新版高中數(shù)學北師大版必修三教學案：第三章167;2第2課時 建立概率模型 Word版含答案

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1、新版數(shù)學北師大版精品資料 第2課時　建立概率模型 [核心必知] 建立不同的古典概型 在建立概率模型時，把什么看作是一個基本事件(即一個試驗結(jié)果)是人為規(guī)定的．我們只要求：每次試驗有一個并且只有一個基本事件出現(xiàn)． 只要基本事件的個數(shù)是有限的，并且它們的發(fā)生是等可能的，就是一個古典概型． [問題思考] 甲、乙、丙三人站隊，求甲站在最左邊的概率． 1．若只考慮甲的站法，基本事件的總數(shù)是多少？甲站在最左邊的概率是多少？ 提示：3種；P＝. 2．若只考慮最左邊位置的站法，基本事件總數(shù)是多少？甲站在最左邊的概率是多少？ 提示：3種；P＝. 3．若考慮所有人的站法，基本事件的總數(shù)

2、是多少？甲站在最左邊的概率是多少？ 提示：6種；P＝. 講一講 1.從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率． [嘗試解答]　每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．總的事件個數(shù)為6，而且可以認為這些基本事件是等可能的． 用A表示“取出的兩件中恰有一件次品”，這一事件，所

3、以A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． 因為事件A由4個基本事件組成，所以P(A)＝＝. “有放回”與“不放回”問題的區(qū)別在于：對于某一試驗，若采用“有放回”抽樣，則同一個個體可能被重復抽取，而采用“不放回”抽樣，則同一個個體不可能被重復抽取． 練一練 1．一個盒子里裝有完全相同的十個小球，分別標上1,2,3，…，10這10個數(shù)字，今隨機地抽取兩個小球，如果： (1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的． 求兩個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率． 解：設事件A：兩個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)． 則事件A包括的基本事件有：(1,2)，(2,3)，(

4、3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18個． (1)不放回取球時，總的基本事件數(shù)為90， 故P(A)＝＝. (2)有放回取球時，總的基本事件數(shù)為100， 故P(A)＝＝. 講一講 2.某乒乓球隊有男乒乓球運動員4名、女乒乓球運動員3名，現(xiàn)要選一男一女兩名運動員組成混合雙打組合參加某項比賽，試列出全部可能的結(jié)果；若某女乒乓球運動員為國家一級運動員，則她參賽的概率是多少？ [嘗試解答]　由于男運動員從4人中任意選取，

5、女運動員從3人中任意選取，為了得到試驗的全部結(jié)果，我們設男運動員為A，B，C，D，女運動員為1,2,3，我們可以用一個“有序數(shù)對”來表示隨機選取的結(jié)果．如(A,1)表示：第一次隨機選取從男運動員中選取的是男運動員A，從女運動員中選取的是女運動員1，可用列表法列出所有可能的結(jié)果．如下表所示，設“國家一級運動員參賽”為事件E. 　　　　女　 結(jié)果　　　　　 男　　　　　　 1 2 3 A (A,1) (A,2) (A,3) B (B,1) (B,2) (B,3) C (C,1) (C,2) (C,3) D (D,1) (D,2) (D,3) 由上表

6、可知，可能的結(jié)果總數(shù)是12個．設女運動員1為國家一級運動員，她參賽的可能事件有4個，故她參賽的概率為P(E)＝＝. 本講列出全部可能的結(jié)果用的是列表法．列表法的優(yōu)點是準確、全面、不易漏掉，對于試驗的結(jié)果不是太多的情況，都可以采用此法，當然也可以用列舉法． 練一練 2． 在一次數(shù)學研究性實踐活動中，興趣小組做了兩個均勻的正方體玩具，組長同時拋擲2個均勻的正方體玩具(各個面上分別標上數(shù)字1、2、3、4、5、6)后，讓小組成員求： (1)兩個正方體朝上一面數(shù)字相同的概率是多少？ (2)兩個正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是多少？ 解：兩個玩具正面向上的情況如下表： 1

