2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 熱點(diǎn)探究課6 概率與統(tǒng)計(jì)中的高考熱點(diǎn)問題

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1、 熱點(diǎn)探究課(六)　 概率與統(tǒng)計(jì)中的高考熱點(diǎn)問題 [命題解讀]　1.概率與統(tǒng)計(jì)是高考中相對(duì)獨(dú)立的一個(gè)內(nèi)容，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量．該類問題以應(yīng)用題為載體，注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能力.2.概率問題的核心是概率計(jì)算，其中事件的互斥、對(duì)立、獨(dú)立是概率計(jì)算的核心，排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具，統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征，但近兩年全國(guó)卷突出回歸分析的考查.3.離散型隨機(jī)變量的分布列及其均值的考查是歷年高考的重點(diǎn)，難度多為中低檔類題目，特別是與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容滲透，背景新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的

2、工具性和交匯性． 熱點(diǎn)1　統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 以實(shí)際生活中的事例為背景，通過對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、抽象概括，作出估計(jì)、判斷，常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識(shí)交匯考查，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力． 　近幾年出現(xiàn)各種食品問題，食品添加劑會(huì)引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾?。疄榱私狻叭摺奔膊∈欠衽c性別有關(guān)，醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的60人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772430】 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 總計(jì) 男 6 30 女 總計(jì) 36 (1)請(qǐng)將如圖的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；若用分層抽樣的方法在患“三高”疾病

3、的人群中抽9人，其中女性抽多少人？ (2)為了研究“三高”疾病是否與性別有關(guān)，請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量K2的觀測(cè)值k，并說明是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“三高”疾病與性別有關(guān)． 下面的臨界值表供參考： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d) [解]　(1)完善補(bǔ)充列聯(lián)表如下： 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 總計(jì) 男 24 6 30

4、 女 12 18 30 總計(jì) 36 24 60 4分 在患“三高”疾病人群中抽9人，則抽取比例為＝， 所以女性應(yīng)該抽取12×＝3(人).6分 (2)根據(jù)2×2列聯(lián)表，則K2的觀測(cè)值 k＝＝10＞7.879.10分 所以在允許犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為是否患“三高”疾病與性別有關(guān).12分 [規(guī)律方法]　1.將抽樣方法與獨(dú)立性檢驗(yàn)交匯，背景新穎，求解的關(guān)鍵是抓住統(tǒng)計(jì)圖表特征，完善樣本數(shù)據(jù)． 2．(1)本題常見的錯(cuò)誤是對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想理解不深刻，作出無關(guān)錯(cuò)誤判定．(2)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，提出的假設(shè)是兩者無關(guān)． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]　柴靜《穹頂之下》的播出，讓大

5、家對(duì)霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出下表數(shù)據(jù)： x 4 5 7 8 y 2 3 5 6 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)． [解]　(1)散點(diǎn)圖如圖所示． 4分 (2)xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， ＝＝6，＝＝4， x＝42＋52＋72＋82＝154，6分 則＝＝＝1， ＝－＝

6、4－6＝－2， 故線性回歸方程為＝x＋＝x－2.8分 (3)由回歸直線方程可以預(yù)測(cè)，燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)為7.12分 熱點(diǎn)2　常見概率模型的概率 幾何概型、古典概型、相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率是高考的熱點(diǎn)，幾何概型主要以客觀題進(jìn)行考查，求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測(cè)度(面積、體積或長(zhǎng)度)；相互獨(dú)立事件，互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進(jìn)一步求分布列、均值與方差的基礎(chǔ)，求解該類問題要正確理解題意，準(zhǔn)確判定概率模型，恰當(dāng)選擇概率公式． 　近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，

7、現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1 000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)： “廚余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 廚余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率； (2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772431】 [解]　(1)廚余垃圾投放正確的概率約為 ＝＝. (2)設(shè)生活垃圾投放錯(cuò)誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確．事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃

8、圾總量，即P()約為＝0.7，所以P(A)約為1－ 0.7＝0.3. [規(guī)律方法]　1.本題求解的關(guān)鍵是從圖表中提煉數(shù)據(jù)信息，理解第(1)，第(2)問的含義． 2．第(2)問可直接求解，也可間接求解，即求垃圾投放正確的概率，然后通過1－P()求解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]　現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲． (1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率； (2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；

9、 (3)用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列． [解]　依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.2分 設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．則P(Ai)＝Ci4－i.4分 (1)這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率 P(A2)＝C22＝.6分 (2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3＋A4，且A3與A4互斥，7分 所以P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4) ＝C3·＋C4＝.8分 (3)依題設(shè)，ξ的所有可

10、能取值為0,2,4. 且A1與A3互斥，A0與A4互斥． 則P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3) ＝C1·3＋C3×＝， P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4) ＝C4＋C4＝.10分 所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4 P 12分 熱點(diǎn)3　離散型隨機(jī)變量的均值與方差(答題模板) 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是高考的一大熱點(diǎn)，每年均有解答題，屬于中檔題．復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題的理解與掌握，弄清隨機(jī)變量的所有取值是正確列隨機(jī)變量分布列和求均值與方差的關(guān)鍵，對(duì)概率的確定與轉(zhuǎn)化是

11、解題的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的核心，在備考中應(yīng)強(qiáng)化解答題的規(guī)范性訓(xùn)練． 　(本小題滿分12分)(2017·河北名校聯(lián)考)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)． [規(guī)范解答]　用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.2分 (1)P(A)＝

12、P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) ＝2＋2＋2＝.4分 (2)X的可能取值為2,3,4,5，5分 P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2) ＝2＋2＝，7分 P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝ P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝ 2＋2＝，8分 P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B

13、1)P(A2)P(B3)P(B4)＝ 2＋2＝，10分 P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P 11分 E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.12分 [答題模板]　求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟： 第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值． 第二步：求第一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率． 第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列． 第四步：求均值和方差． 第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范． [溫馨提示]　1.(1)求解的關(guān)鍵在于理解“甲在4局以內(nèi)”贏得比賽的含義，進(jìn)而將事件轉(zhuǎn)化為

14、“三個(gè)互斥事件”的概率和． (2)第(2)問中利用對(duì)立事件求P(X＝5)的概率． 2．步驟要規(guī)范，善于進(jìn)行文字符號(hào)轉(zhuǎn)化． 如第(1)問，引進(jìn)字母表示事件，或用文字?jǐn)⑹稣_，得2分；把事件拆分成A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得2分，計(jì)算概率值正確，得1分．第(2)問求出X的四個(gè)值的概率，每對(duì)一個(gè)得1分，列出隨機(jī)變量X的分布列得1分． 3．解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確，是得滿分的根本保證． 如第(1)問、第(2)問中概率值的計(jì)算要正確，否則不得分，分布列中計(jì)算四個(gè)概率的和是否為1，若和不為1，就有概率值出現(xiàn)錯(cuò)誤了，不得分． 圖1 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]　某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一

15、社區(qū)人們的治安滿意度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖1莖葉圖記錄了他們的治安滿意度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)． (1)若治安滿意度不低于9.5分，則稱該人的治安滿意度為“極安全”．求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極安全”的概率； (2)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)中任選3人，記X表示抽到“極安全”的人數(shù)，求X的分布列、均值與方差． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772432】 [解]　(1)設(shè)Ai表示所取3人中有i個(gè)人是“極安全”，且i＝0,1,2,3.至多有1人是“極安全”記為事件A，則A＝A0＋A1，2分 所以

16、P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.4分 (2)由莖葉圖可知，16人中任取1人是“極安全”的概率 P＝＝，依題意，X～B， 則P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.6分 所以P(X＝0)＝3＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝，P(X＝3)＝3＝.8分 X的分布列為 X 0 1 2 3 P 10分 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 或E(X)＝np＝. D(X)＝np(1－p)＝3××＝.12分 熱點(diǎn)4　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)．主

