高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第一節(jié) 全等與相似課件 文

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1、選修4-1 幾何證明選講第一節(jié) 全等與相似1.1.圖形變化的不變性與平移、旋轉(zhuǎn)、反射圖形變化的不變性與平移、旋轉(zhuǎn)、反射(1)(1)圖形變化的不變性圖形變化的不變性圖形在變化過程中，有些性質(zhì)改變了，有些性質(zhì)仍然保持圖形在變化過程中，有些性質(zhì)改變了，有些性質(zhì)仍然保持_._.常見的圖形變化，如平移、常見的圖形變化，如平移、_、_、相似（包括位、相似（包括位似）似）. .不不變變旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱軸對(duì)稱(2)(2)平移、旋轉(zhuǎn)、反射平移、旋轉(zhuǎn)、反射平移變換：圖形的平移變換：圖形的_過程稱為平移變換過程稱為平移變換. .旋轉(zhuǎn)變換：圖形的旋轉(zhuǎn)變換：圖形的_過程稱為旋轉(zhuǎn)變換過程稱為旋轉(zhuǎn)變換. .反射變換：一個(gè)圖形

2、反射變換：一個(gè)圖形F F繞一條直線繞一條直線l翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)_得到另外一個(gè)得到另外一個(gè)圖形圖形FF，則，則F F與與FF關(guān)于關(guān)于l_，這種圖形的變化過程稱為反，這種圖形的變化過程稱為反射變換，直線射變換，直線l稱為反射軸稱為反射軸. .平移平移旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)180180對(duì)稱對(duì)稱平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換的性質(zhì)平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換的性質(zhì)一個(gè)圖形通過平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換變?yōu)榱硗庖粋€(gè)圖一個(gè)圖形通過平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換變?yōu)榱硗庖粋€(gè)圖形，其對(duì)應(yīng)線段的長度形，其對(duì)應(yīng)線段的長度_，對(duì)應(yīng)角的大小，對(duì)應(yīng)角的大小_._.因此，變因此，變換前后兩個(gè)圖形是換前后兩個(gè)圖形是_的，但圖形的位置可能發(fā)生改變的

3、，但圖形的位置可能發(fā)生改變. .不變不變不變不變?nèi)热?.2.相似與位似相似與位似(1)(1)相似變換：兩個(gè)圖形的形狀相同，但大小不同，這兩個(gè)圖相似變換：兩個(gè)圖形的形狀相同，但大小不同，這兩個(gè)圖形是形是_._.把一個(gè)圖形按一定比例把一個(gè)圖形按一定比例_或或_，這種圖，這種圖形的變化過程稱為相似變換形的變化過程稱為相似變換. .(2)(2)位似變換：把一個(gè)圖形變?yōu)樗奈凰谱儞Q：把一個(gè)圖形變?yōu)樗腳圖形，這種圖形的變圖形，這種圖形的變化過程稱為位似變換化過程稱為位似變換. .相似圖形相似圖形放大放大縮小縮小位似位似(3)(3)相似與位似變換的性質(zhì)相似與位似變換的性質(zhì)一個(gè)圖形通過相似變換（或位似變

4、換）變?yōu)榱硗庖粋€(gè)圖形一個(gè)圖形通過相似變換（或位似變換）變?yōu)榱硗庖粋€(gè)圖形, ,其其形狀形狀_，對(duì)應(yīng)角的大小，對(duì)應(yīng)角的大小_， 但圖形的但圖形的_發(fā)生了改變發(fā)生了改變. .位似變換是一種特殊的位似變換是一種特殊的_變換變換. .不變不變不變不變位置位置相似相似3.3.平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理（1 1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，截）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，截得的對(duì)應(yīng)線段得的對(duì)應(yīng)線段_._.（2 2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），截得的對(duì)應(yīng)線段延長線），截得的對(duì)應(yīng)

5、線段_._.（3 3）三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所）三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊_._.成比例成比例成比例成比例對(duì)應(yīng)成比例對(duì)應(yīng)成比例4.4.直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理直角三角形的每一條直角邊是它在斜邊上的射影與斜邊的直角三角形的每一條直角邊是它在斜邊上的射影與斜邊的_，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的_._.比例比例中項(xiàng)中項(xiàng)比例中項(xiàng)比例中項(xiàng)判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或或“”）. .（1 1）三角形相似不

