專題17 空間向量及應用（教師版） 高考數(shù)學復習專題,高中數(shù)學課件,數(shù)學課件,數(shù)學,課件

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1、專題17 空間向量及應用 ★★★高考在考什么 【考題回放】 1．在正方體A1B1C1D1-ABCD中，M、N分別是棱A1A和B1B的中點，若θ為直 線CM與D1N所成的角，則sinθ等于 （ ） A． B． C． 　　 D． 2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,AC=AA1=a，則點A到平面A1BC的距 S A C B D 離是（ C ） A ．a(chǎn) B．a(chǎn) C． D．a(chǎn) 3．如圖，正四面體S-ABC中，D為SC的中點，則BD與SA 所成角的余弦值是（ C ） A．

2、 B． C． D． 4．在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點， 若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是（ C ） A． B． C． D． 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC 成300角，則二面角B-B1C-A的正弦值。 6．在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC， SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點。 （1）證明：AC⊥SB； （2）求二面角N—CM—B的大

3、小； （3）求點B到平面CMN的距離． 【專家解答】（1）取AC中點O，連結(jié)OS、OB． ∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO． ∵平面SAC⊥平面ABC， ∴SO⊥面ABC， ∴SO⊥BO．如圖建立空間直角坐標系 O－xyz．則A（2，0，0），B（0，2，0）， C（－2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，)． ∴=（－4，0，0），=（0，2，－2）， ∵·=（－4，0，0）·（0，2，－2）=0， ∴AC⊥SB． （2）由（1）得=（3，，0），=（－1，0，）． 設n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量， ∴n=

4、(，－，1)， 又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量， ∴cos(n，)==．∴二面角N－CM－B的大小為arccos． （3）由(1)(2)得=(－1,,0)，n=(,－,1)為平面CMN的一個法向量 ∴點B到平面CMN的距離d==． ★★★高考要考什么 【考點透視】 用空間向量可以解決的立體幾何問題有： 1．利用兩個向量共線和共面定理,可證明有關線線平行,線面平行,面面平行問題 2．利用兩個向量垂直的充要條件可以證明有關線線,線面,面面垂直問題 3．利用兩個向量的夾角公式可以求解有關角的問題 4．利用向量的模及向量在單位向量上的射影可以求解

5、有關的距離問題 【熱點透析】 空間向量解立體幾何問題的基本步驟是： 1．建立適當?shù)淖鴺讼担? 2．確定相關點的坐標； 3．求平面的法向量； 4．利用公式求答案。 ★★★突破重難點 【范例1】如圖, 在直三棱柱中， ,點為的中點 (Ⅰ)求證; (Ⅱ) 求證：平面; (Ⅲ)求異面直線與所成角的余弦值 解： ∵直三棱錐底面三邊長 ，兩兩垂直 如圖建立坐標系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (Ⅰ), (Ⅱ)設與的交點為E，則E(0,2,2)，

6、 (Ⅲ) ∴異面直線與所成角的余弦值為 【點晴】在具有三維直角的立體幾何題中常使用空間向量方法，證明線面垂直即證明直線的方向向量與平面的法向量平行，另外注意異面直線所成角為銳角。 【文】如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC． (Ⅰ) 求證∥平面 (Ⅱ) 求直線與平面PBC所成角的大小； 解析 （1） 。 【點晴】注意空間坐標系的選取，證明線面平行即證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，另外注意線面所成的角與直線方向向量和法向量所成角的關系。

7、 【范例2】如圖，以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系O—xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E為VC中點，正正四棱錐底面邊長為2a，高為h． （Ⅰ）求 （Ⅱ）記面BCV為α，面DCV為β，若∠BED是二面 角α—VC—β的平面角，求∠BED． 解：（I）由題意知B(a，a，0)，C(―a，a，0)， D(―a，―a，0)，E 由此得 （II）若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，則，即有=0． 又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且 即這時有 【點晴】本小題主要考查

8、應用向量知識解決立體幾何的能力，注意面面所成角與兩法向量所成角的關系。 【文】如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交點為D，B1C1的中點為M。 求證：(1)CD⊥平面BDM； (2) 求面B1BD與面CBD所成二面角的大小。 解：以C為原點建立坐標系。 (1), 則， ∵A1B、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線，∴CD⊥平面BDM。 (2) 設BD的中點為G,連結(jié)B1G, 則 ， ， ∴的夾角等于所求二面角的平面角. 所以所求的二面角等于 【點晴】本小題坐標系的建立容

9、易想到，用直線與平面內(nèi)兩不共線向量垂直來證明線面垂直是根據(jù)立體幾何的判定定理，另注意面面所成角與兩法向量所成角間的轉(zhuǎn)換。 【范例3】如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝2C1N． （Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求點B1到平面AMN的距離。 解（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則(0,0,1)， M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()， 所以,, 因為 所以,同法可得。 故﹤﹥?yōu)槎娼恰狝M—N的平面角 ∴﹤﹥＝ 故二面角—AM—N的平面角

10、的余弦值為。 （Ⅱ）設n=(x, y, z)為平面AMN的一個法向量，則由得 , 故可取 設與n的夾角為a，則。 所以到平面AMN的距離為。 Q B C P A D 【點晴】本小題坐標系的建立有點特殊，同學們可試在另外坐標系下的方法。注意如何使用向量形式下求各種立體幾何中距離的問題，考查應用向量解決數(shù)學問題的能力. 【文】如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2，AB=4． (Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD； (Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角； (Ⅲ)求點P到平面QAD的距離． 解：（Ⅰ）連結(jié)AC、BD，設． 由P－AB

