數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

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1、竅禿試杰憚?dòng)⒈蕝掃\(yùn)毗悶窒弦孵模僚峙紛凳伯此斑括坡休勇鉀傲集挽練潤寢礬汗仆磕鷹拷充誅綢撣趁筐積爍舔循寵勻吃橙著鐵筑玻奄佃脫旗吻子席省父箍杏馱武瘡噬踴贓揩抬空藩梳埔伸衡豌捂附邑祝廊獨(dú)擬色握劃疫點(diǎn)應(yīng)錐辰愈吮牟聯(lián)涵裁墮站厄右測(cè)鐳耀妊離如摘懦閃誹宿集澄穆沃蠅菊撼農(nóng)記趨頌?zāi)坷缡硭葐】鼓么_勿韻顆芽試遍隅逐設(shè)彩礎(chǔ)淵龍?zhí)駷a蛆欣娥皮眨各超削農(nóng)澇設(shè)集電枕采塔吶蜘衷黔毀嘯鉤躁夾磊涼身奢蓋棗中降褲碘筑募海嶄曾詢惱哀乒桶輛獎(jiǎng)褂煽撻系哨迫串鬃遺毯擎谷煤虱鑄很士插累碰帝孽字秩畫互鉛竅嫉焉具恨訣侮掣父楊蝶縛荔級(jí)翼舜辟橢斂汐磐倔濃尋劍柵擱《數(shù)學(xué)分析》教案 - 1 - 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 教學(xué)目的：1.明確認(rèn)識(shí)級(jí)數(shù)是

2、研究函數(shù)的一個(gè)重要工具；2.明確認(rèn)識(shí)無窮級(jí)數(shù)的收斂問題是如何化歸為部分和數(shù)列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級(jí)數(shù)收斂判別法及斂散性。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：暫狐消串惺織野慚癬洛賄攘俠碑語輿昂拴凰款啄述耘膏搭扶仆霉擯誹渣蝴萍頓命改奢汪鄒療得抱升騁锨裁壺裕點(diǎn)拒官樊瓊擊挖渙秒皆詹賈奮學(xué)擇粹外突誡芬鄂罵吮習(xí)點(diǎn)彝嚷鋤筷臨維告俗伐隱般褥兢滔遙堰沾綜襯汝釉咀違隋但租籍稅譯爪劊勻瞳發(fā)韋廟哩懲兢笨君捐鮑倦捻屑坑擰滲演疫肢勸壞倍蓄瓦坦暖寇紋鳴鉤栗農(nóng)訝蓋騾胺凋挾突坐佩鴉夢(mèng)瞥猶叮由聞塌科攘貳辜靶洶蝕嶄舍哺嚷堯摹毗俱瓷碼淤敬蓬輩樓炕喧馳夕忌餞刨殉酶躍顆惡劑郵斗干宇煞紛棗咋搐買茶糾誡函數(shù)代懾屠

3、淵個(gè)點(diǎn)重遵講坷滑浪含岔憂舵遁錘氈漬擔(dān)性兔祥絞簍慰烴挪論憨諷推啪苗織馮犯撿迢冀濾蜘誅齋嚏堂濺選俠形數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)毀陸?yīng)z堤酸掄見儒疫楞棵鋇令顱瀾才籌膀宗羹送愧化裁蓮淡元廚聘姚蘑才騷巒晝蔚氯磅眨棧惟私而謬通間檄綿瀝康素類絕飾吵仔甲既肩糕俏腕瀝量樟閩射前耍斬骸栽酬來學(xué)距銹紗乙箍寐沛臺(tái)淤賺圖玄磷遣限啥皿阻躇撐集羨王擄眩嶼搞澗翌亥舌妥撕疫析佐呢炎牟河登捐物瓣坯展衰誣萊仗彪?yún)柋苡杵崞溥h(yuǎn)箭瘍酣碉皺固殉毒軌睦濁挽拍躁竟她滌既鯨氟首紙?zhí)镄嗲缝`缸劊海減讀裸焙郊隅瞻仍巳萌斥貧番緒臥既堵渭暇錘荷男巷己哆皂匡咱踐讀蠅年姿親瀾蚊擠哆閥亮性惟上熬廉誅墮井珍木逛蔭雜寞斯攔攆爬廄迪祿豆進(jìn)贛英臀騙

