2013-2017高考數學分類匯編-文科 第六章 數列 第1節(jié) 等差數列與等比數列

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1、 第六章 數列 第1節(jié) 等差數列與等比數列 題型70 等差、等比數列的通項及基本量的求解 1. (2013安徽文7）設為等差數列的前項和，，，則（ ）. A. B. C. D. 1.分析 借助等差數列前項和公式及通項公式的性質，計算數列的公差，進而得到的值. 解析 由等差數列性質及前項和公式，得，所以. 又，所以公差，所以.故選A. 2. （2013遼寧文14）已知等比數列是遞增數列，是的前項和.若是方 程的兩個根，則 . 2. 解析：因為，是方程的兩個根，且數列

2、是遞增的等比數列，所 以，，，所以. 3. （2013四川文16）在等比數列中，，且為和的等差中項，求數列的首項、公比及前項和. 3．分析 由已知列出兩個含和的方程并求解，再借助等比數列求和公式得． 解析 設該數列的公比為． 由已知，得所以解得（舍去） 故首項，公比.所以數列的前項和. 4. （2013山東文20）設等差數列的前項和為，且，. （1）求數列的通項公式； （2）設數列滿足，，求數列的前項和． 4.分析 （1）由于已知是等差數列，因此可考慮用基本量表示已知等式，進而求 出的通項公式.（2）先求出，進而求出的通項公式，再用錯位相減法求的 前項和. 解析

3、（1）設等差數列的前項為，公差為. 由，，得 解得因此. （2）由已知， 當時，； 當時，.所以. 由（1）知，所以. 所以. . 兩式相減，得，所以. 5.（2013浙江19）在公差為的等差數列中，已知，且成等比數列. （1）求，； （2）若，求 5.分析 （1）用把表示出來，利用成等比數列列方程即可解出， 進而根據等差數列的通項公式寫出.（2）根據（1）及確定數列的通項公式，確定 的符號，以去掉絕對值符號，這需要對的取值范圍進行分類討論. 解析（1）由題意得，，由，為公差為的

4、等差數列得， ，解得或.所以或.（2）設數列的前項和為. 因為，由（1）得，，所以當時， ； 當時，. 綜上所述， 6.（2014重慶文2）在等差數列中，，則（ ）. 7.（2014江蘇7）在各項均為正數的等比數列中，，，則的值是 ． 8.（2014新課標Ⅰ文17）（本小題滿分12分） 已知是遞增的等差數列，，是方程的根. （1）求的通項公式； （2）求數列的前項和. 9. （2014山東文19）（本小題滿分12分） 在等差數列中，已知公差，是與的等比中項. （1）求數列

5、的通項公式； （2）設，記，求. 10.（2014福建文17）（本小題滿分12分） 在等比數列中，. （1）求； （2）設，求數列的前項和. 11.（2014浙江文19）已知等差數列的公差，設的前項和為，，. （1）求及； （2）求的值，使得. 12.（2015北京文5）執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的值為（ ）. A.3 B. 4 C.5 D.6 12.解析 解法一:執(zhí)行程序框圖， ，， ，， ，， ，， 輸出.故選B. 解法二：由算法圖知是一個以3

6、為首項，為公比的等比數列，即，解得. 13.（2015全國文7）已知是公差為1的等差數列，為的前項和，若，則（ ）. A. B. C. D. 13.解析 解法一：由，，知， 解得.所以.故選B. 解法二：由，即，可得. 又公差，所以，即，解得. 則.故選B. 14.（2015全國1文13）在數列中，，為的前n項和.若，則 . 14.解析 由，得，即數列是公比為的等比數列. ，得. 15.（2015全國Ⅱ文9）已知等比數列滿足，，則（ ）. A.

