高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第9章 第10節(jié)　圓錐曲線中的證明與存在性問題 Word版含解析

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1、 第十節(jié)　圓錐曲線中的證明與存在性問題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第168頁) ⊙考點(diǎn)1　證明問題 　圓錐曲線中證明問題的類型及解題策略 (1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；二是數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等． (2)解決證明問題時(shí)，主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明，多采用直接法證明，有時(shí)也會(huì)用到反證法． 　(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝2x，點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N

2、兩點(diǎn)． (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程； (2)證明：∠ABM＝∠ABN. [解](1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x＝2，可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，－2)．所以直線BM的方程為y＝x＋1或y＝－x－1. (2)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM＝∠ABN. 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0. 由得ky2－2y－4k＝0， 可知y1＋y2＝，y1y2＝－4. 直線BM，BN的斜率之和為 kBM＋kBN＝＋＝. ① 將x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1

3、y2的表達(dá)式代入①式分子，可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0. 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM＝∠ABN. 綜上，∠ABM＝∠ABN. 　把證明∠ABM＝∠ABN轉(zhuǎn)化為證明kBM＋kBN＝0是解題的關(guān)鍵． 　(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足＝. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x＝－3上，且·＝1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. [解](1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0

4、)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以＋＝1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)證明：由題意知F(－1,0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)， ·＝3＋3m－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥. 又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. ⊙考點(diǎn)2　存在性問題 　圓錐曲線中存在性問題的求解方法 (1)存在性問題通常采用“肯定順推法

5、”，將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在． (2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法． 　(2019·泉州模擬)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足向量·＝0. (1)若A(2,0)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)P為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，問是否存在過點(diǎn)F2的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說明理由． [解]

6、(1)易知a＝2，因?yàn)椤ぃ?， 所以△BF1F2為等腰直角三角形． 所以b＝c，由a2－b2＝c2可知b＝，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由已知得b2＝c2，a2＝2c2， 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)． 因?yàn)镕1(－c,0)，B(0，c)，所以＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)， 由題意得·＝0，所以x0＋c＋y0＝0. 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以＋＝1，由以上兩式可得3x＋4cx0＝0. 因?yàn)镻不是橢圓的頂點(diǎn)， 所以x0＝－c，y0＝c，故P. 設(shè)圓心為(x1，y1)，則x1＝－c，y1＝c， 圓的半徑r＝＝c. 假設(shè)存在過點(diǎn)F2的直線滿足

7、題設(shè)條件，并設(shè)該直線的方程為y＝k(x－c)， 由相切可知＝r， 所以＝c， 即20k2＋20k－1＝0，解得k＝－±. 故存在滿足條件的直線，其斜率為－±. 　本例第(2)問中，涉及直線與圓相切問題，需要求出圓心和半徑，然后利用圓心到直線的距離等于半徑，列等式求解． [教師備選例題] (2019·長沙模擬)已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1. (1)求橢圓C的方程； (2)過點(diǎn)F2的直線與橢圓C分別相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則△F1AB的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說

8、明理由． [解](1)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)，∵e＝＝，a－c＝1， ∴a＝2，c＝1， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨設(shè)y1>0，y2<0. 由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x＝my＋1. 聯(lián)立 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 則y1＋y2＝，y1y2＝， ∴S△F1AB＝|F1F2|(y1－y2)＝. 令＝t，可知t≥1， 則m2＝t2－1， ∴S△F1AB＝＝. 　令f(t)＝3t＋，則f′(t)＝3－， 當(dāng)t≥1時(shí)，f′(t)>0，即f(t)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(t)

9、≥f(1)＝4，∴S△F1AB≤3，即當(dāng)t＝1，m＝0時(shí)，△F1AB的面積取得最大值3，此時(shí)直線l的方程為x＝1. 　(2019·哈爾濱模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)在圓x2＋y2＝3上是否存在一點(diǎn)P，使得在點(diǎn)P處的切線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且滿足⊥？若存在，求l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． [解](1)∵e＝＝，∴3a2＝4b2. 又∵|AB|＝＝3，∴a＝2，b＝. ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在點(diǎn)P，使得⊥. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，

10、 l：x＝或x＝－，與橢圓C：＋＝1相交于M，N兩點(diǎn)， 此時(shí)M，N或M，N， ∴·＝3－＝≠0， ∴當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足⊥. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)y＝kx＋m， 聯(lián)立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. ∵直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)， ∴Δ＞0，化簡得4k2＞m2－3. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝. ∵·＝0，∴＋＝0， ∴7m2－12k2－12＝0. 又∵直線l與圓x2＋y2＝3相切，∴＝， ∴m2＝3＋3k2，∴21＋21k2－12k2－12＝0， 解得k2＝－1，顯然不成立， ∴在圓上不存在這樣的點(diǎn)P使⊥成立．