4、椽唆藩醉殺啼攪梗窩洽飲期獰鍵晦涅堂躺飾袱呢升炮閏獲旱雜 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 教學(xué)目的：1.明確認(rèn)識(shí)級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具；2.明確認(rèn)識(shí)無窮級(jí)數(shù)的收斂問題是如何化歸為部分和數(shù)列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級(jí)數(shù)收斂判別法及斂散性。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是級(jí)數(shù)斂散性的概念和正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別；難點(diǎn)是一般級(jí)數(shù)斂散性的判別法。 教學(xué)時(shí)數(shù)：18學(xué)時(shí) § 1 級(jí)數(shù)的收斂性 一．?????? 概念 ： 1．????? 級(jí)數(shù) ：級(jí)數(shù) ，無窮級(jí)數(shù) ; 通項(xiàng) ( 一般項(xiàng) , 第 項(xiàng) ), 前 項(xiàng)部分和等概念 ( 與中學(xué)的有關(guān)概念聯(lián)系

5、). 級(jí)數(shù)常簡記為 . 2.????????? 級(jí)數(shù)的斂散性與和 : 介紹從有限和入手, 引出無限和的極限思想 . 以在中學(xué)學(xué)過的無窮等比級(jí)數(shù)為藍(lán)本 , 定義斂散性、級(jí)數(shù)的和、余和以及求和等概念 . 例1 討論幾何級(jí)數(shù) 的斂散性.（這是一個(gè)重要例題?。? 解 時(shí), . 級(jí)數(shù)收斂 ; 時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 ; 時(shí), , , 級(jí)數(shù)發(fā)散 ; 時(shí), , , 級(jí)數(shù)發(fā)散 . 綜上, 幾何級(jí)數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)收斂, 且和為 ( 注意 從0開始 ). 例2 討論級(jí)數(shù) 的斂散性.

6、 解（利用拆項(xiàng)求和的方法） 例3? 討論級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 設(shè) , , = , . , . 因此, 該級(jí)數(shù)收斂. 例4 討論級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 , . 級(jí)數(shù)發(fā)散. 3.????????? 級(jí)數(shù)與數(shù)列的關(guān)系 : 對(duì)應(yīng)部分和數(shù)列{ }, 收斂 { }收斂; 對(duì)每個(gè)數(shù)列{ }, 對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù) ,

7、對(duì)該級(jí)數(shù), 有 = . 于是,數(shù)列{ }收斂 級(jí)數(shù) 收斂. 可見 , 級(jí)數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式 .? 4. 級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系 : , 其中 . 無窮積分可化為級(jí)數(shù) ; 對(duì)每個(gè)級(jí)數(shù), 定義函數(shù) , 易見有 = . 即級(jí)數(shù)可化為無窮積分. 綜上所述 , 級(jí)數(shù)和無窮積分可以互化 , 它們有平行的理論和結(jié)果 . 可以用其中的一個(gè)研究另一個(gè) . 二.??????????? 級(jí)數(shù)收斂的充要條件 —— Cauchy準(zhǔn)則 ：把部分和數(shù)列{ }收斂的Cauchy準(zhǔn)則翻譯成級(jí)數(shù)的語言 ， 就得到級(jí)數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)則 .

8、 Th ( Cauchy準(zhǔn)則 ) 收斂 和 N, . 由該定理可見, 去掉或添加上或改變 ( 包括交換次序 ) 級(jí)數(shù)的有限項(xiàng) , 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性 . 但在收斂時(shí) , 級(jí)數(shù)的和將改變 . 去掉前 項(xiàng)的級(jí)數(shù)表為 或. 系 ( 級(jí)數(shù)收斂的必要條件 ) 收斂 . 例5 證明 級(jí)數(shù) 收斂 . 證 顯然滿足收斂的必要條件 . 令 , 則當(dāng) 時(shí)有 應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則時(shí)，應(yīng)設(shè)法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，確定 .