7、 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (1)事件“兩個正方體朝上

8、一面數(shù)字相同的情況”只有6種，故它的概率是＝. (2)事件“兩個正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的情況”有27種，如表中有下劃線的情況，即兩個正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為＝. 講一講 3.口袋里裝有兩個白球和兩個黑球，這四個球除顏色外完全相同，甲、乙、丙、丁四個人按順序依次從中摸出一球，試求乙摸到白球，且丙摸到黑球的概率． [嘗試解答]　把兩白球編上序號1、2，把兩黑球也編上序號1、2，于是甲、乙、丙、丁四個人按順序依次從袋內(nèi)摸出一個球的所有可能結(jié)果，可用樹形圖直觀地表示出來如下： 從上面的樹狀圖可以看出，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)為24，乙摸到白球，且丙摸到黑球的結(jié)果

9、有8種，則P＝＝. 當基本事件較多、較為復雜時采用樹狀圖，可以很直觀的對事件進行分類、枚舉，準確地找出所有的基本事件． 練一練 3．甲、乙兩同學下棋，勝一盤得2分，和一盤各得1分，負一盤得0分．連下三盤，得分多者為勝，求甲獲勝的概率． 解：甲同學的勝負情況畫樹狀圖如下： 每盤棋都有勝、和、負三種情況，三盤棋共有3×3×3＝27種情況．設“甲獲勝”為事件A，甲獲勝的情況有：三盤都勝，得6分有1種情況，兩勝一和得5分有3種情況，兩勝一負得4分有3種情況，一勝兩和得4分有3種情況，共10種情況．故甲獲勝的概率為P(A)＝. 【解題高手】【易錯題】 任意拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，計

10、算： (1)出現(xiàn)點數(shù)相同的概率； (2)出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)的概率； [錯解]　(1)點數(shù)相同，是指同為1點，2點，…，6點，其中之一的概率是. (2)點數(shù)和為奇數(shù)，可取3,5,7,9,11，共5種；點數(shù)之和為偶數(shù)，可取2,4,6,8,10,12，共6種． 于是出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為＝. [錯因]　(1)原事件是要求在拋擲的所有結(jié)果中出現(xiàn)點數(shù)同為1,2,3,4,5,6的概率，而不是點數(shù)相同時，其中之一的概率； (2)點數(shù)之和為奇數(shù)和偶數(shù)的11種情況不是等可能事件，如點數(shù)之和為2只出現(xiàn)一次，為(1,1)；點數(shù)之和為3出現(xiàn)2次，為(2,1)，(1,2)． [正解]　(1)任意拋擲

11、兩枚骰子，由于骰子質(zhì)地均勻，故可以看成等可能事件，其結(jié)果可表示為數(shù)組(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中兩個數(shù)i，j分別表示兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，共有36種結(jié)果．其中點數(shù)相同的數(shù)組為(i，j)(i＝j，i，j＝1,2，…，6)，共有6個結(jié)果，故出現(xiàn)點數(shù)相同的概率為＝. (2)出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)，從而由數(shù)組(奇，偶)和(偶，奇)組成(如1,2)，(2,1)．又由于每枚骰子上有3個偶數(shù)，3個奇數(shù)，3×3＋3×3＝18，從而所求概率為＝. 1．若書架上放的數(shù)學、物理、化學書分別是5本、3本、2本，則隨機抽出一本是物理書的概率為(　　) A.　　B. C. D. 解析

12、：選B 任意抽取一本得到任何一本書的可能性是相同的，故為古典概型，其中總基本事件數(shù)n＝10，事件A“抽得物理書”包含的基本事件數(shù)m＝3，所以依據(jù)古典概型概率的計算公式得P(A)＝＝. 2．甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選 A 該試驗共4個基本事件，所求事件包含2個基本事件，其概率為. 3．一枚硬幣連擲3次，有且僅有2次出現(xiàn)正面向上的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選 A 所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)

13、，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8個，僅有2次出現(xiàn)正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3個．則所求概率為. 4．(江蘇高考)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為________． 解析：基本事件總數(shù)為N＝7×9＝63，其中m，n都為奇數(shù)的事件個數(shù)為M＝4×5＝20，所以所求概率P＝＝. 答案： 5．(福建高考)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_______

