高考數(shù)學復習 17-18版 第1章 第1課 集合的概念與運算

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1、 第一章　集合與常用邏輯用語 第1課集合的概念與運算 [最新考綱] 內容 要求 A B C 集合及其表示 √ 子集 √ 交集、并集、補集 √ 1．元素與集合 (1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?. (3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法． 2．集合間的基本關系 (1)子集：若對?x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A. (2)真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A，則AB或BA. (3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.

2、 (4)空集的性質：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本運算 并集 交集 補集 圖形表示 符號表示 A∪B A∩B ?UA 意義 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x?A} 4.集合關系與運算的常用結論 (1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個． (2)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. (4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(

3、正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何集合都有兩個子集．(　　) (2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C.(　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(　　) (4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　) [解析]　(1)錯誤．空集只有一個子集，就是它本身，故該說法是錯誤的． (2)錯誤．集合A是函數(shù)y＝x2的定義域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函數(shù)y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是拋物線y＝x2上的點集．因此A，B，C不相等． (3)錯誤．當x＝1時，不滿足互異性． (4)錯誤．當A＝

4、?時，B，C可為任意集合． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

5、3個元素，故該集合有23＝8(個)子集．] 5．(2017·鹽城期中模擬)若集合A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2

6、0，y＝0,1,2時，x－y＝0，－1，－2； 當x＝1，y＝0,1,2時，x－y＝1,0，－1； 當x＝2，y＝0,1,2時，x－y＝2,1,0. 根據(jù)集合中元素的互異性可知，B的元素為－2，－1,0,1,2，共5個． (2)若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根． 當a＝0時，x＝，符合題意； 當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝， 所以a的取值為0或.] [規(guī)律方法]　1.研究集合問題，首先要抓住元素，其次看元素應滿足的屬性；特別地，對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性，如題(1)． 2

7、．由于方程的不定性導致求解過程用了分類討論思想，如題(2)． [變式訓練1]　(1)(2017·啟東中學高三第一次月考)已知x2∈{0,1，x}，則實數(shù)x的值是________． (2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，則實數(shù)a的取值范圍為________． (1)－1　(2)　[(1)由集合中元素的互異性可知x≠0且x≠1. 又x2∈{0,1，x}，所以只能x2＝1，解得x＝－1或x＝1(舍去)． (2)∵A＝?，∴方程ax2＋3x－2＝0無實根， 當a＝0時，x＝不合題意； 當a≠0時，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－.] 集合間的基本關系 　(1

8、)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

9、，則m≤2. 當B≠?時，若B?A，如圖． 則 解得2＜m≤4. 綜上，m的取值范圍為m≤4.] [規(guī)律方法]　1.空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解，如題(2)． 2．已知兩集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的關系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀進行求解． [變式訓練2]　(1)設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝________. (2)設集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B?A，則實數(shù)

10、a的取值范圍是________． (1)2　(2)(－∞，－1]∪{1}　[(1)由題意可知a，b≠0，由集合相等的定義可知，a＋b＝0，∴a＝－b，即＝－1， ∴b＝1，故b－a＝2b＝2. (2)因為A＝{0，－4}，所以B?A分以下三種情況： ①當B＝A時，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關系，得 解得a＝1； ②當B≠?且BA時，B＝{0}或B＝{－4}， 并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，此時B＝{0}滿足題意； ③當B＝?時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－

11、1. 綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是a≤－1或a＝1.] 集合的基本運算 角度1　求集合的交集或并集 　(1)(2017·南京二模)設集合A＝{x|－2

12、}．] 角度2　交、并、補的混合運算 　(1)(2017·蘇錫常鎮(zhèn)二調)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，則A∪(?UB)＝________. (2)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，則陰影部分表示的集合是________． 圖1-1 (1){1,2,5}　(2)(－3，－1)　[(1)由題意可知?UB＝{1,5}，又A＝{1,2}，∴A∪(?UB)＝{1,2,5}． (2)由題意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴陰影部分表示的集合為M∩(?UN)＝(－3，－1)．] 角度3　利用

13、集合的運算求參數(shù) 　(1)(2017·南通二調)設集合A＝{－1,0,1}，B＝，A∩B＝{0}，則實數(shù)a的值為________. 【導學號：62172001】 (2)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝________. (3)設集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是________． (1)1　(2)0或3　(3)[1，＋∞)　[(1)∵A＝{－1,0,1}，B＝，A∩B＝{0}， ∴a－1＝0或a＋＝0(舍去)， ∴a＝1. (2)由A∪B＝A可知B?A， 又A＝{1,3，}，B＝{1，m}， 所以m＝3或

14、m＝，解得m＝0或m＝3或m＝1(舍去)． (3)由A∩B＝?可知，a≥1.] [規(guī)律方法]　1.求集合的交集和并集時首先應明確集合中元素的屬性，然后利用交集和并集的定義求解． 2．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍． 易錯警示：在解決有關A∩B＝?，A?B等集合問題時，往往忽視空集的情況，一定要先考慮?是否成立，以防漏解． [思想與方法] 1．在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，對求出的字母的

