精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修5 第二章 解三角形 單元測(cè)試 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[學(xué)生用書單獨(dú)成冊(cè)]) (時(shí)間：100分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的取值范圍是(　　) A．(8，10)　　　　　　　　 B．(，) C．(，10) D．(，8) 解析：選B.依題意，三角形為銳角三角形，則，解得

2、B．[，π) C．(0，] D．[，π) 解析：選C. 根據(jù)題意，由正弦定理得，a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc， 由余弦定理得，cos A＝≥＝. 又0

3、 B．有兩個(gè)解 C．無解 D．不能確定 解析：選C.由正弦定理得asin B＝bsin A＝4×sin 60°＝4×＝2. 又a＝，且<2，故△ABC無解． 5．將村莊甲、乙、丙看成三點(diǎn)A、B、C，正好構(gòu)成△ABC，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，tan C＝3.若·＝，且甲到丙的距離與乙到丙的距離之和為9，則甲、乙之間的距離為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：選C.因?yàn)閠an C＝3，所以＝3，又因?yàn)閟in2C＋cos2C＝1得cos C＝±.因?yàn)閠an C>0，所以C是銳角． 所以cos C＝.因?yàn)椤ぃ?，所以abcos C＝，所以ab＝20

4、.又因?yàn)閍＋b＝9，所以a2＋2ab＋b2＝81，所以a2＋b2＝41，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝36，所以c＝6，故選C. 6．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°， 所以AC＝3(負(fù)值舍去)．由正弦定理得＝＝. 7．已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為(　　) A．2 B．8 C. D. 解析：選C.因?yàn)椋剑剑?R＝8，

5、 所以sin C＝， 所以S△ABC＝absin C＝＝＝. 8．在△ABC中，AB＝3，A＝60°，AC＝4，則邊BC上的高是(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 因?yàn)锳B＝3，AC＝4，A＝60°， 所以BC＝，設(shè)邊BC上的高為h， 所以S△ABC＝BC·h＝AB·AC·sin A， 即·h＝×3×4×， 所以h＝. 9. 某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽(如圖)，它由腰長為1，頂角為α的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為(　　) A．2sin α－2cos α

6、＋2 B．sin α－cos α＋3 C．3sin α－cos α＋1 D．2sin α－cos α＋1 解析：選A.四個(gè)等腰三角形的面積之和為4××1×1×sin α＝2sin α，再由余弦定理可得正方形的邊長為＝，故正方形的面積為2－2cos α，所以所求八邊形的面積為2sin α－2cos α＋2. 10．在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，則△ABC的面積為(　　) A．2 B. C．2或4 D.或2 解析： 選D.如圖，因?yàn)锳D＝AB·sin B＝<2，所以BD＝AB·cos B＝3， CD＝＝1， C′D＝＝1. 所以BC＝3－1＝2，BC

7、′＝3＋1＝4， 故△ABC有兩解， S△ABC＝BC·AD＝或S△ABC′＝BC′·AD＝2. 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上) 11．已知△ABC的面積S＝，A＝，則·＝________． 解析：S△ABC＝·AB·AC·sin A， 即＝·AB·AC·， 所以AB·AC＝4， 于是·＝||·||·cos A ＝4×＝2. 答案：2 12．在△ABC中，若b＝a，B＝2A，則△ABC為________三角形． 解析：由正弦定理知sin B＝sin A， 又因?yàn)锽＝2A，所以sin 2A＝sin A， 所以2sin Acos

8、 A＝sin A， 所以cos A＝，所以A＝45°，B＝90°. 故△ABC為等腰直角三角形． 答案：等腰直角 13．某小區(qū)的綠化地有一個(gè)三角形的花圃區(qū)，若該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別用A，B，C表示，其對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(2b－c)cos A－acos C＝0，則在A處望B，C所成的角的大小為________． 解析：在△ABC中，(2b－c)cos A－acos C＝0，結(jié)合正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0，即2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，即2sin Bcos A－sin B＝0.又因?yàn)锳，B∈(0，π)，所以

9、sin B≠0，所以cos A＝，所以A＝，即在A處望B，C所成的角的大小為. 答案： 14．在銳角△ABC中，BC＝1，B＝2A，則的值等于________，AC的取值范圍為________． 解析：設(shè)A＝θ?B＝2θ. 由正弦定理得＝， 所以＝1?＝2. 由銳角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°， 故30°<θ<45°?

10、CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m. 解析：根據(jù)題圖知，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝?AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60°， 所以MN＝100×＝150(m)． 答案：150 三、解答題(本大題共5小題，共55分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分10分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C，且·＝4，求△ABC

11、的面積S. 解：由已知得b2＋c2＝a2＋bc， 所以bc＝b2＋c2－a2＝2bccos A， 所以cos A＝，sin A＝. 由·＝4，得bccos A＝4，所以bc＝8， 所以S＝bcsin A＝2. 17．(本小題滿分10分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)， 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝， 所以ac＝9，解得a＝3，c＝3. (2)

12、在△ABC中，sin B＝＝， 由正弦定理得sin A＝＝. 因?yàn)閍＝c，所以A為銳角． 所以cos A＝＝. 因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝. 18．(本小題滿分10分)為保障高考的公平性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)周圍1 km處不能收到手機(jī)信號(hào)，檢查員抽查青島市一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西約 km有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時(shí)12 km的速度沿公路行駛，問最長需要多少分鐘，檢查員開始收不到信號(hào)，并至少持續(xù)多少時(shí)間該考點(diǎn)才算合格？ 解：如圖，考點(diǎn)為A，檢查開始處為B，設(shè)公路上C、D兩點(diǎn)到考點(diǎn)的距離為1

13、 km. 在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠ABC＝30°， 由正弦定理，得sin∠ACB＝·AB＝， 所以∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合題意)， 所以∠BAC＝30°，所以BC＝AC＝1， 在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°， 所以△ACD為等邊三角形，所以CD＝1. 因?yàn)椤?0＝5(min)， 所以在BC上需5 min，CD上需5 min.最長需要5 min檢查員開始收不到信號(hào)，并至少持續(xù)5 min才算合格． 19．(本小題滿分12分)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘

14、輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？ 解：連接DC. 由題意知AB＝5(3＋)海里， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， 則∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得 ＝， 所以DB＝ ＝ ＝ ＝＝10(海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋30°＝60°， BC＝20(海里)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1

15、 200－2×10×20×＝900， 得CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))． 所以該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)． 20．(本小題滿分13分)已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長分別為a，b，c，若a＝2bsin A. (1)求B的大??； (2)求cos A＋sin C的取值范圍． 解：(1)由a＝2bsin A， 根據(jù)正弦定理得sin A＝2sin Bsin A， 所以sin B＝，由△ABC為銳角三角形得B＝. (2)cos A＋sin C＝cos A＋sin(π－－A) ＝cos A＋sin(＋A) ＝cos A＋cos A＋sin A ＝sin(A＋)． 由△ABC為銳角三角形且B＝知， A＋C＝，因0