 24米 課后測評 1.（2014浙江湖州）如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，則BC的長是（　　） 　 A．2 B．8 C．2 D． 4 2. AD是ΔABC的高，AD=BD=1，DC=，則∠BAC=_

19、_________． 1題 4題 5題 3. 已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，則邊BC的長為__________． 4. 如圖，在建筑平臺CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45°，測得大樹AB的底部B的俯角為30°，已知平臺CD的高度為5m，則大樹的高度為　 　m（結果保留根號） 5. 如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，則AB的長為　 　． 6. 河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6米，迎水坡A

20、B的坡比為1：，則AB的長為（　?。? 　 A．12 B．4米 C．5米 D．6米 7. 如圖，一艘漁船位于小島M的北偏東45°方向、距離小島180海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達位于小島南偏東60°方向的B處． （1）求漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離（結果用根號表示）； （2）若漁船以20海里/小時的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達小島M的航行時間（結果精確到0.1小時）．（參考數據：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 6題

21、 7題 中考鏈接 1.(2015.道里一模)如圖，已知射線MN表示一艘輪船的航行路線，從M到N的走向為南偏東300， 在M的南偏東600方向上有一點A，A處到M處為80海里． (1)求點A到航線MN的距離； (2)在航線MN上有點B，且∠MABB=150，若輪船的速度為40海里/時，求輪船 從M處到B處所用時間為多少分鐘．(結果保留到整數位，參考數據：=1．732) 2.（2015·湖南永州）如圖，我縣某校新建了一座陶鑄雕塑，小林站在距離雕塑2.7米的A處自B點看雕塑頭頂D的仰角為45°，看雕塑底部C

22、的仰角為30°，求塑像CD的高度．（最后結果精確到0.1米，參考數據：） 3. （ 2014廣東）如圖，某數學興趣小組想測量一棵樹CD的高度，他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達B點，在B處測得樹頂C的仰角高度為60°（A、B、D三點在同一直線上）．請你根據他們測量數據計算這棵樹CD的高度（結果精確到0.1m）．（參考數據：≈1.414，≈1.732） 4. （2013欽州）如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD，小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°．沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i=1：，

23、AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比） （1）求點B距水平面AE的高度BH； （2）求廣告牌CD的高度． （測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米．參考數據：1.414，1.732） 5.(2014哈爾濱中考) 如圖，AB、CD為兩個建筑物，建筑物AB的高度為60米，從建筑物AB的頂點A點測得建筑物CD的頂點C點的俯角∠EAC為30°，測得建筑物CD的底部D點的俯角∠EAD為45°． （1）求兩建筑物底部之間水平距離BD的長度； （2）求建筑物CD的高度（結果保留根號）． 6. （2014揚州）如圖，已知∠AOB=60°，點P在

24、邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（　　） 　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 5題 6題 7. （2014孝感）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交成的銳角為α，若AC=a，BD=b，則?ABCD的面積是（　?。? 　 A． absinα B． absinα C． abcosα D． abcosα 7題 8題 *8. （2014揚州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M、N分別在AB、AD邊

25、上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=（　?。? 　 A． B． C． D． ﹣2 9. （2014上海）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH． （1）求sinB的值； （2）如果CD=，求BE的值． 10. （2014株洲）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點E，EF⊥AB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點（AF＞BF）． （1）求證：△ACE≌△AFE； （2）求tan∠CAE的值． 11. （

26、2014泰州）如圖，BD是△ABC的角平分線，點E，F(xiàn)分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC． （1）求證：BE=AF； （2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積． 參考答案 課堂檢測 1解：∵cosA=，∴AC=AB?cosA=8×=6， ∴BC===2．故答案是：2． 2. C 3. B 4.解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB， ∵cosA=，BE=4，DE⊥AB，∴設AD=AB=5x，AE=3x，則5x﹣3x=4，x=2， 即AD=10，AE=6， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：D

27、E==8， 在Rt△BDE中，tan∠DBE===2，故答案為：2． 5. 解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°， ∵=tan20°，∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）．故答案為：182． 6. 解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D． 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里． 在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°， ∴BC=≈=50（海里）， ∴海警船到大事故船C處所需的時間大約為：50÷40=（小時）． 7.解：在Rt△ABC中，

