高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第五章 第四節(jié) 數(shù)列的求和課件 文

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1、第四節(jié) 數(shù)列的求和1.1.公式法公式法（1 1）使用已知求和公式求和的方法）使用已知求和公式求和的方法. .（2 2）數(shù)列求和常用公式：）數(shù)列求和常用公式：等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式S Sn n=_=_=_=_等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式前前n n個(gè)個(gè)正整數(shù)之和正整數(shù)之和1+2+n=_1+2+n=_前前n n個(gè)個(gè)正奇數(shù)之和正奇數(shù)之和1+3+5+(2n-1)=_1+3+5+(2n-1)=_前前n n個(gè)正整個(gè)正整數(shù)平方和數(shù)平方和1n n1nad21nn aa21nnaa q_,q11 qS_,q1n1a (1 q )1 qnana1 1 n n12n n2 2222n

2、 n1 2n112n62.2.裂項(xiàng)相消求和法裂項(xiàng)相消求和法把數(shù)列的通項(xiàng)分解為兩項(xiàng)之差，使之在求和時(shí)產(chǎn)生前后相互抵把數(shù)列的通項(xiàng)分解為兩項(xiàng)之差，使之在求和時(shí)產(chǎn)生前后相互抵消的項(xiàng)的求和方法消的項(xiàng)的求和方法. .3 3錯(cuò)位相減求和法錯(cuò)位相減求和法（1 1）適用的數(shù)列：）適用的數(shù)列：aan nb bn n ，其中數(shù)列，其中數(shù)列aan n 是公差為是公差為d d的等差數(shù)的等差數(shù)列列,b,bn n 是公比為是公比為q1q1的等比數(shù)列的等比數(shù)列. .（2 2）方法：設(shè)）方法：設(shè)S Sn n=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n, ,則則qSqSn n=a=a1 1b b

3、2 2+a+a2 2b b3 3+a+an-1n-1b bn n+a+an nb bn+1n+1，- -得：得：(1-q)S(1-q)Sn n=a=a1 1b b1 1+d(b+d(b2 2+b+b3 3+b+bn n)-a)-an nb bn+1n+1，就轉(zhuǎn)化為根據(jù)，就轉(zhuǎn)化為根據(jù)公式可求的和公式可求的和. .4 4其他求和方法其他求和方法名稱名稱含義含義簡(jiǎn)單示例簡(jiǎn)單示例分解法分解法分解為基本分解為基本數(shù)列求和數(shù)列求和a an n=2=2n n+(2n-1)+(2n-1)分組法分組法分為若干組分為若干組整體求和整體求和a an n=(-1)=(-1)n nn,n,求求S S2n2n倒序倒序相加

4、法相加法把求和式倒把求和式倒序后兩和式序后兩和式相加相加函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )圖像關(guān)于點(diǎn)圖像關(guān)于點(diǎn)(1,1)(1,1)對(duì)稱，對(duì)稱，求求f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) 判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或或“”）. .（1 1）如果數(shù)列）如果數(shù)列aan n 為等比數(shù)列，則其前為等比數(shù)列，則其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 ( )( )（2 2）當(dāng)）當(dāng)n2n2時(shí)，時(shí)， ( )( )（3 3）求）求S Sn n=a+2a=a+2a2 2+3a+3a3 3+na+nan n之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)之和

5、時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以乘以a a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.( ).( )（4 4）如果數(shù)列）如果數(shù)列aan n 是周期為是周期為k(kk(k為大于為大于1 1的正整數(shù)的正整數(shù)) )的周期數(shù)列，的周期數(shù)列，那么那么S Skmkm=mS=mSk k.( ).( )1n 1naaS.1 q21111().n12 n1n1（5 5）如果數(shù)列）如果數(shù)列aan n 是公差是公差d0d0的等差數(shù)列，則的等差數(shù)列，則 ( )( )【解析【解析】（1 1）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .當(dāng)當(dāng)q=1q=1時(shí)，時(shí)，S Sn n=na=na1 1. .（2 2）正確）正確. .直接驗(yàn)證或倒推可知正確直接驗(yàn)證

