高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第4章 第6節(jié) 正弦定理、余弦定理 Word版含解析

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1、 第六節(jié)　正弦定理、余弦定理 [最新考綱]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題． 1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC的外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R. a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R. cos A＝； cos B＝； co

2、s C＝ 2．三角形常用面積公式 (1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)． 1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B. 3．內(nèi)角和公式的變形 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C. 4．角平分線定理： 在△ABC中，若AD是角A的平分線，如圖，則＝. 一

3、、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比．(　　) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，則A＞B.(　　) (3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素．(　　) (4)當(dāng)b2＋c2－a2＞0時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＜0時(shí)，△ABC為鈍角三角形．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，則b＝(　　) A．2　 B．1 C．

4、D． D　[由＝得b＝＝＝×2＝.] 2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形有(　　) A．無解 B．兩解 C．一解 D．解的個(gè)數(shù)不確定 B　[∵bsin A＝24sin 45°＝12， ∴12＜18＜24，即bsin A＜a＜b. ∴此三角形有兩解．] 3．在△ABC中，acos A＝bcos B，則這個(gè)三角形的形狀為________． 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B， 所以2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝， 所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形

5、．] 4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于_____． 2　[因?yàn)椋剑? 所以sin B＝1，所以 B＝90°， 所以AB＝2， 所以S△ABC＝×2×2＝2.] 考點(diǎn)1　利用正、余弦定理解三角形問題 　解三角形的常見題型及求解方法 (1)已知兩角A，B與一邊a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c. (2)已知兩邊b，c及其夾角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C. (3)已知三邊a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. (4)已知兩邊a，b及其中一邊的對(duì)角A，由正弦定理＝可求出另一邊b

6、的對(duì)角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通過＝求角B時(shí)，可能有一解或兩解或無解的情況． 　(1)(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別 為a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，則＝(　　) A．6　 B．5 C．4 D．3 (2)(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.設(shè)(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. ①求A； ②若a＋b＝2c，求sin C. (1)A　[∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理得a2－b2＝4c2

7、，即a2＝4c2＋b2. 由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6. 故選A.] (2)[解]?、儆梢阎胹in2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝. 因?yàn)?°＜A＜180°，所以A＝60°. ②由①知B＝120°－C，由題設(shè)及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝， 故sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(C＋60°)cos 60°－c

8、os(C＋60°)sin 60° ＝. 　解三角形問題，關(guān)鍵是利用正、余弦定理實(shí)施邊和角的轉(zhuǎn)化，三角變換的相關(guān)公式如兩角和與差的正、余弦公式，二倍角公式等，作為化簡(jiǎn)變形的重要依據(jù)． [教師備選例題] (2018·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大?。? (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． [解]　(1)在△ABC中，由正弦定理＝， 可得bsin A＝asin B， 又由bsin A＝acos，得asin B＝acos， 即sin B＝cos，可得tan B＝. 又因?yàn)锽∈(0，π

9、)，可得B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝. 由bsin A＝acos，可得sin A＝. 因?yàn)閍＜c，故cos A＝. 因此sin 2A＝2sin Acos A＝， cos 2A＝2cos2A－1＝， 所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝. 　1.(2019·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，則B＝________. 　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin

10、B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.] 2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC邊上中線AD＝，則BC＝________. 9　[設(shè)BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α， 在△ADC中，72＝x2＋2－2x×cos α，① 在△ABD中，42＝x2＋2－2x×cos(π－α)，② ①＋②得x＝，∴BC＝9.] 3．(2019·貴陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成公差為2的等差數(shù)列，C＝120°. (1)求邊長a； (2)求AB邊上的高CD的長． [解]　(1)由題意得b＝a＋2，c＝a＋4， 由余弦定理cos C＝得cos 12

11、0°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3. (2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由三角形的面積公式得 absin∠ACB＝c×CD， 所以CD＝＝＝， 即AB邊上的高CD＝. 法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由正弦定理得＝＝， 即sin A＝， 在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝， 即AB邊上的高CD＝. 考點(diǎn)2　與三角形面積有關(guān)的問題 　三角形面積公式的應(yīng)用原則 (1)對(duì)于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式． (2)與面積有關(guān)的問題，一般要用

12、到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化． 　△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求c； (2)[一題多解]設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積． [解]　(1)由已知條件可得tan A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，即c2＋2c－24＝0， 解得c＝－6(舍去)，或c＝4. (2)法一：如圖，由題設(shè)可得∠CAD＝， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝， 故△ABD面積與△ACD面積的比值為＝1，又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC＝2，

13、 所以△ABD的面積為. 法二：由余弦定理得cos C＝， 在Rt△ACD中，cos C＝， 所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝， 所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sin C＝×＝. 法三：∠BAD＝，由余弦定理得cos C＝， 所以CD＝，所以AD＝， 所以S△ABD＝×4××sin∠DAB＝. 　(1)若已知一個(gè)角(角的大小或該角的正弦值、余弦值)，一般結(jié)合題意求夾這個(gè)角的兩邊或兩邊之積，再代入公式求解；(2)若已知三邊，可先求一個(gè)角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面積；(3)若求面積的最值，一般表示為一個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解，也可結(jié)合基本不等

14、式求解． [教師備選例題] 已知△ABC的面積為3，AC＝2，BC＝6，延長BC至D，使∠ADC＝45°. (1)求AB的長； (2)求△ACD的面積． [解]　(1)因?yàn)镾△ABC＝×6×2×sin∠ACB＝3，所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°， 又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°， 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝＝2. (2)在△ACD中，因?yàn)椤螦CB＝150°，∠ADC＝45°， 所以∠CAD＝105°， 由正弦定理得＝， 所以CD＝3＋， 又∠ACD＝180

15、°－150°＝30°， 所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝. 　1.(2019·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為 a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為____________． 6　[法一：因?yàn)閍＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面積S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6. 法二：因?yàn)閍＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×cco

16、s ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面積S＝×2×6＝6.] 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)證明：A＝2B； (2)若△ABC的面積S＝，求角A的大?。? [解]　(1)證明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍

17、去)或A＝2B，所以A＝2B. (2)由S＝，得absin C＝， 故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B， 由sin B≠0，得sin C＝cos B. 又B，C∈(0，π)．所以C＝±B. 當(dāng)B＋C＝時(shí)，A＝； 當(dāng)C－B＝時(shí)，A＝. 綜上，A＝或A＝. 考點(diǎn)3　判斷三角形的形狀 　判斷三角形形狀的2種思路 (1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀． (2)化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論． 　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，

18、b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1， 即A＝，∴△ABC為直角三角形．] [母題探究] 1．(變條件)本例中，若將條件變?yōu)?sin Acos B＝sin C，判斷△ABC的形狀． [解]　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴2s

19、in Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin(A－B)＝0. 又A，B為△ABC的內(nèi)角． ∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形． 2．(變條件)本例中，若將條件變?yōu)閍2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判斷△ABC的形狀． [解]　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝， 又0＜C＜π，∴C＝， 又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B， 故△ABC為等邊三角形． 　在判斷三角形的形狀時(shí)，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件．另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響，在

20、等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)提取公因式，以免漏解． 　1.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若 ＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀是(　　) A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 C　[因?yàn)椋?，所以?所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等邊三角形．] 2．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若＋＝2c，則△ABC的形狀是(　　) A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形 C　[因?yàn)椋?c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)sin A＝sin B時(shí)取等號(hào)．所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.又因?yàn)閟in A＝sin B，所以A＝B.故三角形為等腰直角三角形．故選C.]