云南省昭通市實驗中學高二數(shù)學 等比數(shù)列前n項和 9課件新人教A必修5

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1、等差數(shù)列等差數(shù)列 an等比數(shù)列等比數(shù)列 an定義定義an+1 - an = d ( 常數(shù)常數(shù) )an+1 an = q ( 不為零不為零的常數(shù)的常數(shù) )通項通項 an = a1 + ( n 1 ) d an - am = ( n m ) d an = a1 qn-1 an am = qn-m公式公式推導推導 方法方法歸納猜想驗證法歸納猜想驗證法首尾相咬累首尾相咬累加加法法歸納猜想驗證法歸納猜想驗證法首尾相咬累首尾相咬累乘乘法法性質(zhì)性質(zhì)若若 m+n=r+s , m、n、r、sN*則則 am + an = ar + as若若 m+n=r+s , m、n、r、sN*則則 am an = ar as前

2、前n項項和和Sn公式公式推導推導 方法方法（ a1 + an ）nSn =2 = na1 +n(n 1)2d化零為整法化零為整法問題問題：等比數(shù)列：等比數(shù)列an，如果已知，如果已知a1 , q , n 怎樣表示怎樣表示Sn?Sn = a1 + a2 + + an解解：= a1 + a1q + a1q2 + + a1 qn-1= a1 ( 1 + q + q2 + + qn-1 )嘗試嘗試：S1 = a1S2 = a1 + a1q = a1 ( 1 + q )S3 = a1 + a1q + a1q2 = a1 ( 1+ q + q2 ) 討論討論q1時時 a1( 1 q3 )1 - q= a1(

3、 1 q2 )1 - q= a1( 1 q1 )1 - q=猜想猜想： Sn a1( 1 qn )1 - q=驗證驗證：an = Sn - Sn-1 a1( 1 qn )1 - q=- a1( 1 q n-1 )1 - q= a1 qn-1 a1(q n-1 qn )1 - q=當當n2時時當當n=1時時a1 = S1 亦滿足上式亦滿足上式 an = a1 qn-1 Sn ( q1 ) a1( 1 qn )1 - q= a1( 1 qn )1 - q=Sn = a1 + a2 + + an= a1 + a1q + a1q2 + + a1 qn-1= a1 ( 1 + q + q2 + + qn

4、-1 )當當 q1 時時 即即 1 + q + q2 + + qn-1 （）（） 1 qn 1 - q=證明（）式證明（）式( 1 + q + q2 + + qn-1 ) ( 1 - q )= 1 + q + q2 + + qn-1 - ( q + q2 + + qn-1 + qn )= 1 - qn （）式成立（）式成立相減相減( 1 q ) Sn = a1 - a1 qn= a1 ( 1 qn )當當 1 q 0 , 即即 q 1 時，時， Sn a1( 1 qn )1 - q=當當 q = 1 時，時， Sn = n a1錯項相減法錯項相減法：Sn = a1 + a1q + a1q2 +

5、 + a1 qn-1q Sn = a1q + a1q2 + + a1 qn-1 + a1qn 等比數(shù)列等比數(shù)列a an n前前n n項和公式為項和公式為當當q1時時 Sn a1( 1 qn )1 - q=當當q1時時Sn = n a1=a1 - an q1 - q練習：練習：（1） 124 263 （2）124 (2)n-1 = （3）等比數(shù)列）等比數(shù)列 an 中，中，a1 = 8 , q = , an = , 則則Sn=1212（4）等比數(shù)列）等比數(shù)列 an 中，中，a1 = 2 ，S3=26 , 則則 q = 264-11 ( - 2 ) n3312- 4 或或 3例例1 ： 求通項為求通

6、項為 an = 2n + 2n -1 的數(shù)列的前的數(shù)列的前n項和項和解解：設設 bn = 2n , 且對應的前且對應的前n項和為項和為 Cn=2n-1 , 對應的前對應的前n項和為項和為S n S n則則 an = bn Cn ，Sn = +S n S nS n= 2 ( 1 2 n ) 1 2 = 2 ( 2n 1 )= n2Sn =S n S n+=2n+1 + n2 - 2 S n= 1 + ( 2n - 1 ) 2 n例例2：求和：求和 ( x + ) + ( x2 + ) + ( x3 + ) + +( x +( xn n + )+ )1y1y21y31yn（1） 當當 x 0 ,

7、y 1 時時（2） 當當 x 0 時時解解：當當 x = 1 時時Sn = ( x + x2 + + x + xn n ) + ( + + + ) + ( + + + )1y1y21yn（1）Sn = 1y( 1 - )1yn1 - 1y= n + yn+1 - yn yn - 1當當 x 1 時時Sn = x ( 1 - xn )1 - x 1y( 1 - )1yn1 - 1y+ x ( 1 - xn )1 - x yn+1 - yn yn - 1+= n +( 2 ) 只須注意再討論只須注意再討論y是否等于是否等于1的取值情況的取值情況例例3： 求數(shù)列：求數(shù)列：1 , 2x , 3x2 ,

8、 ，nxnxn-1 n-1 , , （x0) x0) 的的前前n項和項和解解：當當 x = 1 時時 Sn = 1 + 2 + 3 + + n =n(n+1)2當當 x 1 時時 Sn = 1 + 2 x+ 3x2 + + nxn-1 x Sn = x+ 2x2 + + (n-1)xn-1 + nxn錯項相減錯項相減( 1 x ) Sn = 1 + x + x2 + + xn-1 - nxn=1 - xn1 - x- nxn Sn =1 - xn(1 - x)2-nxn1 - x=( 1 x )21 ( 1 + n ) xn + xn+1綜上所述：綜上所述：當當 x = 1 時時 Sn =n(

9、n+1)2當當 x 1 時時 Sn =( 1 x )21 ( 1 + n ) xn + xn+1等差數(shù)列等差數(shù)列 an等比數(shù)列等比數(shù)列 an定義定義an+1 - an = d ( 常數(shù)常數(shù) )an+1 an = q ( 不為零不為零的常數(shù)的常數(shù) )通項通項 an = a1 + ( n 1 ) d an - am = ( n m ) d an = a1 qn-1 an am = qn-m公式公式推導推導 方法方法歸納猜想驗證法歸納猜想驗證法首尾相咬累首尾相咬累加加法法歸納猜想驗證法歸納猜想驗證法首尾相咬累首尾相咬累乘乘法法性質(zhì)性質(zhì)若若 m+n=r+s , m、n、r、sN*則則 am + an

10、= ar + as若若 m+n=r+s , m、n、r、sN*則則 am an = ar as前前n項項和和Sn公式公式推導推導 方法方法（ a1 + an ）nSn =2 = na1 +n(n 1)2d化零為整法化零為整法當當q1時時 Sn = n a1當當q1時時 Sn a1( 1 qn )1 - q=a1 - an q1 - q歸納猜想驗證法歸納猜想驗證法錯項相減法錯項相減法方法三方法三：Sn = a1 + a2 + + an= a1 + a1q + a1q2 + + a1 qn-1= a1 + q ( a1 + a1q + + a1 qn-2 )= a1 + q Sn-1= a1 + q ( Sn an ) ( 1 q ) Sn = a1 q an當當q1時時 Sn a1( 1 qn )1 - q=a1 - an q1 - q當當q1時時Sn = n a1方法四方法四： 21aa32aa1nnaqa23121nnaaaqaaa1nnnsaqsa當當q1時時 Sn a1( 1 qn )1 - q=a1 - an q1 - q當當q1時時Sn = n a1