11、CD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD． （Ⅱ）由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD． 由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD． 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖）， Q B C P A D z y x O 由題條件，相關各點的坐標分別是 P（0，0，2），A（，0，0）， Q（0，0，－2），B（0，，0）． 所以 ． 故直線AQ與PB所成的角是． (Ⅲ)由（Ⅱ），點D（0，－，0）， ，，設是平面QAD的一個法向量， 由得．

12、取x=1，得． 所以點P到平面QAD的距離． 【點晴】本小題坐標系的建立還可以與ABCD的邊平行，同學們不妨一試。注意如何使用向量形式下求各種距離的問題，其中求法向量向量解決幾何問題的關鍵。 【范例4】如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點，。 （Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為； （Ⅱ）、在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。 解：（１）建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1)．所以 又由

13、 的一個法向量． 設與所成的角為， 則 依題意有：，解得． 故當時，直線。 （２）若在上存在這樣的點，設此點的橫坐標為， 則。 依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等價于 即為的中點時，滿足題設的要求． 【點晴】空間向量解決立體幾何的開放性或探索性問題的關鍵是對未知點坐標的設法，從而建立方程得以解決，注意總結(jié)各種常見類型的坐標系以及坐標系各種點坐標的尋求。 【文】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=， AF=1，M是線段EF的中點． （Ⅰ）求證AM∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角A—DF—B的大??； （Ⅲ）試在

14、線段AC上確定一點P，使得PF與 BC所成的角是60°。 解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系． 設，連接NE，則點N、E的坐 標分別是（、（0,0,1）, ∴NE=(, 又點A、M的坐標分別是（）、（ ∴ =（ ∴NE=AM且NE與AM不共線， ∴NE∥AM． 又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF． （Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ∴AB⊥平面ADF． ∴為平面DAF的法向量． ∵NE·DB=（·=0， ∴NE·NF=（·=0 得NE⊥DB，NE⊥NF， ∴NE為平面BDF的法向量 ∴cos=，∴AB與NE的夾角是60o

15、． 即所求二面角A—DF—B的大小是60o． （Ⅲ）設P(t,t,0)(0≤t≤)得 ∴CD=（，0，0）又∵PF和CD所成的角是60o． ∴ 解得或（舍去），即點P是AC的中點． 【點晴】本題前兩個小題較簡單，（Ⅰ）用到了立體幾何的判定定理；（Ⅱ）注意法向量的求法；（Ⅲ）用未知數(shù)設不定點是空間向量解決立體幾何問題的難點，注意總結(jié)各種常見類型的坐標系以及坐標系各種點坐標的尋求。 ★★★自我提升 1．如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分別平行于平面α,β且都與此兩平面的交線l垂直,則二面角α-l-β的大小是 ( D ) A． 90° B． 30°

16、 C．45° D．60° A1 C B A B1 C1 D1 D O 2．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的 中點，則直線AD 與平面B1DC所成角的正弦值為（ D ）． A． 　B．　 C．　 D． 3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底 面A1B1C1D1中心，則O到平面ABC1D1的距離為（ B ） A．　 B．　 C． D． 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A 的正切值為

17、（ B ） A．1　 B．　 C． D．2 5．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，那么 （1） 直線BA1與CC1所成角的大小為 45° 。 （2） 直線BA1與B1C所成角的大小為 60° 。 （3） 異面直線BC與AA1的距離為 a 。 （4） 異面直線BA1與CC1的距離為 a 。 6．已知直四棱柱中，，底面 是直角梯形,,,,, ,則異面直線與所成的角為 arccos 。 7．如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點， （Ⅰ）求證：面； （Ⅱ）求二面角的大?。? （Ⅲ

18、）求三棱錐的體積。 方法一 解：（Ⅰ）證明：取的中點，連結(jié) ∵分別為的中點 ∵ ∴面，面 ∴面面 ∴面 （Ⅱ）設為的中點 ∵為的中點 ∴ ∴面 作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得，從而為二面角的平面角。 在中，， 從而 在中， 故二面角的大小為 （Ⅲ） 作，交于，由面得 ∴面 ∴在中， ∴ 方法二：以為原點，所在直 線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則 ∵分別是的中點 ∴ （Ⅰ）, 取，顯然面，， ∴ 又面 ∴面 （Ⅱ）過作，交于，取的中點，則 設，則 又由，及在直線上， 可得，解得 ∴ ∴, 即 ∴與所

19、夾的角等于二面角的大小 故二面角的大小為 （Ⅲ）設為平面的法向量，則 又 ∴ 即 ∴可取 ∴點到平面的距離為 ∵， ∴ ∴ 8．在直三棱柱中，底面是以為直角的等腰直角三角形，，，為的中點，為的中點， （1）求直線與所成的角; （2）在線段上是否存在點，使平面？若存在，求出； 若不存在，說明理由。 解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系 (1) , , 故直線與所成的角為 （2）假設存在點，使平面，只要且 不妨設則， ， 恒成立 或 故或時，平面 《專題17 空間向量及應用》第12頁（共12頁）