28、∵=i=，AC=12米，∴BC=6米， 根據勾股定理得：AB==6米，故選B． 課后測評 1.解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故選A． 2.105° 3.2 4.解：作CE⊥AB于點E， 在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m， 在Rt△ACE中，AE=CE?tan45°=5m， AB=BE+AE=（5+5）m． 故答案為：（5+5）． 5.解：過C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD， ∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=， 由勾股定理得：AD==3，∴

29、AB=AD+BD=3+．故答案為：3+． 6.解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：， ∴則AC=BC×=6，∴AB===12．故選A． 7.解：（1）過點M作MD⊥AB于點D， ∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°， ∵AM=180海里，∴MD=AM?cos45°=90（海里）， 答：漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離是90海里； （2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°， ∵MD=90海里，∴MB==60， ∴60÷20=3=3×2.45=7.35≈7.4（小時）， 答：漁船從B到達小島M的航行時間約為7.4小時．

30、 中考鏈接 1.解：(1)如圖，過點A作AK⊥MN于K，在點M的正南方向取點P ∵M到N的走向為南偏東30°，A在M的南偏東60°方向上 ∴∠PMB=30°，∠PMA=60° ∴∠AMK=30 ° 在Rt△AMK中 ∵sin∠AMK= 即 ∴AK=40 ∴A到航線MN的距離為40海里. (第24題圖) （2） 在Rt△AMK中 ∵tan∠AMK= 即 ∴MK=40 ∵∠ABK=∠AMK+∠MAB=30°+15°=45° ∴∠BAK=90°﹣∠ABK=45° ∴∠ABK=∠BAK ∴BK=AK=40 ∴BM=MK﹣BK=40﹣40 ∴ (40

31、﹣40) ÷40=﹣1≈1.732﹣1=0.732（小時） 0.732×60=43.92≈44（分鐘） 2.解：在Rt△DEB中，DE=BE?tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE?tan30°=0.9米，則CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米，故塑像CD的高度大約為1.2米． 3.解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°， ∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）． 在直角△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）． 答：這棵樹CD的高度為8.7米． 4.解：（1）過B作B

32、G⊥DE于G，Rt△ABF中，i=tan∠BAH==， ∴∠BAH=30°，∴BH=AB=5； （2）由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15， Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15． Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15． ∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m． 答：宣傳牌CD高約2.7米． 5.解： 解答： 解：（1）根據題意得：BD∥AE， ∴∠ADB=∠EAD=45°， ∵∠ABD=90°， ∴∠BAD=∠ADB=45°， ∴BD=AB=60， ∴兩建筑物底

33、部之間水平距離BD的長度為60米； （2）延長AE、DC交于點F，根據題意得四邊形ABDF為正方形， ∴AF=BD=DF=60， 在Rt△AFC中，∠FAC=30°， ∴CF=AF?tan∠FAC=60×=20， 又∵FD=60， ∴CD=60﹣20， ∴建筑物CD的高度為（60﹣20）米． 6.解：過P作PD⊥OB，交OB于點D， 在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，∴OD=6， ∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1， ∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故選C． 7.解：過點C作CE⊥DO于點E， ∵在?ABCD中，對

34、角線AC、BD相交成的銳角為α，AC=a，BD=b， ∴sinα=，∴EC=COsinα=asinα，∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα， ∴?ABCD的面積是：absinα×2=absinα．故選；A． 8.解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4， 連接MN，連接AC， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60° 在Rt△ABC與Rt△ADC中， ，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH） ∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC， ∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=B

35、C2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2， 在Rt△BMC中，CM===2． ∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等邊三角形，∴MN=AM=AN=2， 過M點作ME⊥ON于E，設NE=x，則CE=2﹣x， ∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2， 解得：x=， ∴EC=2﹣=， ∴ME==， ∴tan∠MCN== 故選A． 9.解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD， ∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠B=∠CAH， ∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴C

36、H：AC=1：，∴sinB； （2）∵sinB，∴AC：AB=1：， ∵CD=，∴AB=2， 由勾股定理得AC=2，則CE=1， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3． 10.（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE=EF， 在Rt△ACE與Rt△AFE中， ，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）； （2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，∴AC=AF，CE=EF， 設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，∴BC===m， ∴在RT△ABC中，tan∠B===， 在RT△EFB中，EF

37、=BF?tan∠B=，∴CE=EF=， 在RT△ACE中，tan∠CAE===；∴tan∠CAE=． 11.（1）證明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE， ∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF； （2）解：過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H， ∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3， ∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2， ∴四邊形ADEF的面積為：DE?DG=6． 銳角三角函數 第 22 頁 共 22 頁