17、要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵，復(fù)習(xí)時(shí)要在這些圖表上下功夫，把這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義弄清楚，在此基礎(chǔ)上掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、各類概率的計(jì)算方法及均值與方差的運(yùn)算． 　(2017·濟(jì)南調(diào)研)2016年底，某城市地鐵交通建設(shè)項(xiàng)目已經(jīng)基本完成，為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意度，分別從不同地鐵站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分(滿分100分)，繪制如下頻率分布直方圖，并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級(jí)： 滿意度評(píng)分 低于 60分 60分 到79分 80分 到89分 不低 于90分 滿意度等級(jí) 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意 已知滿意度等級(jí)為基本滿意

18、的有680人． (1)若市民的滿意度評(píng)分相互獨(dú)立，以滿意度樣本估計(jì)全市市民滿意度．現(xiàn)從全市市民中隨機(jī)抽取4人，求至少有2人非常滿意的概率； (2)在等級(jí)為不滿意市民中，老年人占.現(xiàn)從該等級(jí)市民中按年齡分層抽取15人了解不滿意的原因，并從中選取3人擔(dān)任整改督導(dǎo)員，記X為老年督導(dǎo)員的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)； (3)相關(guān)部門對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行驗(yàn)收，驗(yàn)收的硬性指標(biāo)是：市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意指數(shù)不低于0.8，否則該項(xiàng)目需進(jìn)行整改，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該項(xiàng)目能否通過驗(yàn)收，并說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772433】 圖2 [解]　(1)由頻率分布直方圖可知 則10×(0.035＋

19、a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a＝0.025， 所以市民非常滿意的概率為0.025×10＝.2分 又市民的滿意度評(píng)分相互獨(dú)立， 故所求事件的概率P＝1－C04－C13＝1－＝.4分 (2)按年齡分層抽樣抽取15人進(jìn)行座談，則老年市民抽15×＝5人， 從15人中選取3名整改督導(dǎo)員的所有可能情況為C， 由題知X的可能取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，6分 X分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.8分 (3)由頻率分布

20、直方圖，得 (45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7， 所以估計(jì)市民滿意度程度的平均得分為80.7. 因此市民滿意度指數(shù)為＝0.807＞0.8， 所以該項(xiàng)目能夠通過驗(yàn)收.12分 [規(guī)律方法]　1.本題將頻率分布直方圖結(jié)合古典概型與均值，立意新穎、構(gòu)思巧妙．考查學(xué)生的識(shí)圖能力和數(shù)據(jù)處理能力． 2．求解時(shí)注意兩點(diǎn)： (1)明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率； (2)此類問題中的概率模型多是古典概型，在求解時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成，活用公式，本題X服從超幾何分布，利用其概率公式代入計(jì)算． [對(duì)

21、點(diǎn)訓(xùn)練4]　某市教育局為了了解高三學(xué)生體育達(dá)標(biāo)情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)X服從正態(tài)分布N(80，σ2)(滿分為100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位同學(xué)． (1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同學(xué)的概率； (2)記抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[75,85]的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值． [解]　(1)由X～N(80，σ2)，知P(x≤80)＝.2分 又P(x＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1， 則P(80

22、≤x＜85)＝P(75≤x≤80)＝P(x≤80)－P(x＜75)＝0.2.3分 P(85≤x＜95)＝P(x＞85)－P(x≥95)＝P(x＜75)－P(x≥95)＝0.2.4分 故所求事件的概率P＝0.2×0.2×0.1·A＝0.024.5分 (2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4， 所以ξ服從二項(xiàng)分布B(3,0.4)，6分 P(ξ＝0)＝0.63＝0.216， P(ξ＝1)＝C×0.4×0.62＝0.432， P(ξ＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288， P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，8分 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 E(ξ)＝3×0.4＝1.2.12分