6、具有傳遞性）三角形相似不具有傳遞性.( ).( )（2 2）相似多邊形不具有面積比等于相似比的平方的性質(zhì)）相似多邊形不具有面積比等于相似比的平方的性質(zhì).( ).( )（3 3）相似三角形的內(nèi)切圓的半徑之比等于相似比）相似三角形的內(nèi)切圓的半徑之比等于相似比.( ).( )（4 4）兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，一組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角相等的兩三角）兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，一組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角相等的兩三角形相似形相似.( ).( )【解析【解析】（1 1）錯(cuò)誤，三角形相似具有傳遞性，即）錯(cuò)誤，三角形相似具有傳遞性，即ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1，A A1 1B B1 1C C1 1A A2 2B B2

7、2C C2 2，則，則ABCABCA A2 2B B2 2C C2 2. .（2 2）錯(cuò)誤，可以通過作輔助線將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形加以證）錯(cuò)誤，可以通過作輔助線將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形加以證明明（3 3）正確）正確, ,由相似三角形的定義知，由相似三角形的定義知，BAC=BACBAC=BAC，1=21=2，由直角三角，由直角三角形相似的判定方法知，形相似的判定方法知，RtRtADIRtADIRtADIADI,可知結(jié)論正確可知結(jié)論正確. .(4)(4)錯(cuò)誤，如圖，錯(cuò)誤，如圖，B=B,B=B,當(dāng)當(dāng) 時(shí)相似時(shí)相似. .當(dāng)當(dāng) 時(shí)不相似時(shí)不相似. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4）A

8、BACA BA C ABACA BA C 考向考向 1 1 平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理【典例【典例1 1】(2013(2013合肥模擬合肥模擬) )在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，AD=2AD=2，BC=5BC=5，點(diǎn)，點(diǎn)E E，F(xiàn) F分別在分別在ABAB，CDCD上，且上，且EFADEFAD，若，若 求求EFEF的的長度長度. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】把梯形的兩腰把梯形的兩腰BABA，CDCD延長交于一點(diǎn)，利用平行線延長交于一點(diǎn)，利用平行線分線段成比例定理可求解分線段成比例定理可求解. .AE3EB4，【規(guī)范解答【規(guī)范解答】如圖，延長如圖，延長BABA

9、，CDCD交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.P.ADBC, ADBC, ADEFADEF，又又AD=2,AD=2,PAAD2,PBBC5PA2.AB3AE3AE3EB4AB7PA14PA14.AE9PE23又，ADPA14.EFPE2323EF.7【拓展提升【拓展提升】平行線分線段成比例定理及推論的應(yīng)用平行線分線段成比例定理及推論的應(yīng)用(1)(1)利用平行線分線段成比例定理來計(jì)算或證明，首先要觀察利用平行線分線段成比例定理來計(jì)算或證明，首先要觀察平行線組，再確定所截直線，進(jìn)而確定比例線段及比例式，同平行線組，再確定所截直線，進(jìn)而確定比例線段及比例式，同時(shí)注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運(yùn)用時(shí)注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運(yùn)用

10、（2 2）平行線分線段成比例定理及推論是證明兩條線段相等的）平行線分線段成比例定理及推論是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，特別是在應(yīng)用推論時(shí)，一定要明確哪一條線段平行重要依據(jù)，特別是在應(yīng)用推論時(shí)，一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊，是否過一邊的中點(diǎn)于三角形的一邊，是否過一邊的中點(diǎn). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】如圖，在如圖，在ABCDABCD中，中，H H，E E分別是分別是ADAD，ABAB延長線上延長線上一點(diǎn)，一點(diǎn)，HEHE交交DCDC于于K K，交，交ACAC于于G G，交，交BCBC于于F.F.求證：求證：GHGKGHGKGEGF.GEGF.【證明【證明】要證要證GHGHGKGKGEGEG

11、FGF，即證即證由由ADBCADBC，得，得 由由ABCDABCD，即即GHGHGK=GEGK=GEGF.GF.GHGE.GFGKGHAGGFCG；GEAGGHGEGKCGGFGK得，故，考向考向 2 2 相似三角形的判定和性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)【典例【典例2 2】如圖所示，在如圖所示，在ABCABC中，中，ADAD為為BCBC邊上的中線，邊上的中線，F(xiàn) F為為ABAB上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，CFCF交交ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)E.E.求證：求證：AEBFAEBF2DEAF.2DEAF.【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作ABAB的平行線交的平行線交FCFC于點(diǎn)于點(diǎn)N N，交，交ACAC于點(diǎn)于