7、 B. C. D. 15.解析 由等比數列的性質得，即，則 .所以有， 所以.故 .故選C. 16.（2015陜西文13）中位數為的一組數構成等差數列，其末項為，則該數列的 首項為________. 16.解析 若這組數有個，則，，又， 所以；若這組數有個，則，， 又，所以. 17.（2016江蘇8）已知是等差數列，是其前項和.若，，則的值是 . 17.20解析 設公差為，則由題意可得，解得，則. 18.（2016全國甲文17）等差數列中，，. （1）求的通項公式； （2

8、）設，求數列的前項和，其中表示不超過的最大整數，如，. 18.解析 （1），解得，所以（）. （2） . 19.（2017江蘇9）等比數列的各項均為實數，其前項的和為，已知，，則 ． 19.解析 解法一：由題意等比數列公比不為，由，因此，得． 又，得，所以．故填． 解法二（由分段和關系）：由題意，所以，即．下同解法一． 20.（2017全國1文17）記為等比數列的前項和.已知，. （1）求的通項公式； （2）求，并判斷，，是否成等差數列. 20.解析 （1）由題意設等比數列的首項為，公比為， 則，從而，即， 整理得，因此，所以， 數列

9、的通項公式為． （2）由（1）知， 因此 ． 所以，，成等差數列． 21.（2017全國2文17）已知等差數列的前項和為，等比數列的前項和為，，，. （1）若，求的通項公式； （2）若，求. 21.解析 (1)設的公差為，的公比為. 由等差數列、等比數列的通項公式可得，解得， 故的通項公式為. (2)由(1)及已知得，解得或. 所以或. 22.（2017北京文15）已知等差數列和等比數列滿足，，． （1）求的通項公式； （2）求和：． 22解析 （1）設的公差為， ，所以，所以. （2） 設的公比為，=，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以. 題

10、型71 等差、等比數列的求和問題的拓展 1.（2013廣東文11） 設數列是首項為，公比為的等比數列，則 ． 1.分析 由首項和公比寫出等比數列的前項，然后代入代數式求值.也 可以構造新數列，利用其前項和公式求解. 解析 方法一：. 方法二：因為，數列是首項為，公比為的等比數列，故所求代數式的值為. 2.（2015安徽理13） 已知在數列中，，，則數列的 前9項和等于 . 2.解析 由題意可得，又，所以是以為首項，為公差的等差數列， 所以.又滿足上式，所以， 所以.所以. 題型72 等差、等比數列的性質及其應用 1. （2013遼寧文

11、4 ）下面是關于公差的等差數列的四個命題： 數列是遞增數列； 數列是遞增數列； 數列是遞增數列；數列是遞增數列； 其中的真命題為 A. B. C. D. 1.分析 根據等差數列的性質判定. 解析 因為，所以，所以是真命題．因為，但是的符號不知道，所以是假命題.同理是假命題． 由，所以是真命題．故選D. 2. （2013江西文12）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于棵，若第一天植棵，以后每天植樹 的棵樹是前一天的倍，則需要的最少天數（）等于 . 2.解析 每天植樹的棵數構成以為首項，為

12、公比的等比數列，其前項和 .由，得.由于， 則，即. 3. （2013江蘇14） 在正項等比數列中，，，則滿足 的最大正整數的值為 . 3. 分析 首先由已知條件求出的公比與首項，然后根據求和公式和通項公式將不等式的 兩邊求出，用表示，得到關于的不等式，然后對不等式進行轉化，求得的取值范圍并 進行估算和驗證，從而得到的最大值. 解析 設的公比為，則由已知可得解得 于是，. 由可得，整理得. 由可得，即， 解得，即，可以驗證當時滿足，時不滿足，故的最大值為12. 4.(2013重慶文12） 若成等差數列，則

13、 . 4.分析 利用等差數列的有關知識先求出公差再運算求解. 解析 由題意得該等差數列的公差，所以. 5. (2013陜西文17）設表示數列的前項和. （1）若是等差數列，推導的計算公式； （2）若，且對所有正整數，有.判斷是否為等比數列，并證明你的結論. 5.分析 利用等差數列的性質倒序相加求和；等比數列的證明通過定義進行. 解析 （1）方法一：設的公差為，則 . 又，所以，所以． 方法二：設的公差為，則 ． 又, 所以， 所以. （2）是等比數列.證明如下： 因為，所以． 因為，，所以當時，有. 因此，是首項為且公比為的等比數列．

14、 6.（2014遼寧文9）設等差數列的公差為，若數列為遞減數列，則（ ） A． B． C． D． 7.（2014陜西文8）原命題為“若，則為遞減數列”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）. A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假 8. （2014廣東文13）等比數列的各項均為正數，且，則 ________. 9.（2014江西文13）在等差數列中，，公差為，前項和為，當且僅當時取得最大值，則的取值范圍是