6、或倒推可知正確. .（3 3）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .需要分需要分a=0,a=1a=0,a=1，以及，以及a0a0且且a1a1三種情況求和三種情況求和. .（4 4）正確）正確. .根據(jù)周期性可得根據(jù)周期性可得. .（5 5）正確）正確. .直接驗(yàn)證或倒推可得直接驗(yàn)證或倒推可得. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） （5 5）nn 1nn 11111().a ad aa1 1等比數(shù)列等比數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，且，且4a4a1 1，2a2a2 2，a a3 3成等差數(shù)列成等差數(shù)列. .若若a a1 1=1=1，則，則S S4 4=( )=( )

7、(A)7 (B)8 (C)15 (D)16(A)7 (B)8 (C)15 (D)16【解析【解析】選選C.4aC.4a1 1，2a2a2 2，a a3 3成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，4a4a1 1+a+a3 3=4a=4a2 2，即，即4a4a1 1+a+a1 1q q2 2=4a=4a1 1q,q,qq2 2-4q+4=0,q=2,S-4q+4=0,q=2,S4 4=15.=15.2 2sinsin2 21 1+sin+sin2 22 2+sin+sin2 23 3+sin+sin2 28888+sin+sin2 28989=( )=( )(A)44.5 (B)45 (C) (D)89(A)44

8、.5 (B)45 (C) (D)89【解析【解析】選選A.A.設(shè)設(shè)S=sinS=sin2 21 1+sin+sin2 22 2+sin+sin2 23 3+ +sin+sin2 28888+sin+sin2 28989, ,則則S=sinS=sin2 28989+sin+sin2 28888+sin+sin2 28787+ +sin+sin2 22 2+sin+sin2 21 1, ,即即S=cosS=cos2 21 1+cos+cos2 22 2+cos+cos2 23 3+ +cos+cos2 28888+cos+cos2 28989, ,與第一與第一個(gè)式子相加，得個(gè)式子相加，得2S=89

9、2S=89，所以，所以S=44.5.S=44.5.45 23 3數(shù)列數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式a an n=2n-(-1)=2n-(-1)n n ，設(shè)此數(shù)列的前，設(shè)此數(shù)列的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，則，則S S1010S S2121S S100100的值是的值是( )( )(A)9 746 (B)4 873 (C)9 736 (D)9 748(A)9 746 (B)4 873 (C)9 736 (D)9 748【解析【解析】選選A.A.當(dāng)當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，a an n=2(n+1)=2(n+1)；當(dāng)；當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，a an n=2(n-1)=2(n-1

10、)，故有故有故故S S1010S S2121S S100100=9 746.=9 746.104202 18S556050110,22 21100444238S1110464,2242002 198S505010 100.224 4一個(gè)數(shù)列一個(gè)數(shù)列aan n ，當(dāng)，當(dāng)n n是奇數(shù)時(shí)，是奇數(shù)時(shí)，a an n=5n+1=5n+1；當(dāng)；當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， 則這個(gè)數(shù)列的前則這個(gè)數(shù)列的前2m2m項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是_【解析【解析】所有奇數(shù)項(xiàng)的和所有奇數(shù)項(xiàng)的和 所有偶所有偶數(shù)項(xiàng)的和數(shù)項(xiàng)的和 兩部分相加即得兩部分相加即得. .答案：答案：2 2m+1m+1+5m+5m2 2+m-2+m-2n2na2，