15、值，應檢驗是否滿足集合元素的互異性，以確保答案正確． 2．求集合的子集(真子集)個數(shù)問題，需要注意的是：首先，過好轉化關，即把圖形語言轉化為符號語言；其次，當集合的元素個數(shù)較少時，常利用枚舉法解決． 3．對于集合的運算，常借助數(shù)軸、Venn圖求解． (1)對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關系，求其中參數(shù)的取值范圍，關鍵在于轉化成關于參數(shù)的方程或不等式關系． (2)對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖，這是數(shù)形結合思想的又一體現(xiàn)． [易錯與防范] 1．集合問題解題中要認清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集還是其他類型集合)，要對

16、集合進行化簡． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關注對空集的討論，以防漏解． 3．解題時注意區(qū)分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系． 4．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心． 課時分層訓練(一) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．(2017·蘇州期中)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0}，則A∪B＝________. {－1,0,1}　[A∪B＝{0,1}∪{－1,0}＝{－1,0,1}．] 2．(2017·南京模擬)設集合

17、A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B＝________. 【導學號：62172002】 {x|0≤x≤2}　[A∩B＝{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4} ＝{x|0≤x≤2}．] 3．(2017·南通第一次學情檢測)已知集合A＝{x|0

18、θ＝________. 　[由A＝B可知cos θ＝，又θ為銳角，∴θ＝.] 5．(2017·鹽城三模)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，則集合C的子集的個數(shù)為________． 8　[由題意可知A∩B＝{1,3,5}， ∴C＝{1,3,5}， ∴集合C的子集共有23＝8個．] 6．(2017·南京三模)已知全集U＝{－1,2,3，a}，集合M＝{－1,3}．若?UM＝{2,5}，則實數(shù)a的值為________． 5　[∵M∪?UM＝U，∴U＝{－1,2,3,5}，∴a＝5.] 7．(2017·泰州中學高三摸底考試)已知集合A＝{x|x

19、>0}，B＝{－1,0,1,2}，則A∩B＝________. {1,2}　[A∩B＝{x|x>0}∩{－1,0,1,2}＝{1,2}．] 8．設全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，則B∩(?UA)＝________. 【導學號：62172003】 {2}　[∵A＝{1,3}，∴?UA＝{2,4}，∴B∩(?UA)＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．] 9．設集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中的元素個數(shù)為________． 6　[∵A＝{1,2,4}，B＝{2,3,4,5,6,8}， ∴集合B中共有6個元素．

20、] 10．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為________． 2　[集合A中元素滿足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中滿足這一要求的元素只有8和14.共2個元素．] 11．(2017·無錫模擬)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則實數(shù)a＝________. 【導學號：62172004】 0　[∵1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}， ∴1＝a＋2，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1. ①當a＋2＝1，即a＝－1時，此時a2＋3a＋3＝1，不滿足集合中元素的互異性

21、； ②當(a＋1)2＝1時，a＝0或a＝－2，又當a＝－2時，a2＋3a＋3＝1，不滿足集合中元素的互異性； ③當a2＋3a＋3＝1時，a＝－1或－2，由①②可知，均不滿足題意． 綜上可知，a＝0.] 12．已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩(?UB)＝________. {3}　[∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}， ∴A∪B＝{1,2,3}． 又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}， 又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．] B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．

22、(2016·全國卷Ⅱ改編)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，則A∪B＝________. {0,1,2,3}　[B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．] 2．(2016·天津高考改編)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，則A∩B＝________. {1,4}　[因為集合B中，x∈A，所以當x＝1時，y＝3－2＝1； 當x＝2時，y＝3×2－2＝4； 當x＝3時，y＝3×3－2＝7； 當x＝4時，y＝3×4－2

23、＝10. 即B＝{1,4,7,10}． 又因為A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．] 3．(2017·鹽城模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg(x－1)}，集合B＝{y|y＝}，則A∩B＝________. [2，＋∞)　[∵A＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}， B＝{y|y＝}＝{y|y≥2}， ∴A∩B＝{x|x≥2}．] 4．(2017·南通中學月考)已知集合M＝{1,2,3,4}，則集合P＝{x|x∈M，且2x?M}的子集的個數(shù)為________． 4　[由題意可知P＝{3,4}，故集合P的子集共有22＝4個．] 5

24、．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，則實數(shù)a的值為________. 【導學號：62172005】 0,1,2　[∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}． 由A∩B＝B可知B?A. ①當a＝0時，B＝?，滿足A∩B＝B； ②當a≠0時，B＝， 由B?A可知，＝1或＝2，即a＝1或a＝2. 綜上可知a的值為0,1,2.] 6．若x∈A，且∈A，就稱A是伙伴關系集合，則集合M＝的所有非空子集中具有伙伴關系的集合的個數(shù)為________． 3　[具有伙伴關系的元素組是－1，，2，所以具有伙伴關系的集合有3個：{－1}，，.]