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1、
備課資料
備用習題
1.如圖15，P是△ABC所在平面外的一點，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心.
圖15
（1）求證：平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）求△A′B′C′與△ABC的面積之比.
證明：（1）連接PA′、PB′、PC′并延長交BC、AC、AB于D、E、F，連接DE、EF、DF.
∵A′、C′分別是△PBC、△PAB的重心,
∴PA′=，PC′=.
∴A′C′∥DF.∵A′C′平面ABC，DF平面ABC,
∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′=A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′,
2、
∴平面ABC∥平面A′B′C′.
（2）由（1）知A′C′，又DF，∴A′C′AC.
同理,A′B′，B′C′.∴△A′B′C′∽△ABC.
∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.
2.已知：如圖16，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.
圖16
求證：AB=CD.
證明：∵AB∥CD，
∴過AB、CD的平面γ與平面α和β分別交于AC和BD.
∵α∥β，∴BD∥AC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD.
3.如圖17，已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，E、F分別為AB、CD的中點.
求證：EF∥α，EF∥β.
圖17
3、
證明：當AB、CD共面時，平面ABCD∩α=AC，平面ABCD∩β=BD.
∵α∥β，∴AC∥BD.
∵E、F分別為AB、CD的中點，∴EF∥AC.
∵ACα，EFα，∴EF∥α.同理,EF∥β.
當AB、CD異面時，∵ECD，
∴可在平面ECD內(nèi)過點E作C′D′∥CD，與α，β分別交于C′，D′.
平面AC′BD′∩α=AC′，平面AC′BD′∩β=BD′，
∵α∥β，∴AC′∥BD′.
∵E是AB中點，∴E也是C′D′的中點.
平面CC′D′D∩α=CC′，平面CC′D′D∩β=DD′，∵α∥β，
∴CC′∥DD′.
∵E、F分別為C′D′、CD的中點，∴EF∥CC′，EF∥DD′.
∵CC′α，EFα,∴EF∥α.同理,EF∥β.
(設計者：釋翠香)
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