高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第4章 第7節(jié) 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 Word版含解析

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1、 第七節(jié)　正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 [最新考綱]　能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題． 1．仰角和俯角 與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)． 圖①　　　　　　　　圖② 2．方向角 相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等． 3．方位角 指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)． 4．坡度(又稱坡比) 坡面的垂直高度與水平長度之比． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

2、(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　　) (2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.(　　) (3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系．(　　) (4)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為________m. 50　[由正弦

3、定理得＝， 又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．] 2.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h＝________米． a　[由題圖可得∠PAQ＝α＝30°， ∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°， 又∠PBC＝γ＝60°， ∴∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， ∴＝，∴PB＝a， ∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.] 3.如圖所示，D，C，B三點在地面的同一條直線上，DC＝a，從C

4、，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB＝________. a　[由已知得∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝a.] 考點1　解三角形中的實際問題 　利用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟 (1)分析——理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖． (2)建模——根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型． (3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學模型的解． (4)檢驗——檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出

5、實際問題的解． 　(1)江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m. (2)如圖，高山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳 B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120°；從B處攀登400米到達D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150°；從D處再攀登800米可到達C處，則索道AC的長為________米． (1)10　(2)400　[(1)如圖，OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝×30 ＝

6、10(m)， 在△MON中，由余弦定理得， MN＝ ＝＝10(m)． (2)在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°. 因為∠ADC＝150°， 所以∠ADB＝30°. 所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°. 由正弦定理，可得＝， 所以＝， 得AD＝400(米)． 在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13， 解得AC＝400(米)． 故索道AC的長為400米．] 　(1)實際測量中的常見問題

7、 求AB 圖形 需要測量的元素 解法 求豎直高度 底部可達 ∠ACB＝α， BC＝a 解直角三角形 AB＝atan α 底部不可達 ∠ACB＝α，∠ADB＝β， CD＝a 解兩個直角三角形 AB＝ 求水平距離 山兩側(cè) ∠ACB＝α， AC＝b， BC＝a 用余弦定理 AB＝ 河兩岸 ∠ACB＝α， ∠ABC＝β， CB＝a 用正弦定理 AB＝ 求水平距離 河對岸 ∠ADC＝α， ∠BDC＝β， ∠BCD＝δ， ∠ACD＝γ， CD＝a 在△ADC中， AC＝； 在△BDC中， BC＝； 在△

8、ABC中，應(yīng)用 余弦定理求AB (2)三角應(yīng)用題求解的關(guān)鍵是正確作圖(平面圖、立體圖)，并且條件對應(yīng)好(仰角、俯角、方向角等)． 　1.一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°的方向上，行駛4 h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°的方向上，這時船與燈塔的距離為________km. 30　[如圖，由題意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， ∴B＝45°，AC＝60， 由正弦定理得＝， ∴BC＝30(km)．] 2.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息

9、告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cos θ的值為________． 　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800， 得BC＝20. 由正弦定理，得＝， 即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角， 則cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.] 考點2　平面幾何中

10、的解三角形問題 　與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路 求解平面圖形中的計算問題，關(guān)鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系． 具體解題思路如下： (1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解； (2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果． 　如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1. (1)若AC＝，求△ABC的面積； (2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD. [解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2

11、－2AB·BC·cos∠ABC， 即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝， 所以△ABC的面積S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝. (2)設(shè)∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝， ① 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－， 由正弦定理得＝， 即＝， ② ①②兩式相除，得＝， 即4＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因為sin2θ＋cos2θ＝1， 所以sin θ＝，即sin∠CAD＝. 　做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結(jié)合，才

12、能順利解決問題． 　 (2019·湖南衡陽第三次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，0＜∠DAB＜，AD＝2，AB＝3，△ABD的面積為，AB⊥BC. (1)求sin∠ABD的值； (2)若∠BCD＝，求BC的長． [解]　(1)因為△ABD的面積S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝， 所以sin∠DAB＝. 又0＜∠DAB＜， 所以∠DAB＝， 所以cos∠DAB＝cos ＝. 由余弦定理得 BD＝＝， 由正弦定理得sin∠ABD＝＝. (2)因為AB⊥BC，所以∠ABC＝， sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝＝. 在△BCD中，由正弦

13、定理＝可得CD＝＝. 由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2， 可得3BC2＋4BC－5＝0， 解得BC＝或BC＝－(舍去)． 故BC的長為. 考點3　與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題 　解三角形問題中，求解某個量(式子)的最值(范圍)的基本思路為： 要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大． 　(2019·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B

14、，C的對邊分別為 a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍． [解]　(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin＝ sin Bsin A. 因為sin A≠0，所以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 因為cos≠0， 故sin＝，因此B＝60°. (2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC為銳角三角形，故0°

15、°，故＜a＜2，從而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面積的取值范圍是. 　求解三角形中的最值、范圍問題的2個注意點 (1)涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進行求解，已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進行轉(zhuǎn)化． (2)注意題目中的隱含條件，如本例中銳角三角形的條件，又如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大邊對大角等． [教師備選例題] 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btan A，且B為鈍角． (1)證明：B－A＝； (2)求sin A＋sin C的取值范圍． [解]　(1)證明：由a＝btan A及正

16、弦定理， 得＝＝， 所以sin B＝cos A，即sinB＝sin . 因為B為鈍角，所以A為銳角， 所以＋A∈， 則B＝＋A，即B－A＝. (2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈. 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－22＋. 因為0＜A＜，所以0＜sin A＜， 因此＜－22＋≤. 由此可知sin A＋sin C的取值范圍是. 　1.在鈍角△ABC中 ，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B為鈍角，若acos A＝bsin A，則sin A＋sin C的最大值為

17、 (　　) A.　　　 B.　　　 C.1　　　 D. B　[∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，∴cos A＝sin B，又B為鈍角，∴B＝A＋，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A＝－22＋， ∴sin A＋sin C的最大值為.] 2．在△ABC中，b＝，B＝60°， (1)求△ABC周長l的范圍； (2)求△ABC面積最大值． [解]　(1)l＝＋a＋c， b2＝3＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac， ∴(a＋c)2－3ac＝3， ∵(a＋c)2－3＝3ac≤3×2， ∴a＋c≤2， 當僅僅當a＝c時，取“＝”， 又∵a＋c＞，∴2＜l≤3. (2)∵b2＝3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac， ∴ac≤3， 當且僅當a＝c時，取“＝”， S△ABC＝acsin B≤×3×sin 60°＝， ∴△ABC面積最大值為.