15、 . 10.（2014陜西文16）（本小題滿分12分） 的內角所對的邊分別為. （1）若成等差數列，求證：； （2）若成等比數列，且，求的值. 11.（2015廣東文13）若三個正數，，成等比數列，其中，， 則 ． 11.解析 因為三個正數，，成等比數列，所以. 因為，所以. 12.（2015全國Ⅱ文5） 設是等差數列的前項和，若，則（ ）. A. B. C. D. 12.解析 由已知，則，. 又因為 .故選A. 13.（2017江蘇19）對于給定的正整數

16、，若數列滿足對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”． （1）證明：等差數列是“數列”； （2）若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列． 13.解析 （1）因為是等差數列，設其公差為，則， 從而當時， ，， 所以，因此等差數列是“數列”． （2）由數列既是“數列”，又是“數列”， 因此，當時， ① 當時， ② 由①知， ③ ④

17、 將③④代入②，得，其中， 所以是等差數列，設其公差為． 在①中，取，則，所以， 在①中，取，則，所以，從而數列是等差數列． 評注 這是數列新定義的問題，其實類似的問題此前我們也研究過，給出僅供參考． （2015南通基地密卷7第20題）設數列的各項均為正數，若對任意的，存在，使得成立，則稱數列為“型”數列． （1）若數列是“型”數列，且，，求； （2）若數列既是“型”數列，又是“型”數列，證明數列是等比數列． 解析 （1）由題意得，成等比數列， 且公比，所以． （2）由是“型”數列得成等比數列，設公比為， 由是“型”數列得成等比數列，設公比為； 成等比數列，設公

18、比為； 成等比數列，設公比為； 則，，， 所以，不妨令，則． 所以，， 所以， 綜上，從而是等比數列． 題型73 判斷或證明數列是等差、等比數列 1.（2014江蘇20）設數列的前項和為．若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱是“數列”． （1）若數列的前項和 ，求證：是“數列”； （2）設是等差數列，其首項，公差．若 是“數列”，求的值； （3）求證：對任意的等差數列，總存在兩個“數列”和，使得成立． 2.（2015廣東文19）設數列的前項和為，．已知，，， 且當時，． （1）求的值； （2）求證：為等比數列； （3）求數列的通項公式． 2.解析 （

19、1）當時，， 即，解得. （2）因為（）， 所以（）， 即（），亦即， 則. 當時，，滿足上式. 故數列是以為首項，公比為的等比數列. （3）由（2）可得，即， 所以數列是以為首項，為公差的等差數列， 所以，即， 所以數列的通項公式是. 3.（2015湖南文19）設數列的前項和為，已知，， 且. （1）證明：； （2）求. 3.解析（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即， 又，所以，故對一切，. （2）由（I）知，，所以，于是數列是首項，公比為的等比數列，數列是首項，公比為的等比數列，所以， 于是 ， 從而， 綜上所述，. 4.

20、（2015湖南文21）函數，記為的從小到大的第個極值點. （1）證明：數列是等比數列； （2）若對一切恒成立，求的取值范圍. 4.解析（1）， 令，由，得，即， 若，即，則； 若，即，則. 因此，在區(qū)間與上，的符號總相反， 于是當時，取得極值，所以， 此時，，易知， 而是常數， 故數列是首項為，公比為的等比數列. （2）對一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因為）. 設，則，令得， 當時，，所以在區(qū)間上單調遞減； 當時，，所以在區(qū)間上單調遞增； 因為，且當時，， 所以， 因此恒成立，當且僅當，解得， 故實數的取值范圍是. 5.（2016浙江文8）如圖所示，

21、點列分別在某銳角的兩邊上，且， (表示點與不重合) .若，為的面積，則（ ）. A .是等差數列 B.是等差數列 C.是等差數列 D.是等差數列 5.A解析 設點到對面直線的距離為，則.由題目中條件可知的長度為定值，則.那么我們需要知道的關系式，過點作垂直得到初始距離，那么和兩個垂足構成了直角梯形，那，其中為兩條線的夾角，那么，由題目中條件知，則.所，其中為定值，所以為等差數列.故選A. 6.（2017全國1文17）記為等比數列的前項和.已知，. （1）求的通項公式； （2）求，并判斷，，是否成等差數列. 6.解析 （1）由題意設等比數列的首項為，公比為， 則，從而，即， 整理得，因此，所以，數列的通項公式為． （2）由（1）知， 因此 ． 所以，，成等差數列．