14、_． 解析：紅色球分別用A、B、C表示，黃色球分別用D、E表示，取出兩球的所有可能結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10種．從中取兩球顏色不同的結(jié)果有：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)共6種，取出兩球顏色不同的概率P＝＝. 答案： 6．一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率； (2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球

15、的編號為n，求n≥m＋2的概率． 解：(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個，從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個．因此所求事件的概率P＝＝. (2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3

16、)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝. 一、選擇題 1．從100臺電腦中任取5臺進行質(zhì)量檢測，每臺電腦被抽到的概率是(　　) A.　　　B. C. D. 解析：選D 把抽到每一臺電腦看成一個基本事件，試驗的所有基本事件數(shù)是100，任取5臺這一事件含5個基本事件，所求概率為＝. 2．從分別寫有A，B，C，D，E的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字母恰好按字母順序相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B 從5張卡片中任取2張有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、C

17、D、CE、DE共10種結(jié)果，而恰好按字母順序相鄰的有AB、BC、CD、DE 4種結(jié)果，故此事件的概率為＝. 3．從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：選D 假設正六邊形的6個頂點分別為A、B、C、D、E、F，則從6個頂點中任取4個頂點共有15種結(jié)果，以所取4個點作為頂點的四邊形是矩形有3種結(jié)果，故所求概率為. 4．在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機取出2個，則取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是(　　) A.

18、 B. C. D. 解析：選A 隨機取出2個小球有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10種情況，和為3只有1種情況(1,2)，和為6有(1,5)，(2,4)兩種情況． ∴P＝. 5．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選D 設Ω＝{(a，b)|a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3}}，包含的基本事件總數(shù)n＝15，事件“b>a”為{(1,2)，

19、(1,3)，(2,3)}，包含的基本事件數(shù)m＝3.其概率P＝＝. 二、填空題 6．現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度(單位：m)分別為2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為________． 解析：從5根竹竿中任取2根有：(2.5,2.6)、(2.5，2.7)、(2.5,2.8)、(2.5,2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9)共10種取法，其中長度恰好相差0.3 m的情況有：(2.5，2.8)、(2.6,2.9)，共2種．故所求概率為P＝＝

20、. 答案： 7．第1,2,5,7路公共汽車都在一個車站?？?，有一位乘客等候著1路或5路公共汽車，假定各路公共汽車首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好為這位乘客所要乘的車的概率是________． 解析：∵4種公共汽車先到站共有4個結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，所以“首先到站的車正好是所乘車”的結(jié)果有2個，∴P＝＝. 答案： 8．將一個各個面上均涂有顏色的正方體鋸成27個同樣大小的小正方體，從這些小正方體中任取1個，其中恰有三個面涂有顏色的概率是________． 解析：如圖每層分成9個小正方體，共分成了三層，其中8個頂點處的小正方體三個面涂有顏色，概率為. 答案：

21、三、解答題 9．假設有5個條件很類似的女孩，把她們分別記為A、C、J、K、S，她們應聘秘書工作，但只有3個秘書職位，因此5人中僅有3人被錄用，如果5個人被錄用的機會相等，分別計算下列事件的概率： (1)女孩K得到一個職位； (2)女孩K和S各得到一個職位； (3)女孩K或S得到一個職位． 解：5個人僅有3人被錄用，結(jié)果共有10種，如圖所示，由于5個人被錄用的機會相等，所以這10種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同． (1)女孩K被錄用的結(jié)果有6種，所以她得到一個職位的概率為. (2)女孩K和S各得到一個職位的結(jié)果有3種，所以K和S各自得到一個職位的概率為. (3)女孩K或S得到一個職位

22、的結(jié)果有9種，所以K或S得到一個職位的概率為. 10．編號分別為A1，A2，…，A16的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下： 運動員編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 運動員編號 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 (1)將得分在對應區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應的空格： 區(qū)間 [10,20) [20,30) [30,40] 人數(shù) (2)從得分

23、在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人， ①用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果； ②求這2人得分之和大于50的概率． 解：(1)4,6,6. (2)①得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員編號為A3，A4，A5，A10，A11，A13，從中隨機抽取2人，所有可能的抽取結(jié)果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15種． ②“從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5種． 所以P(B)＝＝.