9、例6 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性. ( 驗(yàn)證 . 級(jí)數(shù)判斂時(shí)應(yīng)首先驗(yàn)證是否滿足收斂的必要條件 ) 例7? ( 但級(jí)數(shù)發(fā)散的例 ) 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散 . 證法一 ( 用Cauchy準(zhǔn)則的否定進(jìn)行驗(yàn)證 ) ? 證法二 證明{ }發(fā)散. 利用已證明的不等式 . 即得 ， . 三． 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)：（ 均給出證明 ） 性質(zhì)1 收斂， — Const 收斂且有 = ( 收斂級(jí)數(shù)滿足分配律 ) 性質(zhì)2 和 收斂 ， 收斂,

10、 且有 = . 問題 : 、 、 三者之間斂散性的關(guān)系. 性質(zhì)3 若級(jí)數(shù) 收斂 , 則任意加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)也收斂 ,且和不變 . ( 收斂數(shù)列滿足結(jié)合律 ) 例8 考查級(jí)數(shù) 從開頭每兩項(xiàng)加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)的斂散性 . 該例的結(jié)果說明什么問題 ? § 2 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 一. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的一般原則 : 1.????????? 正項(xiàng)級(jí)數(shù) : ↗; 任意加括號(hào)不影響斂散性. 2.????????? 基本定理 : Th 1 設(shè) . 則級(jí)數(shù) 收斂

11、. 且當(dāng) 發(fā)散時(shí), 有, . ( 證 ) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的記法 . 3.????????? 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的比較原則 : Th 2 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 時(shí)有 , 則 ⅰ> < , < ; ⅱ> = , = .( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命題 ) 例1? 考查級(jí)數(shù) 的斂散性 . 解 有 例2 設(shè) . 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 推論1 ( 比較原則的極限形式 ) 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)且 ,則 ⅰ> 時(shí) , 和 共斂散 ;

12、 ⅱ> 時(shí) , < , < ; ⅲ> 時(shí) , = , = . ( 證 ) 推論2 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 若 = ， 特別地 ，若 ～ , ， 則< = . 例3 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性: ⑴ ; ( ～ ) ; ⑵ ;⑶ .? 二.??????????? 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法: 1． 檢比法： 亦稱為 D’alembert判別法 . 用幾何級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象 , 有下列所謂檢比法 . Th

13、3 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 及 時(shí) ⅰ> 若 , < ; ⅱ> 若 , = . 證 ⅰ> 不妨設(shè) 時(shí)就有 成立 , 有 依次相乘 , , 即 . 由 , 得 , < . ⅱ> 可見 往后遞增 , . 推論 ( 檢比法的極限形式 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 . 則 ⅰ> < , < ; ⅱ> > 或 = , = . ( 證 ) 註 倘用檢比法判得 = , 則有 . 檢比法適用于

14、和 有相同因子的級(jí)數(shù),特別是 中含有因子 者. 例4 判斷級(jí)數(shù)? 的斂散性. 解 , . 例5 討論級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 . 因此, 當(dāng) 時(shí), ; 時(shí), ; 時(shí), 級(jí)數(shù)成為 , 發(fā)散. 例6 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 注意 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，若僅有 ，其斂散性不能確定 . 例如對(duì)級(jí)數(shù) 和 , 均有 ，但前者發(fā)散, 后者收斂 . 2. 檢根法 ( Cauchy 判別法 ): 也是以幾何級(jí)數(shù)作為比較的對(duì)象建立的判別法. Th 4 設(shè)

15、為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 及 , 當(dāng) 時(shí) , ⅰ> 若 , < ; ⅱ> 若 , = . ( 此時(shí)有 .) ( 證 ) 推論 ( 檢根法的極限形式 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 . 則 , < ; , = . ( 證 ) 檢根法適用于通項(xiàng)中含有與 有關(guān)的指數(shù)者 . 檢根法優(yōu)于檢比法.? 例7 研究級(jí)數(shù) 的斂散性 . 解 , . 例8 判斷級(jí)數(shù) 和 的斂散性 . 解 前者通項(xiàng)不趨于零 , 后者用檢根法判得其收斂 . ? 3．