12、點(diǎn)M M，由，由AFEAFEDNEDNE可得對(duì)應(yīng)線段成比例，再轉(zhuǎn)化為乘積式即可可得對(duì)應(yīng)線段成比例，再轉(zhuǎn)化為乘積式即可. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作ABAB的平行線的平行線DMDM交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)M M，交，交FCFC于點(diǎn)于點(diǎn)N.N.在在BCFBCF中，中，D D是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DNBFDNBF，DNAFDNAF，AFEAFEDNEDNE，即即AEAEBFBF2DE2DEAF.AF.1DNBF.2AEDE1.DNBFAFDN2AE2DEAFBF又，【拓展提升【拓展提升】1.1.證明相似三角形的一般思路證明相似三角形的一般思路(1)(1)先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等先找兩對(duì)

13、內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等. .(2)(2)若只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，再判定這個(gè)角的兩鄰邊是否對(duì)應(yīng)若只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，再判定這個(gè)角的兩鄰邊是否對(duì)應(yīng)成比例成比例. .(3)(3)若無角對(duì)應(yīng)相等，就要證明三邊對(duì)應(yīng)成比例若無角對(duì)應(yīng)相等，就要證明三邊對(duì)應(yīng)成比例2 2作平行線的方法作平行線的方法(1)(1)利用中點(diǎn)作出中位線可得平行關(guān)系利用中點(diǎn)作出中位線可得平行關(guān)系(2)(2)利用已知線段的比例，作線段的平行線利用已知線段的比例，作線段的平行線【提醒【提醒】解決平面幾何問題時(shí)解決平面幾何問題時(shí), ,當(dāng)條件較分散時(shí)當(dāng)條件較分散時(shí), ,可適當(dāng)添作輔可適當(dāng)添作輔助線助線, ,使得分散的條件適當(dāng)集中使得分散的條件適當(dāng)集中. .

14、【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2013(2013撫州模擬撫州模擬) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，D D是是ACAC的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，E E是是BDBD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AEAE的延長線交的延長線交BCBC于于F F，求，求 的值的值. .BFFC【解析【解析】過過D D點(diǎn)作點(diǎn)作DGBCDGBC，并交，并交AFAF于于G G點(diǎn)，點(diǎn)，EE是是BDBD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BE=DE.BE=DE.又又EBF=EDGEBF=EDG，BEF=DEGBEF=DEG，BEFBEFDEGDEG，則，則BF=DGBF=DG，BFFC=DGFC.BFFC=DGFC.又又DD是是ACAC的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則DGFC=12

15、DGFC=12，則則BFFC=12,BFFC=12,即即BF1.FC2考向考向 3 3 直角三角形的射影定理的應(yīng)用直角三角形的射影定理的應(yīng)用【典例【典例3 3】在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CDABCDAB于點(diǎn)于點(diǎn)D D，CD=6CD=6，E E為為ABAB中點(diǎn)，中點(diǎn)，ADDB=23ADDB=23，求，求ACAC和和CE.CE.【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】先利用射影定理求出先利用射影定理求出ADAD，DBDB的值，再根據(jù)條件求的值，再根據(jù)條件求出出ACAC和和CECE的值的值. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】設(shè)設(shè)AD=2tAD=2t，DB=3t(t0)DB=3t(t0)，由射影

16、定理得由射影定理得CDCD2 2=AD=ADDBDB，6 62 2=2t=2t3t3t，由射影定理知，由射影定理知，t6 t6 舍去 ，2ACAD AB2 65 660AC2 15.，AD2 6DB3 6ABADDB2 63 65 615CEAB622，斜邊，故，【拓展提升【拓展提升】對(duì)射影定理的理解和應(yīng)用對(duì)射影定理的理解和應(yīng)用(1)(1)利用直角三角形的射影定理解決問題首先確定直角邊與其利用直角三角形的射影定理解決問題首先確定直角邊與其射影射影. .（2 2）要善于將有關(guān)比例式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化，有時(shí)還要將）要善于將有關(guān)比例式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化，有時(shí)還要將等積式轉(zhuǎn)化為比例式或?qū)⒈壤睫D(zhuǎn)化為等積式，并且注意射影等積式轉(zhuǎn)化為比例式或?qū)⒈壤睫D(zhuǎn)化為等積式，并且注意射影定理的其他變式定理的其他變式【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2013(2013岳陽模擬）如圖，岳陽模擬）如圖，在在ABCABC中，中，ADBCADBC于于D D，DEABDEAB于于E E，DFACDFAC于于F F，求證：，求證：AEAB=AFAC.AEAB=AFAC.【證明【證明】ADBC,ADBC,ADBADB為直角三角形為直角三角形. .又又DEABDEAB，由射影定理知，由射影定理知，ADAD2 2=AE=AEAB.AB.同理可得同理可得ADAD2 2=AF=AFACAC，AEAEAB=AFAB=AFAC.AC.