楊輝三角ppt [高中數(shù)學(xué) 教學(xué)教案 PPT課件]

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1、第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 111 nC21 nC11 rnCrnC1 21 nnC第第n行行 11nC2nC1 nnC 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34rnrnrnCCC111 rnCrnrnrnCCC111 rnnrnCC 1 1）表中每個(gè)數(shù)都是組合數(shù)，第）表中每個(gè)數(shù)都是組合數(shù)，第n n行的第行的第r+1r+1個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 2 2）三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字）三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字

2、1 1，而其余，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加，也就是的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加，也就是 3 3）楊輝三角具有對(duì)稱性）楊輝三角具有對(duì)稱性 4 4）楊輝三角的第）楊輝三角的第n n行是二項(xiàng)式（行是二項(xiàng)式（a+ba+b）n n展開展開式的二項(xiàng)式系數(shù)即式的二項(xiàng)式系數(shù)即)!(!rnrnCrn nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 1110)(nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 1110)(證明：證明： 2 2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba 1110)(則當(dāng)則當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，時(shí)，

3、 1)(kba)(1110baCbaCbaCaCkkrrkrkkkkk kkkbrkrkkkkkabCbaCbaCaC111101+11+1+011+0+)(+(+(+=kkkkkkkkbrkrkrkkkkkkbCabCCbaCCbaCCaC )()(babak 1)1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)， 左邊左邊a+ba+b, ,右邊右邊a+ba+b所以等式成立所以等式成立1110 kkkkkkrrkrkkkbCabCbaCbaC利用組合數(shù)的重要性質(zhì)可得利用組合數(shù)的重要性質(zhì)可得 1111111111011)( kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba求證：求證： 中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家中世紀(jì)意大

4、利數(shù)學(xué)家斐波那契斐波那契的傳的傳世之作世之作算術(shù)之法算術(shù)之法中提出了一個(gè)饒有中提出了一個(gè)饒有趣味的問題：趣味的問題：假定一對(duì)剛出生的兔子一假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子設(shè)所生一對(duì)兔子均為一生一對(duì)小兔子設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無(wú)死亡問一對(duì)剛出生的雄一雌，且均無(wú)死亡問一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？ 在游藝場(chǎng)，可以看到如圖的彈子游戲，小在游藝場(chǎng)，可以看到如圖的彈子游戲，小球球 (黑色黑色 ) 向容器內(nèi)跌落，碰

5、到第一層阻向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層第二層阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是，一直下跌，最終小如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎(jiǎng)品。試問：為什域獲得獎(jiǎng)品。試問：為什么兩邊區(qū)獎(jiǎng)品高于中間區(qū)么兩邊區(qū)獎(jiǎng)品高于中間區(qū)獎(jiǎng)品？獎(jiǎng)品？ “縱橫路線圖縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從縱橫各有五條路，如果從A處走到處走到B處處 (只能由北到南，由西向東只能由北到南，由

6、西向東)，那么有多，那么有多少種不同的走法？少種不同的走法？ AB 從某種意義上說(shuō)從某種意義上說(shuō),發(fā)現(xiàn)問題發(fā)現(xiàn)問題更重要更重要.第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 111 nC21 nC11 rnCrnC1 21 nnC第第n行行 11nC2nC1 nnC 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34rnrnrnCCC111 rnC楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律. .1.研究斜行規(guī)律：研

7、究斜行規(guī)律：第一條斜線上：第一條斜線上：16C 第二條斜線上：第二條斜線上：26C 第三條斜線上：第三條斜線上：36C 第四條斜線上：第四條斜線上：46C 猜想：猜想：在楊輝三角中，第在楊輝三角中，第m條斜線（從右上到左下）條斜線（從右上到左下）上前上前n個(gè)數(shù)字的和，等于個(gè)數(shù)字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第第m+1條斜線上的第條斜線上的第n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù).1 11 11 1 1 1 （第第1 1條斜線條斜線 ）1 14 41010 （第第4 4條斜線條斜線 ）31 nC1 13 36 6 （第第3 3條斜線條斜線 ）21 nC1

8、 12 23 3 （第第2 2條斜線條斜線 ）11 nC (nr) rnrrrrrrCCCC1211nC2nC3nC4nC1 rnC?結(jié)論結(jié)論1：楊輝三角中，第楊輝三角中，第m條斜條斜(從右上從右上到左下到左下)上前上前n個(gè)數(shù)字的和，等于第個(gè)數(shù)字的和，等于第m+1條斜線上第條斜線上第n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù))(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr即即即即根據(jù)楊輝三角的對(duì)稱性，類似可得：楊輝三角根據(jù)楊輝三角的對(duì)稱性，類似可得：楊輝三角中，第中，第m條斜條斜(從左上到右下從左上到右下)上前上前n個(gè)數(shù)字的和個(gè)數(shù)字的和，等于第，等于第m+1條斜線上第條斜線上第n個(gè)數(shù)。個(gè)數(shù)。 125第第5行行 1 5 10 1