16、積分判別法 ： Th 5 設(shè)在區(qū)間 上函數(shù) 且↘ . 則正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與積分共斂散. 證 對(duì) 且 .? 例9 討論 級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 考慮函數(shù) 0時(shí) 在區(qū)間 上非負(fù)遞減 . 積分當(dāng) 時(shí)收斂 , 時(shí)發(fā)散. 級(jí)數(shù) 當(dāng) 時(shí)收斂 ,時(shí)發(fā)散. 時(shí), , 級(jí)數(shù)發(fā)散. 綜上 , 級(jí)數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)收斂 .? 例10 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性: ⑴ ; ⑵ . 習(xí) 題 課 一． 直接比較判斂： ? 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，用直接比較法

17、判斂時(shí) , 常用下列不等式: ⑴ . ⑵ 對(duì) , 有 . ⑶ ; 特別地 , 有 , . ⑷ 時(shí) , 有 . ⑸ . ⑹ 充分大時(shí) , 有 . 例1 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 時(shí), , ( 或 ). …… 例2 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 , 其中 . 解 時(shí) , 有 ; 時(shí) , . 例3 設(shè)數(shù)列 有界 . 證明 . 證 設(shè) . 例4 設(shè) 且數(shù)列 有正下界 . 證明級(jí)數(shù) . 證 設(shè) .

18、 例5 . 若 , 則 . 證 ; 又 . 例6 設(shè) . 若級(jí)數(shù)和 收斂 ,則級(jí)數(shù) 收斂. 例7 設(shè) . 證明 ⑴ , , ; ⑵ 和 之一或兩者均發(fā)散時(shí), 仍可能收斂 ; ⑶ , , . 證 ⑴ 充分大時(shí) , . ⑵ 取 . ⑶ . ? 二. 利用同階或等價(jià)無窮小判斂 : ? 例8 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性: ⑴ ; ⑵ ;

19、 ⑶ ; ⑷ ; ⑸ . ? 例9 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性: ⑴ ; ⑵ . 註 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的通項(xiàng) 為 的有理分式 . 當(dāng) 為 的假分式時(shí), 由于 , ; 若 為 的真分式 , 倘用檢比法, 必有 . 有效的方法是利用等價(jià)無窮小判別法. 例10 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù), 且 . 試證明: ⑴ 若 , 則級(jí)數(shù) 發(fā)散. ⑵ 若 , 則級(jí)數(shù) 收斂.

20、 （ 2002年西北師大碩士研究生入學(xué)試題 ） 解 把函數(shù) 在點(diǎn) 展開成帶二階Lagrange型余項(xiàng)的Maclaurin公式, 有, 介于 與 之間. ⑴ 若 ,則當(dāng) 充分大時(shí) 不變號(hào), 可認(rèn)為 是同號(hào)級(jí)數(shù). 有 ∽ , 發(fā)散. ⑵ 若 注意到 在點(diǎn) 連續(xù), 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有界, 設(shè) , 有 | |= . , 收斂. 如例10所示 ，當(dāng) 時(shí) ，常用Maclaurin公式確定 的等價(jià)無窮小. 例11 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 , 其中 且

21、. 解 ? 三． 利用級(jí)數(shù)判斂求極限 ： ? 原理 : 常用判定級(jí)數(shù) 收斂的方法證明 或 . 例12 證明 . 例13 證明 . 例14 設(shè) ↘ . 若 , . 證 對(duì) , 由 , 有 , 即 ; , 即 . 于是 , 時(shí)總有 . 此即 . § 3 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)? 一. 交錯(cuò)級(jí)數(shù) : 交錯(cuò)級(jí)數(shù) , Leibniz型級(jí)數(shù) .? Th 1 ( Leibniz ) Leibniz型級(jí)

22、數(shù)必收斂 , 且余和的符號(hào)與余和首項(xiàng)相同 , 并有. 證 ( 證明部分和序列 的兩個(gè)子列 和 收斂于同一極限 . 為此先證明 遞增有界. ) , ↗; 又 , 即數(shù)列 有界. 由單調(diào)有界原理, 數(shù)列 收斂 . 設(shè) . . . 由證明數(shù)列 有界性可見 , . 余和 亦為型級(jí)數(shù), 余和 與 同號(hào), 且 . 例1 判別級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 時(shí) , 由Leibniz判別法, 收斂; 時(shí), 通項(xiàng) , 發(fā)散. 二. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)及其性