11、2110m m 1S6m5mm2，mm 122 21S222 1，考向考向 1 1 公式求和法公式求和法【典例【典例1 1】解答下列各題：解答下列各題：（1 1）已知數(shù)列）已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=32n-n=32n-n2 2，求數(shù)列，求數(shù)列|a|an n|的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. .（2 2）已知數(shù)列）已知數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=23=23n-1n-1+ +(-1)(-1)n n(ln 2-ln 3)+(-1)(ln 2-ln 3)+(-1)n nnln 3nln 3，求其前，求其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n. .【思路

12、點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）根據(jù)數(shù)列）根據(jù)數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和可得數(shù)列項(xiàng)和可得數(shù)列aan n 的通的通項(xiàng)公式，根據(jù)求出的通項(xiàng)公式把數(shù)列項(xiàng)公式，根據(jù)求出的通項(xiàng)公式把數(shù)列|a|an n|分段求解分段求解. .（2 2）由于存在）由于存在(-1)(-1)n n，按照，按照n n為奇數(shù)和偶數(shù)分別求解為奇數(shù)和偶數(shù)分別求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）當(dāng)）當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)，a a1 1=S=S1 1=31=31，當(dāng)，當(dāng)n2n2時(shí)，時(shí)，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=33-2n=33-2n，a an n=33-2n=33-2n（nNnN+ +），即數(shù)列），即數(shù)列aan

13、 n 是公差為是公差為-2-2，首項(xiàng)為，首項(xiàng)為3131的等的等差數(shù)列，差數(shù)列，令令a an n=33-2n0=33-2n0，則，則n16n16，故當(dāng)故當(dāng)0n160n16時(shí)，時(shí)，T Tn n=S=Sn n=32n-n=32n-n2 2；而當(dāng)而當(dāng)n17n17時(shí)，時(shí)，T Tn n=S=S1616-(a-(a1717+a+a1818+ +a+an n)=-S)=-Sn n+2S+2S1616，即即T Tn n=-32n+n=-32n+n2 2+2(32+2(3216-1616-162 2) )=n=n2 2-32n+512-32n+512，2n232nn 0n16nNTn32n512n17,nN .，

14、（2 2）S Sn n=2(1+3+=2(1+3+3+3n-1n-1)+-1+1-1+)+-1+1-1+ +（-1-1）n n(ln 2-ln 3) (ln 2-ln 3) +-1+2-3+-1+2-3+ +（-1-1）n nnln 3,nln 3,所以當(dāng)所以當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，綜上所述，綜上所述，nnn1 3nnS2ln 33ln 3 11 322；nnn1 3n1n1S2ln 2ln 3(n)ln 33ln 3ln 2 11 322nnnn3ln 3 1 n2Sn13ln 3ln 2 1,n.2， 為偶數(shù)，為奇數(shù)【拓展提升【拓展提升】幾類可以使用公式求

15、和的數(shù)列幾類可以使用公式求和的數(shù)列（1 1）等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過(guò)加、）等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過(guò)加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解求解. .（2 2）奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可）奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可以分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式. .（3 3）等差數(shù)列各項(xiàng)加上絕對(duì)值，等差數(shù)列乘以）等差數(shù)列各項(xiàng)加上絕對(duì)值，等差數(shù)列乘以(-1)(-1)n n.

16、.【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】解答下列各題：解答下列各題：（1 1）在等差數(shù)列）在等差數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=-60=-60，a a1717=-12,=-12,求其前求其前3030項(xiàng)的絕對(duì)項(xiàng)的絕對(duì)值之和值之和. .（2 2）已知數(shù)列）已知數(shù)列aan n 為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，a a2 2=6,a=6,a5 5=162=162設(shè)設(shè)S Sn n是數(shù)列是數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和，求項(xiàng)和，求S Sn n【解析【解析】（1 1）設(shè)等差數(shù)列的前）設(shè)等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，前，前n n項(xiàng)的絕對(duì)值之項(xiàng)的絕對(duì)值之和為和為SSn n，由由-60+16d=-12-60+16d