9、0 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 11381321342.如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契斐波那契的傳世之作的傳世之作算術(shù)之法算術(shù)之法中中提出了一個(gè)饒有趣味的問題：提出了一個(gè)饒有趣味的問題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月

10、就開始生下一對(duì)小兔子，并且以后能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均每個(gè)月都生一對(duì)小兔子設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無(wú)死亡問一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？無(wú)死亡問一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？ 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 在游藝場(chǎng)，可以看到如圖的彈子游戲，小球在游藝場(chǎng)，可以看到如圖的彈子游戲，小球 (黑色黑色 ) 向容器內(nèi)向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是，一直

11、下跌，最終阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎(jiǎng)品。試問：為什么兩邊區(qū)小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎(jiǎng)品。試問：為什么兩邊區(qū)獎(jiǎng)品高于中間區(qū)獎(jiǎng)品？獎(jiǎng)品高于中間區(qū)獎(jiǎng)品？“概率三角形” 12111824143838141218照這樣計(jì)算第照這樣計(jì)算第n+1層有層有n+1個(gè)通道，個(gè)通道，彈子通過(guò)各通道的概率將是？彈子通過(guò)各通道的概率將是？與楊輝三角有何關(guān)系？關(guān)系？ “縱橫路線圖縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題：如是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從果從A處走到處走到B處處

12、 (只能由北到南，由西向東只能由北到南，由西向東)，那，那么有多少種不同的走法？么有多少種不同的走法？ AB 由此看來(lái)，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系由此看來(lái)，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系 五五、小結(jié)、小結(jié)2 2、楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律、楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律 1 1、楊輝三角蘊(yùn)含的基本性質(zhì)、楊輝三角蘊(yùn)含的基本性質(zhì)第0行11、楊輝三角的第、楊輝三角的第2k-1行的各數(shù)字特點(diǎn)行的各數(shù)字特點(diǎn)第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC1

13、1rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 12、楊輝三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有數(shù)，則行數(shù)P是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù)) 華羅庚華羅庚（1910-1985）是一位具有世界聲譽(yù)的數(shù)是一位具有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)家，我國(guó)進(jìn)入世界數(shù)學(xué)

14、學(xué)家，我國(guó)進(jìn)入世界數(shù)學(xué)行列最杰出的代表行列最杰出的代表,是中國(guó)是中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的創(chuàng)始人。他在數(shù)學(xué)競(jìng)賽的創(chuàng)始人。他在數(shù)論、典型群、高維數(shù)值數(shù)論、典型群、高維數(shù)值積分等方面作出了卓越的積分等方面作出了卓越的貢獻(xiàn)，撰寫了不少高質(zhì)量貢獻(xiàn)，撰寫了不少高質(zhì)量專著、論文和科普著作。專著、論文和科普著作。 在他的科普著作在他的科普著作從從楊輝三角談起楊輝三角談起中，對(duì)中，對(duì)楊楊輝輝三角的構(gòu)成，提出了一三角的構(gòu)成，提出了一種有趣的看法。種有趣的看法。3:2（04. 上海春季高考）如圖，在由二項(xiàng)式系上海春季高考）如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第_行中從行中從左至右第左至右第14

15、與第與第15個(gè)數(shù)的比為個(gè)數(shù)的比為 .34練習(xí)練習(xí)1:練習(xí)練習(xí)2：4 7 7 412 23 4 35 11 14 11 56 16 25 25 16 6則第則第n 行（行（n 2 ）第）第2個(gè)數(shù)是什么？個(gè)數(shù)是什么？ 分析分析:設(shè)第設(shè)第 n 行的第行的第 2 個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 an ,則則a2 = 2 ,an+1 = an + n an = 2 + 2 + 3 + ( n-1) 22nn2練習(xí)練習(xí)3：3 5 6 9 10 12 17 18 20 2433 34 36 40 48 65 66 68 72 8 0 96則表中各數(shù)按從小到大的順序排列，則表中各數(shù)按從小到大的順序排列，第第100個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 多少？多少？分析:首先計(jì)算第100 個(gè)數(shù)位于表中第幾行, 1 + 2 + 3 + + 13 = 91第100 個(gè)數(shù)位于第 14 行,第 9 個(gè)數(shù)其次計(jì)算第 14 行第1個(gè)數(shù): 3 + 21 + 22 + +213 = 16385最后計(jì)算第 9 個(gè)數(shù):16385 + 20 +21 +22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 =16640