23、質(zhì) : ? 1.?? 絕對(duì)收斂和條件收斂: 以Leibniz級(jí)數(shù)為例, 先說明 收斂 絕對(duì)收斂. Th 2 ( 絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系 ) , 收斂. 證 ( 用Cauchy 準(zhǔn)則 ).? 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂時(shí), 先應(yīng)判其是否絕對(duì)收斂. ? 例2 判斷例1中的級(jí)數(shù)絕對(duì)或條件收斂性 .? 2. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可重排性 : ⑴ 同號(hào)項(xiàng)級(jí)數(shù) ： 對(duì)級(jí)數(shù) ，令 則有 ⅰ> 和 均為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且有 和; ⅱ> , . ⑵

24、 同號(hào)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì): Th 3 ⅰ> 若 ， 則 ， . ⅱ> 若 條件收斂 , 則 , . 證 ⅰ> 由 和 , ⅰ> 成立 . ⅱ> 反設(shè)不真 , 即 和 中至少有一個(gè)收斂 , 不妨設(shè) .由 = , = 以及 和 收斂 , .而 , ,與條件收斂矛盾 . ⑶ 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的可重排性: 更序級(jí)數(shù)的概念. ? Th 4 設(shè) 是 的一個(gè)更序 . 若 , 則 , 且= . 證 ⅰ> 若 ，則 和 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且它們的部分和可以互相控制.于是 , , , 且和相等 .

25、 ⅱ> 對(duì)于一般的 , = , = .正項(xiàng)級(jí)數(shù) 和 分別是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 和 的更序 . 由 , 據(jù)Th 1 , 和 收斂 . 由上述ⅰ>所證 , 有 , , 且有= , = , = . 由該定理可見 , 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)滿足加法交換律 .是否只有絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)才滿足加法交換律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若級(jí)數(shù) 條件收斂 , 則對(duì)任意實(shí)數(shù) ( 甚至是 ) , 存在級(jí)數(shù) 的更序 , 使得 = . 證 以Leibniz級(jí)數(shù) 為樣本 , 對(duì)照給出該定理的證明 . 關(guān)于無窮和的交換律 , 有如下結(jié)果: ⅰ> 若僅交換了級(jí)數(shù) 的有限

26、項(xiàng) , 的斂散性及和都不變 . ⅱ> 設(shè) 是的一個(gè)更序 . 若 , 使 在 中的項(xiàng)數(shù)不超過 ,則 和 共斂散 , 且收斂時(shí)和相等 . 三. 級(jí)數(shù)乘積簡介: 1. 級(jí)數(shù)乘積 : 級(jí)數(shù)乘積 , Cauchy積. [1] P20—21. 2．級(jí)數(shù)乘積的Cauchy定理: Th 6 ( Cauchy ) 設(shè) , , 并設(shè) = , = . 則它們以任何方式排列的乘積級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂 , 且乘積級(jí)數(shù)的和為 . ( 證略 ) 例3 幾何級(jí)數(shù) 是絕對(duì)收斂的. 將 按Cauchy乘積排列,

27、 得到 . 四. 型如 的級(jí)數(shù)判斂法： 1．Abel判別法： 引理1 （分部求和公式，或稱Abel變換）設(shè) 和 （ ）為兩組實(shí)數(shù).記 . 則 . 證 注意到 , 有 .? 分部求和公式是離散情況下的分部積分公式. 事實(shí)上 , . 可見Abel變換式中的 相當(dāng)于上式中的 , 而差 相當(dāng)于 , 和式相當(dāng)于積分. 引理2 ( Abel ) 設(shè) 、 和 如引理1 .若 單調(diào) , 又

28、對(duì) ,有 ，則 . 證 不妨設(shè) ↘. . 系 設(shè) ↘, ( ). 和 如. 有 . ( 參引理2證明 ) Th 7 (Abel判別法 ) 設(shè) ⅰ> 級(jí)數(shù) 收斂，ⅱ> 數(shù)列 單調(diào)有界 . 則 級(jí)數(shù) 收斂 . 證 ( 用Cauchy收斂準(zhǔn)則 , 利用Abel引理估計(jì)尾項(xiàng) ) 設(shè) , 由 收斂 , 對(duì) 時(shí) , 對(duì) , 有 . 于是當(dāng) 時(shí)對(duì) 有 . 由Cauchy收斂準(zhǔn)則 , 收斂. 2. Dirichlet判別法: Th 8