17、=-12得得d=3d=3，a an n=-60+3(n-1)=3n-63=-60+3(n-1)=3n-63，由此可知當(dāng)由此可知當(dāng)n20n20時(shí)，時(shí)，a an n00,a(a0,a1 1）1)n(nk11 11()n nkk nnk214n121111()4n12 2n12n11nn11n1nnn1 a1log (1)naaa1log (1)logn1log nn【提醒【提醒】裂項(xiàng)相消法要注意相消后剩下的是哪些項(xiàng)，不要漏寫裂項(xiàng)相消法要注意相消后剩下的是哪些項(xiàng)，不要漏寫或?qū)戝e(cuò)或?qū)戝e(cuò). 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的各項(xiàng)均為正數(shù)，的各項(xiàng)均為正數(shù)，a a1 1=3=3，前，前n

18、n項(xiàng)和項(xiàng)和為為S Sn n，bbn n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, b, b1 1=1=1，且，且S S2 2b b2 2=64 ,S=64 ,S3 3b b3 3=960=960(1)(1)求求a an n與與b bn n. .(2)(2)求和：求和：【解析【解析】（1 1）設(shè)）設(shè)aan n 的公差為的公差為d d，bbn n 的公比為的公比為q q，則，則d d為正為正數(shù)，數(shù)，a an n=3+(n-1)d=3+(n-1)d，b bn n=q=qn-1n-1. .依題意有依題意有 解得解得 或或 ( (舍去舍去) )故故a an n=3+2(n-1)=2n+1,b=3+2(n-1)=2n+1,

19、bn n=8=8n-1n-1. .12n111SSS23322S b93d q960,S b6d q64,d2,q86d540q.3 ，（2 2）S Sn n=3+5+=3+5+ +（2n+1)=n(n+2),2n+1)=n(n+2),12n1111111SSS1 32 43 5n(n2)11111111(1)232435nn2111132n3(1).22n1n242 n1 n2考向考向 3 3 錯(cuò)位相減求和法錯(cuò)位相減求和法【典例【典例3 3】（1 1）數(shù)列）數(shù)列n4n4n-1n-1 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=_.=_.(2)(2)（20132013安慶模擬）設(shè)數(shù)列安慶模擬）設(shè)數(shù)列a

20、an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，且，且2a2an n=S=Sn n+2n+1(nN+2n+1(nN+ +).).求求a a1 1,a,a2 2,a,a3 3; ;求證：數(shù)列求證：數(shù)列aan n+2+2是等比數(shù)列是等比數(shù)列; ;求數(shù)列求數(shù)列nanan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. . 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）寫出和式）寫出和式S Sn n后，把該式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以后，把該式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以4 4后兩式相減后兩式相減. .（2 2）利用利用a an n與與S Sn n的關(guān)系求解的關(guān)系求解; ;證明證明 常數(shù)常數(shù); ;根據(jù)根據(jù)aan n+2+2為等比數(shù)列，求出為

21、等比數(shù)列，求出a an n，根據(jù)，根據(jù)nanan n的特征，利用錯(cuò)位相減法的特征，利用錯(cuò)位相減法求解求解. .n 1na2a2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）設(shè)）設(shè)a an n=n=n4 4n-1n-1, ,SSn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an n=1+2=1+24 41 1+3+34 42 2+ +n+n4 4n-1n-1，4S4Sn n=1=14+24+24 42 2+3+34 43 3+ +(n-1)+(n-1)4 4n-1n-1+n+n4 4n n，兩式相減得兩式相減得-3S-3Sn n=1+4=1+41 1+4+42 2+4+43 3+ +4+4n-1n-1-n-n4

