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1、新編人教版精品教學(xué)資料
課時跟蹤檢測(十二) 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.已知拋物線的對稱軸為x軸,頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在直線2x-4y+11=0上,則此拋物線的方程是( )
A.y2=-11x B.y2=11x
C.y2=-22x D.y2=22x
解析:選C 在方程2x-4y+11=0中,
令y=0得x=-,
∴拋物線的焦點(diǎn)為F,
即=,∴p=11,
∴拋物線的方程是y2=-22x,故選C.
2.過點(diǎn)(2,4)作直線l,與拋物線y2=8x只有一個公共點(diǎn),這樣的直線l有( )
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
2、解析:選B 可知點(diǎn)(2,4)在拋物線y2=8x上,∴過點(diǎn)(2,4)與拋物線y2=8x只有一個公共點(diǎn)的直線有兩條,一條是拋物線的切線,另一條與拋物線的對稱軸平行.
3.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A為拋物線上一點(diǎn),若·=-4,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為( )
A.(2,±2 ) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,2)
解析:選B 設(shè)A(x,y),則y2=4x,①
又=(x,y),=(1-x,-y),
所以·=x-x2-y2=-4.②
由①②可解得x=1,y=±2.
4.過點(diǎn)(1,0)作斜率為-2的直線,與拋物線y2=8x交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長為( )
3、
A.2 B.2
C.2 D.2
解析:選B 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由題意知AB的方程為y=-2(x-1),
即y=-2x+2.
由得x2-4x+1=0,
∴x1+x2=4,x1·x2=1.
∴|AB|=
===2.
5.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為( )
A. B.
C. D.
解析:選D 易知拋物線中p=,焦點(diǎn)F,直線AB的斜率k=,故直線AB的方程為y=,代入拋物線方程y2=3x,整理得x2-x+=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y
4、2),則x1+x2=.由拋物線的定義可得弦長|AB|=x1+x2+p=+=12,結(jié)合圖象可得O到直線AB的距離d=·sin 30°=,所以△OAB的面積S=|AB|·d=.
6.直線y=x-1被拋物線y2=4x截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是________.
解析:將y=x-1代入y2=4x,整理,得x2-6x+1=0.由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=6,=3,
∴===2.
∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2).
答案:(3,2)
7.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=7,則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________.
解析:拋物線的
5、焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.由拋物線的定義知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.
因此,點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為+1=.
答案:
8.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線,與拋物線分別交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸左側(cè)),則=________.
解析:由題意可得焦點(diǎn)F,故直線AB的方程為y=x+,與x2=2py聯(lián)立得A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xA=-p,xB=p,故A-p,p,Bp,p,所以|AF|=p,|BF|=2p,所以=.
答案:
9.已知拋物線y2=6
6、x,過點(diǎn)P(4,1)引一弦,使它恰在點(diǎn)P被平分,求這條弦所在的直線方程.
解:設(shè)弦的兩個端點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2).
∵P1,P2在拋物線上,∴y=6x1,y=6x2.
兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).①
∵y1+y2=2,代入①得k==3.
∴直線的方程為y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.
10.已知直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn).
(1)若|AF|=4,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)求線段AB的長的最小值.
解:由y2=4x,得p=2,其準(zhǔn)線方程為x=-1,焦點(diǎn)F(1,0).設(shè)A(x1,y1),
7、B(x2,y2).
(1)由拋物線的定義可知,|AF|=x1+,從而x1=4-1=3.代入y2=4x,解得y1=±2.
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)或(3,-2).
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時,
設(shè)直線l的方程為y=k(x-1).
與拋物線方程聯(lián)立,
得消去y,整理得
k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
∵直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),
則k≠0,并設(shè)其兩根為x1,x2,
∴x1+x2=2+.
由拋物線的定義可知,|AB|=x1+x2+p=4+>4.
當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=1,與拋物線相交于A(1,2),B(1,-2),此時|AB|=4,
∴|AB
8、|≥4,即線段AB的長的最小值為4.
層級二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.邊長為1的等邊三角形AOB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB⊥x軸,以O(shè)為頂點(diǎn)且過A,B的拋物線方程是( )
A.y2=x B.y2=-x
C.y2=±x D.y2=±x
解析:選C 設(shè)拋物線方程為y2=ax(a≠0).又A(取點(diǎn)A在x軸上方),則有=±a,解得a=±,所以拋物線方程為y2=±x.故選C.
2.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),作一條直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線( )
A.有且僅有一條 B.有兩條
C.有無窮多條 D.不存在
解析:選B 設(shè)A(x1,y
9、1),B(x2,y2),由拋物線的定義,知|AB|=x1+x2+p=5+2=7.又直線AB過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被拋物線截得的弦長最短,且|AB|min=2p=4,所以這樣的直線有兩條.故選B.
3.直線y=kx-2交拋物線y2=8x于A,B兩點(diǎn),若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則k=( )
A.2或-2 B.1或-1
C.2 D.3
解析:選C 由得k2x2-4(k+2)x+4=0.又由Δ=16(k+2)2-16k2>0,得k>-1.則由=4,得k=2.故選C.
4.已知拋物線C:y2=8x與點(diǎn)M(-2,2),過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若·=0,則k=(
10、)
A. B.
C. D.2
解析:選D 由題意可知拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),則直線AB的方程為y=k(x-2),將其代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則①
由
?
∵·=0,
∴(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0.
∴(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,
即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.④
由①②③④解得k=2.故選D項(xiàng).
5.直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分
11、別為P,Q,則梯形APQB的面積為________.
解析:由消去y得x2-10x+9=0,得x=1或9,即或所以|AP|=10,|BQ|=2或|BQ|=10,|AP|=2,|PQ|=8,所以梯形APQB的面積S=×8=48.
答案:48
6.頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,截直線2x-y+1=0所得的弦長為,則拋物線方程為________.
解析:設(shè)所求拋物線方程為y2=ax(a≠0),
聯(lián)立得4x2+(4-a)x+1=0,
則Δ=(4-a)2-16>0,得a>8或a<0.
設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=.
12、所以|AB|=
==,
解得a=12或a=-4.
所以拋物線方程為y2=12x或y2=-4x.
答案:y2=12x或y2=-4x
7.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當(dāng)△OAB的面積等于 時,求實(shí)數(shù)k的值.
解:(1)證明:由消去x,得ky2+y-k=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意,知k≠0,則y1+y2=-,y1y2=-1.
由A,B在拋物線y2=-x上,可知y=-x1,y=-x2,則yy=x1x2.
因?yàn)閗OA·kOB=·===-1,
所以O(shè)A⊥OB.
(2)設(shè)直線與x
13、軸交于點(diǎn)N.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
因?yàn)镾△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON|·|y2|=|ON||y1-y2|,
所以S△OAB=×1×
= =.
解得k=±.
8.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l′與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.
解:(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.
14、由題設(shè)得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程為y2=4x.
(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,
故可設(shè)l的方程為x=my+1(m≠0).
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),
|AB|=|y1-y2|
=·
=4(m2+1).
又l′的斜率為-m,
所以l′的方程為x=-y+2m2+3.
將上式代入y2=4x,
并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),
則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中點(diǎn)為E,
|MN|=|y3-y4|
=·
=.
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上等價于|AE|=|BE|=|MN|,
從而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+2+2=.
化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.