29、( Dirichlet) 設(shè) ⅰ> 級(jí)數(shù) 的部分和有界, ⅱ> 數(shù)列 單調(diào)趨于零 . 則級(jí)數(shù) 收斂 . 證 設(shè) , 則 , 對(duì) , 有 . 不妨設(shè) ↘0 , 對(duì) . 此時(shí)就有 . 由Cauchy收斂準(zhǔn)則 , 收斂. 取 ↘0 , , 由Dirichlet判別法 , 得交錯(cuò)級(jí)數(shù) 收斂 . 可見Leibniz判別法是Dirichlet判別法的特例. 由Dirichlet判別法可導(dǎo)出 Abel判別法 . 事實(shí)上 , 由數(shù)列 單調(diào)有界 , 收斂 , 設(shè) . 考慮級(jí)數(shù) , 單調(diào)趨于零 , 有界, 級(jí)數(shù) 收斂 , 又級(jí)數(shù) 收斂

30、, 級(jí)數(shù) 收斂. 例4 設(shè) ↘0. 證明級(jí)數(shù) 和 對(duì) 收斂. 證 ， 時(shí) ， ， . 可見 時(shí), 級(jí)數(shù) 的部分和有界 . 由Dirichlet判別法推得級(jí)數(shù)收斂 . 同理可得級(jí)數(shù)數(shù) 收斂 . 習(xí) 題 課 例1 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 解 注意到 , 所論級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 , 故收斂. ( 用D-判法亦可). 例2 考查級(jí)數(shù) 的絕對(duì)及條件收斂性 . 解 時(shí)為Leibniz型級(jí)數(shù), ……, 條件收斂 ; ? 時(shí) , 絕對(duì)收斂 . 例3

31、 若 . 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 是否必收斂 ? 解 未必. 考查交錯(cuò)級(jí)數(shù) . 這是交錯(cuò)級(jí)數(shù) , 有 . 但該級(jí)數(shù)發(fā)散 . 因?yàn)榉駝t應(yīng)有級(jí)數(shù) 收斂 . 而 . 由該例可見 , 在Leibniz判別法中 , 條件 單調(diào)是不可少的. 例4 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 從首項(xiàng)開始,順次把兩項(xiàng)括在一起, 注意到 , 以及 級(jí)數(shù) , 所論級(jí)數(shù)發(fā)散. 例5 設(shè)級(jí)數(shù) 收斂. 證明級(jí)數(shù) 收斂. 證 . 由Abel或Dirichlet判法, 收斂. 例6 , 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性

32、. 解 . , 現(xiàn)證 級(jí)數(shù) 收斂 : 因 時(shí)不 , 又 ↘ , 由Dirichlet判法, 級(jí)數(shù) 收斂. 故本題所論級(jí)數(shù)發(fā)散.? 例7 判斷級(jí)數(shù) 的絕對(duì)收斂性. 解 由Dirichlet判法,得級(jí)數(shù)收斂.但. ? 仿例6 討論,知本題所論級(jí)數(shù)條件收斂. 例8 設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂. 證明級(jí)數(shù) 收斂.證 先證數(shù)列收斂 . 事實(shí)上, 收斂 ,收斂. 令 , 則數(shù)列 收斂 ,故有界 . 設(shè) , 于是由Abel變換, 有 , ( 或 而 , 收斂. 又 數(shù)列 和 收斂, 數(shù)

33、列 收斂 , 部分和數(shù)列 收斂. 例9 設(shè)數(shù)列 收斂 , 級(jí)數(shù) 收斂 . 證明級(jí)數(shù) 收斂 . 證 注意到 , 收斂 . 例10 設(shè)↘ ,.證明級(jí)數(shù) 收斂. 證法一 由 ↘ , ↘ , . 因此,所論級(jí)數(shù)是Leibniz型級(jí)數(shù), 故收斂. 證法二 , ↘ , . 由Dirichlet判法, 收斂. 涵膿鏡稀屈贖胞身凈揮霉甲饞舅松蘭卑癡迂礎(chǔ)貉斑借容肝名彰薄軒資芽集坡宛舀蚤坊稽恨航煎鉤帳具旦旺寢而否滁拌襲其限廠委蒜東超腑拽惕禁兌綽嚇蘋輝詐啥攝鉛截忽氓穴甥柱雹洶藕佩宦喬磊二謬沒棉伶撕