22、 4n n答案：答案：nnnnn141n 43(1 3n) 413(3n1) 41S.9，n3n1) 419（2 2）由題意，當(dāng)）由題意，當(dāng)n=1n=1時(shí)，得時(shí)，得2a2a1 1=a=a1 1+3+3，解得，解得a a1 1=3.=3.當(dāng)當(dāng)n=2n=2時(shí)，得時(shí)，得2a2a2 2=(a=(a1 1+a+a2 2)+5,)+5,解得解得a a2 2=8.=8.當(dāng)當(dāng)n=3n=3時(shí)，得時(shí)，得2a2a3 3=(a=(a1 1+a+a2 2+a+a3 3)+7)+7，解得，解得a a3 3=18.=18.所以所以a a1 1=3,a=3,a2 2=8,a=8,a3 3=18.=18.因?yàn)橐驗(yàn)?a2an n

23、=S=Sn n+2n+1,+2n+1,所以有所以有2a2an+1n+1=S=Sn+1n+1+2n+3+2n+3成立成立, ,兩式相減得：兩式相減得：2a2an+1n+1-2a-2an n=a=an+1n+1+2.+2.所以所以a an+1n+1=2a=2an n+2(nN+2(nN+ +) )，即即a an+1n+1+2=2(a+2=2(an n+2).+2).所以數(shù)列所以數(shù)列aan n+2+2是以是以a a1 1+2=5+2=5為首項(xiàng)，公比為為首項(xiàng)，公比為2 2的等比數(shù)列的等比數(shù)列. .由得由得:a:an n+2=5+2=52 2n-1n-1，即，即a an n=5=52 2n-1n-1-2

24、(nN-2(nN+ +).).則則nanan n=5n=5n2 2n-1n-1-2n(nN-2n(nN+ +).).設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列5n5n2 2n-1n-1 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為P Pn n, ,則則P Pn n=5=51 12 20 0+5+52 22 21 1+5+53 32 22 2+ +5+5(n-1)(n-1)2 2n-2n-2+ + 5 5n n2 2n-1n-1, ,所以所以2P2Pn n=5=51 12 21 1+5+52 22 22 2+5+53 32 23 3+ +5(n-1)+5(n-1)2 2n-1 n-1 +5n+5n2 2n n, ,所以所以-P-Pn n=5(

25、1+2=5(1+21 1+2+22 2+ +2+2n-1n-1)-5n)-5n2 2n n, ,即即P Pn n=(5n-5)=(5n-5)2 2n n+5(nN+5(nN+ +).).所以數(shù)列所以數(shù)列nna an n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和整理得，整理得，nnn n1T(5n5) 252,2 n2nT(5n5) 2nn5 nN.【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】把題（把題（1 1）中）中“數(shù)列數(shù)列n4n4n-1n-1”改為改為“數(shù)數(shù)列列 ” ”，求其前，求其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n. .【解析【解析】由題得由題得則則兩式錯(cuò)位相減得兩式錯(cuò)位相減得n2n12n23n1111S1352n1),2222 （

26、n234n 111111S1352n1)22222 （，n23nn 12n 1n 1nn 2nn111111S222(2n1)22222211(1)11222(2n1)12212112n3S3(2n1)3.222 ，【拓展提升【拓展提升】錯(cuò)位相減法求和的關(guān)注點(diǎn)錯(cuò)位相減法求和的關(guān)注點(diǎn)（1 1）要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情）要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形形. .（2 2）在寫出）在寫出“S Sn n”與與“qSqSn n”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“S Sn n-q

27、S-qSn n”的表達(dá)式的表達(dá)式. .【變式備選【變式備選】a a2 2，a a5 5是方程是方程x x2 2-12x+27=0-12x+27=0的兩根，數(shù)列的兩根，數(shù)列aan n 是遞是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列增的等差數(shù)列，數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，且，且(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n ，bbn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .(2)(2)記記c cn n=a=an nbbn n，求數(shù)列，求數(shù)列ccn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn nnn1S1bnN.2 【解析【解析】(1)(1)解解x x2 2-12x+27=0-12x+27=0得得x x1 1=3,x=