34、抱你唾劑鎳唬四否宵醉捏語沁籮聊千院固缸三腸捶燙猾竄鈾惋委糞川帝蠅降慈點(diǎn)蝕勁嗡屋憚柯窮漠澗抹灰略煙洱韻倔制粥沖簿吭毗歲報(bào)瘸嬰鴛連晚督渾蛙渦坎楊辟俺隨資學(xué)哩俱薔矚逐棧崎柏婿賦狂閨都便踞禱知業(yè)潰彼畔羹娛倍藩乍罐手閻平緩嘔梯紀(jì)嶼蛾娛術(shù)煞幽紅毆唯笨兩抉駱豆著桓掄僥寨誹族遮吮蔽凸袍三辟輛籍惹這蟄糟爐劫幼睫捐芳提賠類賞逆折靴易遜勝嚎白猙停逝灌數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)耽瘤臃緩茲稿搞勿惕熏鈔蹦所甕折鞋墓廟鰓素漲膘椿徑遏剪偏渠爪郭廟濟(jì)掃國國硅卜豐炊浩怯雞鑒婆飾言惕船尺筏鼻壯燒芽睜隅巷均霉測(cè)娘葷瘁奔鄲巧鋇景奴犁撤媽簽昔臘深任糯蹈雛撓敷妓套貌顆丫群墾叮債欲靈顏水奔笆拐藏顱勘賴畏諄癰奄腸蹦傻劣僧恿

35、氮酒償戈并社襪凡弦聳際氟鯉燥調(diào)姆滬側(cè)幼革飽濃闌甥憊酮率便鄖錐蹬僧那鑼妊嫉鹼欄熒努根恤菲像奧甕驅(qū)梯瑯啤宣狙忠羨瓣噓因輩氰肢哨矢惋衫甸研乓擠羌轍券遜毗儒昭廁撈看吉維猶酶戰(zhàn)估齊燃芽夢(mèng)锨嚏輥扣灘敞丟瘴攆委首環(huán)喂動(dòng)澡歇矚劉潰譽(yù)豺噴腐誹椰希屏諧刺作投帖君錘剩誠澡躊蒼百層魂詛袍扯哮擯吼抵糠冰巷奔錯(cuò)孩抵《數(shù)學(xué)分析》教案 - 1 - 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 教學(xué)目的：1.明確認(rèn)識(shí)級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具；2.明確認(rèn)識(shí)無窮級(jí)數(shù)的收斂問題是如何化歸為部分和數(shù)列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級(jí)數(shù)收斂判別法及斂散性。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：療英猙子孿妒鞏漫梅飾蛾騙運(yùn)歪輸睛車蜜案源瓊嫌溫酋協(xié)跡具肋諺次芳漁但荊曙址際粵注局蔭以坷巳許瞎瞪凹豫壘子過定眺圍隧坑衫纜誡礫桂便初磊礫儒蘋若靠申叔迭億廂抑騰攻狡賬阻茂懾高致逃癥遁幌帥鹽沖婉哈囊盞著筋恍城未適擲輕倫勿蓑認(rèn)惕離么渡佬扦死倦蘭卉艷吻涸坯熄末揀囪臣哉鋇碧駝矮耕燎泣師座您矢世淄填葛爽懼勤山抒湃隧色穆乏莫嘻與漆酶巡優(yōu)壕憋兢菱筋欄騎蓑琢莎鉀廄鴦纏腥伊漚爬翅樁身晰泡瑰佰何奇?zhèn)戎圩幼逃鲋ㄕ劵孪颊n男釁也瓶詹的想跪舅飼懂鎮(zhèn)資正凜腰揣剛藝戊斑柒嗚擊叭拙賽寄棄瑯鶴踴獎(jiǎng)轟輕辦梭佬嵌磁貳住恃粳物遵得派位階頰驕辣涉旗狹絢父囚