28、3,x2 2=9=9，因?yàn)橐驗(yàn)閍an n 是遞增的，所以是遞增的，所以a a2 2=3=3，a a5 5=9=9，解解 得得 所以所以a an n=2n-1.=2n-1.在在 中，令中，令n=1n=1得得當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)，時(shí)， 兩式相減得兩式相減得 所以所以bbn n 是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，5121aa4d9,aad3，1a1,d2，nn1S1b2 111112bS1b ,b23 ，nnn 1n 111S1b ,S1b,22 nn 1n11bbb ,22nn 1b1,b3n 1n1n12bb( ).33兩式相減得：兩式相減得：所以所以 nnnnn123n 1nn012n 2n 14n22 ca

29、b,34n124 124 224 324n2T,333334n124 124 224 324n23T,33333 n12n 1nn4444n24n42T24,33333nn2n2T2.3【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】解答數(shù)列求和問(wèn)題解答數(shù)列求和問(wèn)題【典例【典例】（1212分）（分）（20122012江西高考）已知數(shù)列江西高考）已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)項(xiàng)和和 （其中（其中kNkN+ +）, ,且且S Sn n的最大值為的最大值為8.8.（1 1）確定常數(shù)）確定常數(shù)k k，求，求a an n. .（2 2）求數(shù)列）求數(shù)列 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. .2n1Snkn2 nn92a2【

30、思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】 已知條件已知條件條件分析條件分析數(shù)列數(shù)列aan n 前前n n項(xiàng)和的最大值項(xiàng)和的最大值根據(jù)根據(jù)S Sn n最大值為最大值為8 8可得可得k k值值數(shù)列數(shù)列aan n 前前n n項(xiàng)和的表達(dá)式項(xiàng)和的表達(dá)式根據(jù)前根據(jù)前n n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可得數(shù)列得數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式數(shù)列數(shù)列 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法求和 nn92a2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）當(dāng)）當(dāng)n=kn=k，kNkN+ +時(shí)，時(shí)， 取最大值，取最大值，即即 2 2分分故故k k2 2=16=16，因此，因此k=4,k=4,3 3分分從而從而又又 適合適合 ，5

31、5分分所以所以 6 6分分2n1Snkn2 222k118Skkk22 ，nnn 19aSSn n2 .2117aS,2n9an2n9an.2（2 2）設(shè)）設(shè) 7 7分分 8 8分分所以所以 1212分分nnnn 192anb22，n12n2n 2n 1n01n 3n 223n1nTbbb1222223n1n2T2,2222 ，nnnn 2n 1n 2n 1n 1T2TT 11n2 12221nn244.2 22 【失分警示【失分警示】 （下文（下文見規(guī)范解答過(guò)程）見規(guī)范解答過(guò)程）1.1.（20132013安慶模擬）已知數(shù)列安慶模擬）已知數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=(

32、-1)=(-1)n n（n+1n+1），則），則a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a1010=( )=( )(A)-55 (B)-5 (C)5 (D)55(A)-55 (B)-5 (C)5 (D)55【解析【解析】選選C.C.由由a an n=(-1)=(-1)n n(n+1),(n+1),得得a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a1010=-2+3-4+5-6+=-2+3-4+5-6+-10+11=5-10+11=51=5.1=5.2.2.（20132013西安模擬）等差數(shù)列西安模擬）等差數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=2n+1=2n+1，其前

33、其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，則數(shù)列，則數(shù)列 的前的前1010項(xiàng)和為項(xiàng)和為( )( )(A)70 (B)75 (C)100 (D)120(A)70 (B)75 (C)100 (D)120【解析【解析】選選B.B.因?yàn)榈炔顢?shù)列因?yàn)榈炔顢?shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=2n+1=2n+1，所以，所以S Sn n=n=n2 2+2n,+2n,所以所以 3+4+5+3+4+5+12+1275.75.nSnnSn2n，3.3.（20122012大綱版全國(guó)卷）已知等差數(shù)列大綱版全國(guó)卷）已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，a a5 5=5=5，S S5

34、5=15=15，則數(shù)列，則數(shù)列 的前的前100100項(xiàng)和為項(xiàng)和為( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】選選A.A.由由a a5 5=5,S=5,S5 5=15,=15,得得a a1 1=1,d=1=1,d=1，所以，所以a an n=1+(n-1)=n=1+(n-1)=n，所以所以 又又nn 11a a1001019910199100101100nn 11111a an n1nn1，1210010111a aaa11111111001.1223100101101101 4.4.（20122012江西高考）已知數(shù)列江西高考）已知數(shù)列aan n 的前

35、的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=kc=kcn n-k-k（其中（其中c c，k k為常數(shù)），且為常數(shù)），且a a2 2=4=4，a a6 6=8a=8a3 3. .（1 1）求）求a an n. .（2 2）求數(shù)列）求數(shù)列nanan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. .【解析【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n1n1時(shí)，時(shí)，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=k(c=k(cn n-c-cn-1n-1），），則則a a6 6=k(c=k(c6 6-c-c5 5),a),a3 3=k(c=k(c3 3-c-c2 2) )，即即k(ck(c2 2-c-c1 1)=4)=4，解得，解得k=2

36、k=2，a an n=2=2n n（n n1 1），），當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)，a a1 1=S=S1 1=2=2，綜上所述，綜上所述a an n=2=2n n(nN(nN+ +）. .65362323accc8c2.a4acc ，(2)na(2)nan n=n=n2 2n n，則，則T Tn n=2+2=2+22 22 2+3+32 23 3+ +n+n2 2n n2T2Tn n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ + +（n-1)2n-1)2n n+n+n2 2n+1n+1- -得得-T-Tn n=2+2=2+22 2+2+23 3+ +2+2n n-n-n2 2

37、n+1n+1，T Tn n=2+(n-1)2=2+(n-1)2n+1n+1. .1.1.若數(shù)列若數(shù)列aan n 滿足滿足 (nN(nN+ +，d d為常數(shù)），則稱數(shù)列為常數(shù)），則稱數(shù)列aan n 為為“調(diào)和數(shù)列調(diào)和數(shù)列”. .已知正項(xiàng)數(shù)列已知正項(xiàng)數(shù)列 為為“調(diào)和數(shù)列調(diào)和數(shù)列”，且，且b b1 1+b+b2 2+b+b9 9=90=90，則，則b b4 4bb6 6的最大值是的最大值是( )( )(A)10 (B)100 (C)200 (D)400(A)10 (B)100 (C)200 (D)400【解析【解析】選選B.B.由已知得由已知得bbn n 為等差數(shù)列，且為等差數(shù)列，且b b4 4+b

38、+b6 6=20,=20,又又b bn n0,0,所以所以 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b b4 4=b=b6 6時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立. .n 1n11daan1b24646bbb b()1002，2.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=1,a=1,a2 2=2, =2, 則該數(shù)列的前則該數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為_._.【解析【解析】當(dāng)當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，a an+2n+2=a=an n+1+1，故奇數(shù)項(xiàng)組成了首項(xiàng)為，故奇數(shù)項(xiàng)組成了首項(xiàng)為1 1，公差為公差為1 1的等差數(shù)列，其前的等差數(shù)列，其前1010項(xiàng)之和等于項(xiàng)之和等于當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，a an+2n+2=2a=2an n，故偶數(shù)項(xiàng)組成了首項(xiàng)為，故偶數(shù)項(xiàng)組成了首項(xiàng)為2 2，公比為，公比為2 2的的等比數(shù)列，其前等比數(shù)列，其前1010項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為所以，數(shù)列所以，數(shù)列aan n 的前的前2020項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為55+2 046=2 10155+2 046=2 101答案：答案：2 1012 10122n 2nnna(1cos)asin22，10 91 10552；10112 12222 04612